第56讲 平面向量的概念及线性运算导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了平面向量的概念及线性运算专题，将向量定义、线性运算、共线定理等核心考点按“概念-运算-定理-应用”逻辑架构知识网络，通过问题链和任务驱动设计，引导学生从几何意义出发自主推导运算规律，形成向量知识的整体认知框架。 亮点在于诊断性自测和题型进阶式学习设计，如开篇设置基础概念辨析题，学生根据错题匹配到线性表示、三点共线等专项突破路径，培养数学思维与数学语言表达素养。每个题型模块配有思维导图绘制和错题归因表，帮助学生建立个性化知识体系，教师可通过学情数据精准指导，实现因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第五十六讲 平面向量的概念及线性运算 【学习目标】1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义、几何表示和基本要素； 2.通过实例分析，掌握平面向量的加、减、数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 【学习重点】向量的相关概念、运算及共线定理． 【学习难点】共线定理的灵活运用. 必掌握知识点： 1．向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 3、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 4、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 5、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 6、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 必考题型全归纳： 题型一、平面向量线性表示（三角形 、平行四边形基底拆分） 1．（25-26高一下·甘肃定西·期末）在中，，，，，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江·期末）在中，均在上，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山东枣庄·期末）在平行四边形ABCD中，，，若，F为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·新疆伊犁·期中）在三角形中，点是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·山东东营·期末）在中，，是线段上的一点，若，则（  ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·贵州遵义·期末）在中，，点在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（河北承德市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，若，则__________． 8．（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在中，，设，，用与表示，则________． 9．（25-26高一下·甘肃白银·期末）如图，在平行四边形中，，． (1)用向量，表示，； (2)若，且B，P，E三点共线，求x的值． 题型二、平面向量基本定理与三点共线 10．（广东茂名市2025-2026学年高一下学期期末质量抽测数学试题）在中，点D满足，且线段DB上存在一点E，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）在中，，，，，分别是边，上的点，且满足，，连接，交于点，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 题型三、特殊几何点向量表达（内心、重心、外心） 12．（25-26高一下·四川达州·期末）的外接圆半径为1，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（ ） A．平面，存在实数m，n使得 B．若，则在上的投影向量为 C． D．的最小值为 13．（25-26高一下·河北张家口·期末）在中，，，N为的内心，且，则_____． 14．（25-26高一下·江苏无锡·期末）在平面内，直线，在两直线之间且到的距离分别为1，2，过作两条相互垂直的射线与分别交于两点，为的重心．若设，，则可用，表示为______；的最小值为______． 巩固提升： 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）设为所在平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆江津·期末）已知O为的重心，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3（多选）．（广东汕尾市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题）如图，在四边形中，E，F分别为，的中点，．设，，则下列命题正确的是（     ） A． B． C． D． 4（多选）．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5（多选）．（25-26高二下·河南新乡·期末）在中，点满足，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第五十六讲 平面向量的概念及线性运算 【学习目标】1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义、几何表示和基本要素； 2.通过实例分析，掌握平面向量的加、减、数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 【学习重点】向量的相关概念、运算及共线定理． 【学习难点】共线定理的灵活运用. 必掌握知识点： 1．向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 3、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 4、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 5、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 6、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 必考题型全归纳： 题型一、平面向量线性表示（三角形 、平行四边形基底拆分） 1．（25-26高一下·甘肃定西·期末）在中，，，，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，建立如图直角坐标系，则， 所以，又， 所以，又，所以， 化简得，解得或（舍）， 设，即， 即，解得，故.    2．（25-26高一下·黑龙江·期末）在中，均在上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理可设，，再结合已知条件即可求解. 【详解】 设，， 则，则， 所以，即，故B正确. 3．（25-26高一下·山东枣庄·期末）在平行四边形ABCD中，，，若，F为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平行四边形法则表示出相关向量，再通过向量减法将转化为，代入化简即可得到结果. 【详解】由题意知，，因为F为的中点， 则，所以. 4．（25-26高一下·新疆伊犁·期中）在三角形中，点是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， ∴， 又因为，，所以． 5．（25-26高一下·山东东营·期末）在中，，是线段上的一点，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设，且，化简得到，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，因为点是线段上的一点，设，且， 可得，即 又因为，可得，解得. 6．（25-26高一下·贵州遵义·期末）在中，，点在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算将转换成，再对比系数即可. 【详解】 因为点在线段上，所以设. 所以 ，所以，解得. 7．（河北承德市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，若，则__________． 【答案】 /0.75 【详解】 由题意可知，，则 为 的中点，故 ． 又 ，则 ． 因为 为 的中点，可得 ,在 中，， 所以 又因为 ， 所以 所以 ，即 ，已知 ，根据平面向量基本定理，对应系数相等， 所以 ，． 则 . 8．（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在中，，设，，用与表示，则________． 【答案】 【详解】因为，又， 所以，即. 9．（25-26高一下·甘肃白银·期末）如图，在平行四边形中，，． (1)用向量，表示，； (2)若，且B，P，E三点共线，求x的值． 【答案】(1)， (2)6 【分析】（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出，； （2）由题意，设，，结合（1）及平面向量的基本定理列方程求参数值. 【详解】（1）由，且； （2）因为B，P，E三点共线，可设，， 由（1）可得， 因为，所以，解得，故x的值为6. 题型二、平面向量基本定理与三点共线 10．（广东茂名市2025-2026学年高一下学期期末质量抽测数学试题）在中，点D满足，且线段DB上存在一点E，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，结合平面向量基本定理得到，再由二次函数单调性即可求解. 【详解】不妨设，，，则， 则， 即，则， 由平面向量基本定理得：则，由二次函数性质可知，其在单调递减，∴． 11．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）在中，，，，，分别是边，上的点，且满足，，连接，交于点，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为平面向量一组基底，设，，利用向量相等，求得，从而用基底表示出，求得其模与数量积，利用向量夹角公式即可求得结论. 【详解】由题意知，， .设，，则， ，所以，解得. 所以，， 所以， ， ， 所以.即与夹角的余弦值为. 题型三、特殊几何点向量表达（内心、重心、外心） 12．（25-26高一下·四川达州·期末）的外接圆半径为1，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（ ） A．平面，存在实数m，n使得 B．若，则在上的投影向量为 C． D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用平面向量基本定理判断A；利用投影向量的意义判断B；利用正弦定理及二倍角公式、和差角的余弦公式化简判断C；利用数量积的定义，结合三角恒等变形及二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，不共线，由平面向量基本定理得对任意向量， 均存在实数，，使得，A正确； 对于B，由，得，则在上的投影向量为，B错误； 对于C，由正弦定理得 ，C正确； 对于D， ， 要取得最小值，必有，取最大值， 因此当时，取得最小值，D正确. 13．（25-26高一下·河北张家口·期末）在中，，，N为的内心，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据等腰三角形的特征和角平分线定理，即可求解. 【详解】如图，，点是的中点，点在上， 根据角平分线定理可知，，则，所以， 14．（25-26高一下·江苏无锡·期末）在平面内，直线，在两直线之间且到的距离分别为1，2，过作两条相互垂直的射线与分别交于两点，为的重心．若设，，则可用，表示为______；的最小值为______． 【答案】 1 【分析】根据重心的几何性质，以及平面向量的线性运算，用基底表示出向量即可，根据题干条件，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，根据垂直的向量关系，求出参数关系，进而求出向量模长的最小值. 【详解】    可知， 即； 如图所示，以直线为轴，点为原点，建立平面直角坐标系， 则直线方程为，直线的方程为，可知点在直线上， 设，所以点，则， 因为，所以，即， 可知， 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以的最小值为. 巩固提升： 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）设为所在平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算法则表示即可. 【详解】由，则，即， 所以. 2．（25-26高一下·重庆江津·期末）已知O为的重心，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】如图：若O为的重心，则为的中点， 所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以当时，取到最大值. 3（多选）．（广东汕尾市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题）如图，在四边形中，E，F分别为，的中点，．设，，则下列命题正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由图形结合向量加减法结合题设可判断选项正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，如图取中点为，连接，则，故C正确； 对于D，，题目条件中未提及 ，则选项所涉等式不一定相等，故D错误. 4（多选）．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】CD 【分析】根据不共线的两向量可作为平面的基底，判断两向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线， 对于A，若与共线，则存在，使得， 因为不共线，所以，无解，故与不共线，可以作为一组基底； 对于B，若与共线，则存在，使得， 因为不共线，所以，无解，故与不共线，可以作为一组基底； 对于C，因为，即和共线，不能作为基底； 对于D，因为，即和共线，不能作为基底； 5（多选）．（25-26高二下·河南新乡·期末）在中，点满足，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 因为，，所以， 即，所以B正确，C错误； 对D，因为，所以，即，所以D正确． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $