第02讲 平面向量基本定理及坐标表示（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示，涵盖基底概念、坐标运算、共线判定等核心考点，按“定理—坐标—应用”逻辑构建知识框架，通过命题透视、知识精讲、题型拆解、真题训练环节，帮助学生系统掌握向量分解与运算，突破参数求解等难点。 资料以考情分析为导向，细化7类典型题型，提炼基底判断、共线坐标应用等方法技巧，注重数学思维培养，如通过基底表示向量训练推理能力，结合坐标运算强化数学语言表达。设置分层变式训练，助力学生高效提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1平面向量的基本定理 知识点2平面向量的坐标运算 知识点3平面向量共线的坐标表示 题型破译 (含超链接） 题型1 基底的概念及辨析 【方法技巧】判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 题型2 用基底表示向量 题型3 利用平面向量基本定理求参数 题型4 平面向量线性运算的坐标表示 题型5 向量共线的坐标表示及应用 【方法技巧】判断向量共线的方法及应用 题型6 利用坐标求向量模的问题 题型7 平面向量线性运算的综合应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量的基本定理 全国Ⅰ卷T2（5分） 平面向量线性运算的坐标表 全国一卷，T6（5分） 全国二卷，T12（5分） 由向量共线(平行)的坐标表示求参数 全国甲卷，T12（5分） 考情分析 平面向量基本定理与坐标表示，核心考查向量分解、坐标运算、共线判定及线性关系转化，常结合几何图形综合命题；是选择填空题常规高频考点，考查稳定、 近三年考情分析，平面向量基本定理及坐标表示以小题为主，侧重基底拆分、坐标参数计算，融合几何场景考查转化推理能力。 复习目标 （1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题； （2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决一些平面向量的计算问题； （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用． 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面向量的基本定理 （1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. （2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 自主检测设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以A不符合题意； 对于B，设，显然不存在实数使得成立， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以B不符合题意； 对于C，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以C不符合题意； 对于D，，可得，解得，即， 所以与共线，所以与不能作为基底，所以D符合题意. 知识点2 平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 自主检测若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，则. 故选：A. 知识点3 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 必记结论 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G的坐标为. 【谨防三个易误点】 （1））基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量. （2）a∥b的充要条件不能表示为=，因为x2，y2有可能为0. (3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 自主检测（1）已知向量，，若，则y的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由，则，解得. 故选：D. （2）（2026·湖北荆州·一模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性分析：，，，，，故充分性成立；必要性分析：，，，，，，，故必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题●型●破●译 题型1 基底的概念及辨析 例1-1（多选）已知，是平面内两个不共线的向量，则下列各组向量中，能作为该平面一组基底的有（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABC 【分析】平面内两个向量能作为一组基底的充要条件是两向量不共线，结合已知，不共线，通过反证法判断各组向量是否共线即可。 【详解】对于A：假设和共线，则存在实数满足，整理得，与，不共线矛盾，故两向量不共线，可作为基底。 对于B：假设和共线，则存在实数满足，整理得， 由，不共线可得，方程组无解，故两向量不共线，可作为基底。 对于C：假设和共线，则存在实数满足，整理得， 由，不共线可得，方程组无解，故两向量不共线，可作为基底。 对于D：显然，两向量共线，不能作为基底。 故选：ABC. 例1-2若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【详解】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 方法技巧 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基的向量必为非零向量 【变式训练1-1】（多选）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过向量是否共线，逐项判断即可； 【详解】对于A，易知，共线，所以不可以； 对于B，由，所以不共线，可以； 对于C，易知，共线，不可以； 对于D，易知，共线不可以； 故选：ACD 【变式训练1-2】若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ） ①和                 ②和 ③和                      ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 题型2 用基底表示向量 例2-1中，若，，，则向量可用，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，则 .又因为，所以. 故选：A 例2-2在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则 .（用，表示） 【答案】 【分析】由得到，结合图形，由平面向量的线性运算可得结果. 【详解】由为线段上靠近的三等分点，则， 由题意，易得，所以， 故有， 所以. 故答案为：. 【变式训练2-1·变载体】已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的中线公式、重心的性质及向量的线性运算，即可求解. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 因为是的重心，所以. 故选：B. 【变式训练2-2】若点O是平行四边形两条对角线的交点，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】 ． 故选：B． 【变式训练2-3】在平行四边形ABCD中，，，记，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用，表示出. 【详解】由题设，其中， 故． 故选：B 【变式训练2-4·变载体】（2026高三·全国·专题练习）如图，已知中，点是以为中点的点的对称点，是将分为的一个内分点，和交于点，设，． （1））用和表示向量、； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）），． （2） 【分析】（1）根据向量的三角形法则，结合向量的基本定理即可用和表示、； （2）根据向量关系的条件建立方程关系，即可求出实数的值． 【详解】（1）由题意知，是的中点，， 由平行四边形法则，得， ，； （2），， 由、、三点共线，则，解得． 题型3 利用平面向量基本定理求参数 例3-1在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】选一组基底，利用平面向量基本定理即可求解. 【详解】 因为是边上靠近点的三等分点，是的中点， 所以， 所以， 因为，不共线，所以. 故选：C. 例3-2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件得出向量之间的关系，再通过向量的运算法则逐步推导出关于和的表达式，从而确定和的值，最后计算. 【详解】如图，延长AG与BO相交于点，可得为OB的中点，可得， 由，有，有， 又由，有，可得. 故选：A. 例3-3【新思维】（2026高三·全国·专题练习）已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理可把用表示出来，再由平面向量共线定理的推论即可得出答案. 【详解】根据题意，得 ， 三点共线，，即. 故选：D. 【变式训练3-1·变载体】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】 设是的中点，则.所以. 因为，所以，因此. 故选：C. 【变式训练3-2·变载体】在中，，点为与的交点，，则（ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理得到，，从而列出方程组，求出，得到，求出答案. 【详解】因为，所以为中点， 三点共线，故可设，即， 整理得， 因为，所以，即，又三点共线， 则，所以，解得， 可得，则，. 故选：D. 【变式训练3-3·变载体】在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量基本定理求出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以，因为为的中点，所以， 所以，因为、不共线，且，所以，，故. 故选：B. 【变式训练3-4】在平行四边形中，，交于点，若，则 . 【答案】/ 【分析】由三角形相似推出，利用平面向量基本定理将用线性表示，对照系数即得. 【详解】如图，中，，则与相似， 因，则，故，即，故. 故答案为：. 题型4 平面向量线性运算的坐标表示 例4-1已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，因为，所以⇒ 故. 故选：A. 例4-2已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. （1）求点的坐标； （2）若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 【答案】（1）） （2）共线，证明见解析 【分析】（1）设出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解； （2）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）设，因为，，则，， 因为，所以，即，解得，所以； （2）向量与向量共线，证明如下： 设，因为，，所以，，因为， 则，即，解得，所以， 所以，，所以，故与共线. 【变式训练4-1】已知点，点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解. 【详解】点，点，则. 故选：B 【变式训练4-2】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·期中），则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为，则，则 【变式训练4-3】如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，，得，由，得， 因此，所以. 故选：B 【变式训练4-4】与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】与向量平行的单位向量是，即可求解． 【详解】因为与向量平行的单位向量是，， 所以所求单位向量为，即或 故选：D 【变式训练4-5】（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】点，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点的坐标为． 题型5 向量共线的坐标表示及应用 例5-1（2026·辽宁辽阳·阶段检测）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，，，所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 例5-2（2026·湖南长沙·阶段检测）已知向量，且，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由题意结合向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以． 故选：B． 例5-3（25-26高三上·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： （1）； （2）三点共线． 【答案】（1））证明见解析 （2）证明见解析 【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，先求出各点坐标，再写出向量 与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使 ），且无公共点，即可证两直线平行。 （2）在同一坐标系中，写出向量与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使），且两向量有公共点，即可证三点共线． 【详解】（1） 如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 已知，则，，，，，， ，，所以，即与共线， 又因为与无公共点，所以； （2）由（1）得，， 所以，即与共线， 又因为与有公共点，所以三点共线． 方法技巧 判断向量共线的方法及应用 （1）判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐标来判断，即先求出，，若，则． （2）由向量共线求参数的值 已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解． 【变式训练5-1】已知，且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，求得，结合向量的坐标运算，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 即，所以. 故选：A. 【变式训练5-2·变设问（2026·江西·一模）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 故选：A. 【变式训练5-3·变考法】（2026·湖北荆州·一模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性分析：，，，，，故充分性成立；必要性分析：，，，，，，，故必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练5-4】已知向量，，，若与平行，则实数 . 【答案】 【分析】由题意，结合向量平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】由题意，若与平行，则，解得. 故答案为：1. 【变式训练5-5·变载体】已知向量，若，则 【答案】/0.28 【分析】由向量共线关系得出方程，求解，再由余弦二倍角求得结果. 【详解】由，可得，即， ，解得：或（舍），． 故答案为：. 题型6 利用坐标求向量模的问题 例6-1（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，若，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】因，故，故，所以，故． 故选：C. 例6-2已知平行四边形中，．则对角线的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】设，由，得所以,解得 所以点坐标为. 所以 . 故选：A. 【变式训练6-1】（2026·广东佛山·二模）设向量，，则（    ） A．5 B．8 C．15 D．17 【答案】D 【详解】，所以. 故选：D. 【变式训练6-2·原创题】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量与向量的方向相反，，点坐标为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出后，可得向量，再结合点坐标即可得点坐标. 【详解】由，则，由向量与向量的方向相反，且， 故，由点坐标为，则点坐标为. 故选：A. 【变式训练6-3变考法】（25-26高三上·北京丰台·期中）已知平面向量，. （1））若，求实数的值； （2）设，若三点共线，求m的值. 【答案】（1））或 （2） 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示和几何意义建立关于的方程，解之即可； （2）法一：易知，根据平面平行向量的坐标表示建立关于的方程，解之即可； 法二：易知存在实数使得，利用向量的坐标运算和相等向量的概念建立关于的方程组，解之即可. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以，整理得，解得或. （2）法一：因为A，B，C三点共线， 所以，因为，， 所以，所以. 法二：因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使得， 即，所以即. 题型7 平面向量线性运算的综合应用 例7-1（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则，且，所以． 故选：B. 例7-2【新思维】在△ABC中，已知与的夹角是90°，，，M是BC上的一点，且，且，则的值为________． 【答案】/ 【分析】以为原点建系，设，根据条件即可得出之间的关系，化简即可. 【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，所以， 设，则，所以，即， 又，则，则，所以. 故答案为： 【变式训练7-1·变载体】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四边形中，，，，且，则___________． 【答案】 【分析】建系标出点的坐标，根据向量的坐标运算可得，，结合模长关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，可得，则， 可得，， 又因为，且，则，整理得， 即，所以． 【变式训练7-2·原创题】设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示可得，再应用基本不等式及“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由， 由三点共线，且， 所以， 则， 当且仅当时取等. 故答案为：6 【变式训练7-3·变载体】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. （1）若，则的值 （2）若交于点，求线段的长 【答案】（1）） （2） 【分析】（1）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）根据三点共线和三点共线，结合共线向量的坐标公式求出点的坐标，再求出即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：， 所以，解得，因此； （2）设，因为三点共线，所以 则存在唯一实数，使得， 则，可得，， 即， 又三点共线，且，，则，所以，解得， 则，所以，所以，所以线段的长. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足，所以. 故选：B 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则_________． 【答案】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：. 故答案为：. 4.（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 【答案】/ 【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由得，解得. 故答案为：. 5.（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：，∴， ，∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.在下列各组向量中，可以作为基底的是( ). A.， B.， C.， D.， 【答案】B 两个不共线的向量可以作为基底.A项中，故不能作为基底；B项中，不共线，可以作为基底；C项中，所以，不能作为基底；D项中，不能作为基底， 故选B. 2.已知向量，.当为何值时，与a垂直? 【答案】 【详解】，，. 又与a垂直，， ，即，. 3.已知的顶点，，，求顶点D的坐标. 【答案】 【详解】解法1：设O为坐标原点，则，.而，，所以顶点D的坐标为. 解法2：设顶点D的坐标为，则，，. 由，得解得所以顶点D的坐标为. 4.如图，在中，，点E是CD的中点.设，，用a，b表示，. 【答案】； 【详解】， . 5.已知向量，，，求满足的和的值. 【答案】 【详解】由，得.即解得 6.已知点，，，且，，求点，及向量的坐标. 【答案】；； 【详解】因为，所以点的坐标为.因为，所以点的坐标为.所以向量. 7.已知点，，且，，，求点C， D，E的坐标. 【答案】；； 【详解】设O为坐标原点，则，. ，，. ，所以点C的坐标为； ，所以点D的坐标为； ，所以点E的坐标为. 8.已知平面直角坐标系中，点O为原点，，. （1）求的坐标及的值； （2）若，，求与的坐标； （3）求的值. 【答案】（1）， （2）， （3）33 【详解】（1），. （2）， . （3）. 9.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. （1）用a，b表示，. （2）如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 【答案】（1）； （2），证明见解析 【详解】（1）； . （2）.证明如下： 由（1）知，，， . ，. 10.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.设. （1）计算的大小； （2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理. 【.答案】（1）；（2）合理 【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，将分解到轴和轴可求得，，所以. （2）对于任意向量都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理. 14 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1平面向量的基本定理 知识点2平面向量的坐标运算 知识点3平面向量共线的坐标表示 题型破译 (含超链接） 题型1 基底的概念及辨析 【方法技巧】判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 题型2 用基底表示向量 题型3 利用平面向量基本定理求参数 题型4 平面向量线性运算的坐标表示 题型5 向量共线的坐标表示及应用 【方法技巧】判断向量共线的方法及应用 题型6 利用坐标求向量模的问题 题型7 平面向量线性运算的综合应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量的基本定理 全国Ⅰ卷T2（5分） 平面向量线性运算的坐标表 全国一卷，T6（5分） 全国二卷，T12（5分） 由向量共线(平行)的坐标表示求参数 全国甲卷，T12（5分） 考情分析 平面向量基本定理与坐标表示，核心考查向量分解、坐标运算、共线判定及线性关系转化，常结合几何图形综合命题；是选择填空题常规高频考点，考查稳定、 近三年考情分析，平面向量基本定理及坐标表示以小题为主，侧重基底拆分、坐标参数计算，融合几何场景考查转化推理能力。 复习目标 （1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题； （2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决一些平面向量的计算问题； （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用． 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面向量的基本定理 （1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 （2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 自主检测设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点2 平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ . （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝ 自主检测若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点3 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔ . 必记结论 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G的坐标为. 【谨防三个易误点】 （1））基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量. （2）a∥b的充要条件不能表示为=，因为x2，y2有可能为0. (3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 自主检测（1）已知向量，，若，则y的值为（    ） A． B． C．2 D． （2）（2026·湖北荆州·一模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题●型●破●译 题型1 基底的概念及辨析 例1-1（多选）已知，是平面内两个不共线的向量，则下列各组向量中，能作为该平面一组基底的有（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 例1-2若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基的向量必为非零向量 【变式训练1-1】（多选）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ） ①和            ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 题型2 用基底表示向量 例2-1中，若，，，则向量可用，表示为（    ） A． B． C． D． 例2-2在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则 .（用，表示） 【变式训练2-1·变载体】已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】若点O是平行四边形两条对角线的交点，，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】在平行四边形ABCD中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4·变载体】（2026高三·全国·专题练习）如图，已知中，点是以为中点的点的对称点，是将分为的一个内分点，和交于点，设，． （1））用和表示向量、； （2）若，求实数的值． 题型3 利用平面向量基本定理求参数 例3-1在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 例3-2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 例3-3【新思维】（2026高三·全国·专题练习）已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 【变式训练3-1·变载体】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【变式训练3-2·变载体】在中，，点为与的交点，，则（ ） A．0 B． C． D． 【变式训练3-3·变载体】在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】在平行四边形中，，交于点，若，则 . 题型4 平面向量线性运算的坐标表示 例4-1已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 例4-2已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. （1）求点的坐标； （2）若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 【变式训练4-1】已知点，点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·期中），则（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（    ） A． B．1 C．5 D． 【变式训练4-4】与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练4-5·变载体】（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 题型5 向量共线的坐标表示及应用 例5-1（2026·辽宁辽阳·阶段检测）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 例5-2（2026·湖南长沙·阶段检测）已知向量，且，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 例5-3（25-26高三上·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： （1）； （2）三点共线． 方法技巧 判断向量共线的方法及应用 （1）判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐标来判断，即先求出，，若，则． （2）由向量共线求参数的值 已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解． 【变式训练5-1】已知，且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2·变设问（2026·江西·一模）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3·变考法】（2026·湖北荆州·一模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练5-4】已知向量，，，若与平行，则实数 . 【变式训练5-5·变载体】已知向量，若，则 题型6 利用坐标求向量模的问题 例6-1（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，若，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 例6-2已知平行四边形中，．则对角线的长为（    ） A． B． C． D．3 【变式训练6-1】（2026·广东佛山·二模）设向量，，则（    ） A．5 B．8 C．15 D．17 【变式训练6-2·原创题】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量与向量的方向相反，，点坐标为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3变考法】（25-26高三上·北京丰台·期中）已知平面向量，. （1））若，求实数的值； （2）设，若三点共线，求m的值. 题型7 平面向量线性运算的综合应用 例7-1（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 例7-2【新思维】在△ABC中，已知与的夹角是90°，，，M是BC上的一点，且，且，则的值为________． 【变式训练7-1·变载体】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四边形中，，，，且，则___________． 【变式训练7-2·原创题】设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 【变式训练7-3·变载体】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. （1）若，则的值 （2）若交于点，求线段的长 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则_________． 4.（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 5.（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.在下列各组向量中，可以作为基底的是( ). A.， B.， C.， D.， 2.已知向量，.当为何值时，与a垂直? 3.已知的顶点，，，求顶点D的坐标. 4.如图，在中，，点E是CD的中点.设，，用a，b表示，. 5.已知向量，，，求满足的和的值. 6.已知点，，，且，，求点，及向量的坐标. 7.已知点，，且，，，求点C，D，E的坐标. 8.已知平面直角坐标系中，点O为原点，，. （1）求的坐标及的值； （2）若，，求与的坐标； （3）求的值. 9.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. （1）用a，b表示，. （2）如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 10.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.设. （1）计算的大小； （2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $