专题03一元二次方程根的判别式的应用（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

专题03 一元二次方程根的判别式的应用 （题型突破·举一反三） 题型01利用根的判别式判断根的情况义 题型02 利用根的判别式求字母的值 题型03 利用根的判别式确定字母的取值范围 题型04 利用根的判别式求代数式的值 题型05 利用根的判别式确定字母的取值范围 题型06 根的判别式与新定义运算 题型07 根的判别式与三角形的综合应用 题型08 根的判别式与四边形的综合应用 ▌题型01 利用根的判别式判断根的情况 【典例1-1】【答案】A 【典例1-2】【答案】D 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】A ▌题型02 利用根的判别式求字母的值 【典例2】【答案】D 【变式1-1】【答案】1 【变式1-2】【答案】1（答案不唯一） 【变式1-3】【答案】 ▌题型03 利用根的判别式确定字母的取值范围 【典例3-1】【答案】D 【典例3-2】【答案】B 【变式1-1】 【答案】D 【变式1-2】 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． 【详解】（1）解：判别式且， 解得且； （2）解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 【变式1-3】 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． ▌题型04 利用根的判别式求代数式的值 【典例4-1】 【答案】B 【典例4-2】【答案】D． 【变式1-1】 【答案】1 【变式1-2】 【答案】． 【变式1-3】【答案】8 ▌题型05 利用根的判别式证明方程根的必然情况 【典例5】 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． ()根据根的判别式即可求出答案； ()把代入方程中即可求出答案． 【小问1】 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2】 解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 【变式1-1】 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 【变式1-2】 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 【详解】（1）（1）证明： ①时，该方程为一元一次方程，有实数根； ②时，该方程为一元二次方程， ， 不论为何值时，， ， 方程总有实数根； 综上，不论为何值时，方程总有实数根． （2）解：解方程得，， ，， 方程有两个不相等的正整数根，为整数， ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1)见详解 (2)， (3)或． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式以及根据一元二次次方程根的情况求出参数等知识． （1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． （3）利用一元二次次方程根的情况求出参数即可． 【详解】（1）证明：，，， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根 （2） ， ∴或， ∴， （3）由（2）知，， ∵m为整数，方程的两个根都是正整数， ∴必为正整数， ∴或2， ∴或． ▌题型06 根的判别式与新定义运算 【典例6-1】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 【典例6-2】 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 【变式1-2】 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②，， 【分析】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解方程可求出的值，据此可求出答案； （2）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断该方程没有实数根，据此可证明代数式没有不变值； （3） ① 先令，化简后再根据，可求出实数a的值；②先令，化简后可求出方程的根为：，再根据此方程至少有一个是整数，可得a是3或5的约数，进而可求出a的值． 【详解】（1）解：根据题意可得，，整理得，， 解得：，， 故答案为： （2）证明：令，则有，其判别式， ∴此方程无解， ∴ 关于的代数式没有不动值． （3）解：①令，则有， ∵此方程只有一个实数根， ∴则， 解得，（舍去）， ∴． ②，，， 令，则有， 因式分解可得：， 解得：， ∵此方程至少有一个是整数 ， ∴只要a是3或5的约数即可，即， ∴，，． 【变式1-3】 【答案】(1)或； (2)当时，方程的解为，；当时，方程的解：，； (3)或． 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分式的化解求值，理解常数根一元二次方程的定义是解题关键． （1）根据常数根一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程，求解即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程，再将代入关于x的方程分别求解即可； （3）将所求代数式约分化简得到，由方程有两个相等的实数根，得到，由常数根一元二次方程的定义，得到，再分两种情况讨论：当和时，分别求出的值，再代入代数式计算求值即可 【详解】（1）解：关于的方程是常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ，即， 解得：，， 即c的值为或； （2）解：关于x的方程是常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ， 整理得：， 解得：，， 当时，方程为，解得：，； 当时，方程为，解得：，； （3）解： ， 方程有两个相等的实数根， ， 关于x的常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ， 当时，则，解得，此时原式； 当时，则，即， ， 解得：， ， 此时原式； 综上可知，代数式的值为或． ▌题型07 根的判别式与三角形知识的综合应用 【典例7-1】 【答案】(1)见解析； (2)当k等于4或3时，△ABC是等腰三角形；当时，△ABC的周长为16，当时，△ABC的周长为14． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式求得 即可证明； （2）由（1）可得BC边为腰，先解方程，再分类讨论即可求出k值和三角形周长． 【详解】（1） 证明： ＞0 无论k为何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2） 解方程，得，． 当时，，则， 此时等腰△ABC的周长为：； 当时，，则， 此时等腰△ABC的周长为：； 综上，当时，等腰△ABC的周长为16，当时，等腰△ABC的周长为14． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【典例7-2】 【答案】(1)证明见解析 (2)m的值为：或． 【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定； （2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）原方程可变为， 则方程的两根为，， ∴直角三角形三边为6，5，m； ∴， ①若m为直角三角形的斜边时，则：； ②若6为直角三角形的斜边时，则：． 综上：m的值为：或． 【点睛】此题考查利用根的判别式探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透． 【变式1-1】 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程根的判别式，证明判别式恒大于等于0即可证明结论； （2）先因式分解求出方程的两个根，再分和两种情况讨论，结合三角形三边关系舍去不合题意的解，得到m的值． 【详解】（1）略 （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 【变式1-2】 【答案】(1)是等腰三角形； (2)13 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程可推出，即，即可得到是等腰三角形； （2）根据根的判别式得到，由此推出，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】 【答案】（1）等边三角形   （2）-12 【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根，即△=0，由△=0可以得到一关于a，c的方程，再结合方程3cx+2b=2a的根为x=0，代入即可得到关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系； （2）根据（1）中求出a，b的值，可以关于m的方程，解方程即可求出m． 【详解】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+x+2c-a=0有两个相等的实数根， ∴Δ=()2-4×1×(2c-a)=0， ∴a+b=2c， 又∵关于x的方程3cx+2b=2a的根为x=0， ∴a=b， ∴a=b=c，即△ABC是等边三角形； (2)∵a，b是关于x的一元二次方程x2+mx-3m=0的两个实数根， 又由（1）知a=b, ∴方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根， ∴Δ=m2+4×3m=0， 解得m=0或m=-12， 当m=0时,方程x2+mx-3m=0可化为x2=0, 解得x1=x2=0， 又由a，b，c是△ABC的三边长,得a>0，b>0，c>0，故m=0不符合题意； 当m=-12时,方程x2+mx-3m=0可化为x2-12x+36=0, 解得x1=x2=6， 可知m=-12符合题意， 故m的值为-12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当△>0，方程有两不相等的实数根；当△=0，方程有两相等的实数根；当△<0，方程有无实数根． ▌题型08 根的判别式与四边形的综合应用 【典例8】 【答案】(1)1 (2)，周长为4 【分析】（1）先把代入得，可得，再代入方程解方程即可； （2）由菱形的性质可得方程有两个相等的实数根，再利用根的判别式建立方程求解a，可得方程，再解方程可得菱形的边长，从而可得答案． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：； 方程为， 解得：，； ∴． （2）∵在菱形中， ∴， ∴方程有两个相等的根 ∴，得 方程的解为； ∴菱形周长为4． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，一元二次方程的解与解法，根的判别式的含义，理解题意，利用方程思想解题是关键． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可以求出方程的两个根，再由矩形性质即可求值； （2）由菱形邻边相等得到方程有两等根，再由判别式求值即可． 【详解】（1）解：当时， 整理得： ∴ ∵四边形为矩形 ∴矩形的对角线长为． （2）解：∵四边形为菱形 ∴关于x的一元二次方程有两相等的根 ∴ 解得： 此时原方程为 ∴ ∴菱形周长为． 【点睛】本题考查一元二次方程与四边形综合，解题的关键是熟练解方程并理解矩形和菱形的性质． 【变式1-2】 【答案】(1)有两个实数根，见解析 (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答； （2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解． 【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根 理由：， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长， ∴， ∵该一元二次方程的两根为a，b， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴这个一元二次方程为，解得． ∴这个矩形对角线的长是5． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【变式1-3】 【答案】(1)，矩形是正方形，边长是 (2)5 【分析】（1）根据正方形的性质可得，则有关于x的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据题意把代入方程求解m，然后再求解方程的解，进而问题可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ∴． 又∵，的长是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴，此时四边形为正方形； 当时，原方程为， 解得：， ∴正方形的边长是． （2）∵的长为2， ∴把代入原方程，得， 解得． 将代入原方程，得， 解得 ∴方程的另一根， ∴矩形的周长是． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的性质及一元二次方程的应用是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程根的判别式的应用 （题型突破·举一反三） 题型01利用根的判别式判断根的情况义 题型02 利用根的判别式求字母的值 题型03 利用根的判别式确定字母的取值范围 题型04 利用根的判别式求代数式的值 题型05 利用根的判别式确定字母的取值范围 题型06 根的判别式与新定义运算 题型07 根的判别式与三角形的综合应用 题型08 根的判别式与四边形的综合应用 ▌题型01 利用根的判别式判断根的情况 ◆1、核心知识点 对于一元二次方程标准形式，定义根的判别式：，根的情况由 唯一判定： （1） ：方程有两个不相等的实数根； （2） ：方程有两个相等的实数根； （3） ：方程没有实数根。 ◆2、解题必备步骤 （1）整理方程：将方程化为一元二次方程标准形式； （2）确定参数：准确找出二次项系数 、一次项系数 、常数项 ； （3）计算判别式：代入公式求出 的值； （4）判断结论：根据 的正负或为0，判定方程根的情况。 ◆3、易错点 必须保证二次项系数 ，若，方程为一元一次方程，不能使用根的判别式判断。 【典例1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【典例1-2】已知关于x的方程，下列说法正确的是（　　） A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解 C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解 【答案】D 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式分析求出即可． 【详解】解：A、当时，方程为， 解得， 故当时，方程有一个实数根，故A不符合题意； B、当时，关于的方程为一元二次方程， ， 当时，方程有相等的实数根，故B不符合题意， CD、当时，关于的方程为为一元二次方程， ， 当时，方程有两个相等的实数根，故C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确把握其定义是解题关键． 【变式1-1】下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：A. ，即，，则原方程有实数根，故该选项不符合题意； B. ，，则原方程没有实数根，故该选项符合题意； C. ，即，，则原方程有实数根，故该选项不符合题意； D. ，，则原方程有实数根，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 【答案】A 【分析】当时方程有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时没有实数根，计算判别式并判断其符号即可得到结论． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，，， 计算判别式得： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式1-3】当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】利用c＝1﹣b得到Δ＝（b﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵b+c＝1， ∴c＝1﹣b， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣c）＝b2+4（1﹣b）＝（b﹣2）2≥0， ∴方程有两个实数解． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． ▌题型02 利用根的判别式求字母的值 ◆1、核心原理 题目已知方程根的数量特征（两个相等实根、两个不等实根、无实根），可转化为 、、，通过列方程求解参数的值。 ◆2、解题必备步骤 （1）整理方程，确定含字母参数的 ； （2）根据题干根的情况，列出对应 等式； （3）代入判别式公式，得到关于字母的方程并求解； （4）检验取值：必须满足一元二次方程前提 ，舍去无效解。 【典例2】7．（2026·贵州黔东南·三模）方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 代入系数得 ，即 ，解得 ． 【变式1-1】（2025·江苏常州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 【变式1-2】（2024·江苏连云港·一模）若关于x的方程没有实数根，则k的值可以是__________（只填一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据“，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；”列式求解，即可解题． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， ∴， ∴， k的值可以是1（即可）． 故答案为：1（答案不唯一）． 【变式1-3】已知关于x的方程无实数解，则m取到的最小正整数值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程无实数解， 当时，原方程为一元一次方程，有解， 当时，原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， ∴则m取到的最小正整数值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． ▌题型03 利用根的判别式确定字母的取值范围 ◆1、核心思路 根据方程根的存在情况，将文字条件转化为关于参数的不等式，解不等式即可得到字母取值范围，全程需兼顾一元二次方程定义。 ◆2、解题必备步骤 （1）把方程化为标准形式，确定参数 ； （2） 根据题意列不等式：两个不等实根（）、两个相等实根（）、无实根（）； （3）解不等式，同时附加核心限制条件 ； （4）整理结果，若题目要求整数解，需进一步筛选取值。 【典例3-1】如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得． 【典例3-2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据根的判别式即可求出的取值范围，掌握根的判别式与一元二次方程解的情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行解答即可． 【详解】解：由题意得：且，解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． 【详解】（1）解：判别式且， 解得且； （2）解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． ▌题型04 利用根的判别式求代数式的值 ◆1、核心思路 通过根的判别式得出参数之间的等量关系，无需单独求出每个字母的值，利用整体代入法化简、求解代数式的值。 ◆2、解题必备步骤 （1）根据方程根的情况，由 条件推出参数的等量关系式； （2）对所求代数式进行因式分解、配方等变形，适配整体代入条件； （3）将参数等量关系整体代入代数式化简计算； （4）检验取值，舍去使原方程无意义的参数，保留有效结果。 【典例4-1】 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则有且，则，即，得，，然后代入所求代数式进行化简即可求解． 【详解】有两个相等的实数根， ，． ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及整体代入思想的运用能力．其中，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．掌握根的判别式，即一元二次方程有两个相等的实数根，则是解题的关键． 【典例4-2】若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2+2k（1﹣k）的值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【答案】D． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（2k）2﹣4（1﹣4k）＝0，则k2+2k，然后利用代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：根据题意得Δ＝（2k）2﹣4（1﹣4k）＝0， ∴k2+2k， ∴（k﹣2）2+2k（1﹣k）＝k2﹣4k+4+2k﹣2k2 ＝﹣k2﹣2k+4 ＝﹣（k2+2k）+4 4 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 【变式1-1】 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】1 【分析】直接利用根的判别式得出，进而化简得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 则， 故， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确将原式变形是解题关键． 【变式1-2】 若关于x的一元二次方程x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，则代数式（3b﹣1）2﹣5b（2b）的值为　 　． 【答案】． 【分析】化简代数式得﹣（b2+2b）+1，根据一元二次方程根的判别式，求得b2+2b，代入即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根， ∴（﹣2b）2﹣4（﹣4b+1）＝4b2+8b﹣2＝0， ∴b2+2b， ∴（3b﹣1）2﹣5b（2b）＝﹣b2﹣2b+1＝﹣（b2+2b）+11， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，多项式乘法，熟练掌握整体代入方法是解决问题的关键． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 【答案】8 【分析】本题考查了代数式求值、一元二次方程根的判别式，根据根的判别式可得，再将化为已知的形式即可求解，熟练掌握根的判别式及代数式化为已知的形式是解题的关键． 【详解】解：由题意，， ， ∴原式 ． ▌题型05 利用根的判别式证明方程根的必然情况 ◆1、核心方法 无需解方程，通过配方法化简判别式，利用平方的非负性，证明 恒正、恒负或恒为0，从而确定方程根的固定情况。 ◆2、解题必备步骤 （1）写出方程的 ，列出判别式 ； （2） 对 进行配方，整理成“平方项+常数”的形式； （3） 依据平方非负性（），判断 的正负性； （4）得出结论：无论参数取何实数，方程恒有/无特定实数根。 【典例5】已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． ()根据根的判别式即可求出答案； ()把代入方程中即可求出答案． 【小问1】 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2】 解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 【变式1-1】已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 【变式1-2】已知关于x的方程． (1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根； (2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 【详解】（1）（1）证明： ①时，该方程为一元一次方程，有实数根； ②时，该方程为一元二次方程， ， 不论为何值时，， ， 方程总有实数根； 综上，不论为何值时，方程总有实数根． （2）解：解方程得，， ，， 方程有两个不相等的正整数根，为整数， ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键． 【变式1-3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)或． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式以及根据一元二次次方程根的情况求出参数等知识． （1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． （3）利用一元二次次方程根的情况求出参数即可． 【详解】（1）证明：，，， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根 （2） ， ∴或， ∴， （3）由（2）知，， ∵m为整数，方程的两个根都是正整数， ∴必为正整数， ∴或2， ∴或． ▌题型06 根的判别式与新定义运算 ◆1、核心要点 题目自定义全新运算规则，无固定公式，核心解题逻辑：先按新定义列式，再结合根的判别式知识求解。 ◆2、解题必备步骤 （1）精读题干，理解并套用新定义运算规则，列出整式方程； （2）整理方程为一元二次方程标准形式，确定 ； （3）根据题目根的限制条件，结合 列等式或不等式； （4）求解参数，检验 及新定义规则的限制条件，规范作答。 【典例6-1】 新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 【典例6-2】 关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 【变式1-1】定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 【变式1-2】对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是 ． (2)证明：关于的代数式没有不动值； (3)已知关于的代数式（）． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，直接写出正整数的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②，， 【分析】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解方程可求出的值，据此可求出答案； （2）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断该方程没有实数根，据此可证明代数式没有不变值； （3） ① 先令，化简后再根据，可求出实数a的值；②先令，化简后可求出方程的根为：，再根据此方程至少有一个是整数，可得a是3或5的约数，进而可求出a的值． 【详解】（1）解：根据题意可得，，整理得，， 解得：，， 故答案为： （2）证明：令，则有，其判别式， ∴此方程无解， ∴ 关于的代数式没有不动值． （3）解：①令，则有， ∵此方程只有一个实数根， ∴则， 解得，（舍去）， ∴． ②，，， 令，则有， 因式分解可得：， 解得：， ∵此方程至少有一个是整数 ， ∴只要a是3或5的约数即可，即， ∴，，． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏常州·期中）规定：若关于x的一元二次方程中常数项c是该方程的一个根，则该方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_________； (2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，求该方程的解； (3)若关于x的常数根一元二次方程有两个相等的实数根时，求代数式的值． 【答案】(1)或； (2)当时，方程的解为，；当时，方程的解：，； (3)或． 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分式的化解求值，理解常数根一元二次方程的定义是解题关键． （1）根据常数根一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程，求解即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程，再将代入关于x的方程分别求解即可； （3）将所求代数式约分化简得到，由方程有两个相等的实数根，得到，由常数根一元二次方程的定义，得到，再分两种情况讨论：当和时，分别求出的值，再代入代数式计算求值即可 【详解】（1）解：关于的方程是常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ，即， 解得：，， 即c的值为或； （2）解：关于x的方程是常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ， 整理得：， 解得：，， 当时，方程为，解得：，； 当时，方程为，解得：，； （3）解： ， 方程有两个相等的实数根， ， 关于x的常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ， 当时，则，解得，此时原式； 当时，则，即， ， 解得：， ， 此时原式； 综上可知，代数式的值为或． ▌题型07 根的判别式与三角形知识的综合应用 ◆1、核心知识点 （1）若三角形三边满足含参数的一元二次方程，方程有两个相等实数根（），可推出两边相等，判定为等腰三角形； （2）结合多组等式可进一步判定等边三角形，所有结果必须满足三角形三边关系。 ◆2、解题必备步骤 （1）根据三角形边长等式，整理出对应的一元二次方程； （2） 依据题意利用 得到边长等量关系； （3）根据边长关系判断三角形形状（等腰、等边）； （4） 验证三边关系：任意两边之和大于第三边，舍去不符合实际的解。 【典例7-1】 已知的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)当k等于4或3时，△ABC是等腰三角形；当时，△ABC的周长为16，当时，△ABC的周长为14． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式求得 即可证明； （2）由（1）可得BC边为腰，先解方程，再分类讨论即可求出k值和三角形周长． 【详解】（1） 证明： ＞0 无论k为何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2） 解方程，得，． 当时，，则， 此时等腰△ABC的周长为：； 当时，，则， 此时等腰△ABC的周长为：； 综上，当时，等腰△ABC的周长为16，当时，等腰△ABC的周长为14． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【典例7-2】 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)m的值为：或． 【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定； （2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）原方程可变为， 则方程的两根为，， ∴直角三角形三边为6，5，m； ∴， ①若m为直角三角形的斜边时，则：； ②若6为直角三角形的斜边时，则：． 综上：m的值为：或． 【点睛】此题考查利用根的判别式探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透． 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程根的判别式，证明判别式恒大于等于0即可证明结论； （2）先因式分解求出方程的两个根，再分和两种情况讨论，结合三角形三边关系舍去不合题意的解，得到m的值． 【详解】（1）略 （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 【变式1-2】已知关于x的方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)若是方程的根，试判断的形状； (2)若方程有两个相等的实数根，且，求c的值． 【答案】(1)是等腰三角形； (2)13 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程可推出，即，即可得到是等腰三角形； （2）根据根的判别式得到，由此推出，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，关于x的方程3cx+2b＝2a的根为x＝0． （1）试判断△ABC的形状; （2）若a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，求m的值． 【答案】（1）等边三角形   （2）-12 【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根，即△=0，由△=0可以得到一关于a，c的方程，再结合方程3cx+2b=2a的根为x=0，代入即可得到关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系； （2）根据（1）中求出a，b的值，可以关于m的方程，解方程即可求出m． 【详解】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+x+2c-a=0有两个相等的实数根， ∴Δ=()2-4×1×(2c-a)=0， ∴a+b=2c， 又∵关于x的方程3cx+2b=2a的根为x=0， ∴a=b， ∴a=b=c，即△ABC是等边三角形； (2)∵a，b是关于x的一元二次方程x2+mx-3m=0的两个实数根， 又由（1）知a=b, ∴方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根， ∴Δ=m2+4×3m=0， 解得m=0或m=-12， 当m=0时,方程x2+mx-3m=0可化为x2=0, 解得x1=x2=0， 又由a，b，c是△ABC的三边长,得a>0，b>0，c>0，故m=0不符合题意； 当m=-12时,方程x2+mx-3m=0可化为x2-12x+36=0, 解得x1=x2=6， 可知m=-12符合题意， 故m的值为-12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当△>0，方程有两不相等的实数根；当△=0，方程有两相等的实数根；当△<0，方程有无实数根． ▌题型08 根的判别式与四边形的综合应用 ◆1、核心解题步骤 （1）设参：设四边形边长 / 线段含字母参数k、m等 （2）列式：结合平行四边形、矩形、菱形、正方形边长关系，列出一元二次方程 （3）判别式核心： ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程没有实数根。 （4）结合四边形限制取舍 边长＞0；菱形四边相等、矩形邻边垂直、对角线性质；舍去不符合图形意义的解. 【典例8】 （23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知：的两边、的长是关于的方程的两个实数根． (1)若长为2，则长是多少？ (2)当为何值时，四边形是菱形？求出此时菱形的周长． 【答案】(1)1 (2)，周长为4 【分析】（1）先把代入得，可得，再代入方程解方程即可； （2）由菱形的性质可得方程有两个相等的实数根，再利用根的判别式建立方程求解a，可得方程，再解方程可得菱形的边长，从而可得答案． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：； 方程为， 解得：，； ∴． （2）∵在菱形中， ∴， ∴方程有两个相等的根 ∴，得 方程的解为； ∴菱形周长为4． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，一元二次方程的解与解法，根的判别式的含义，理解题意，利用方程思想解题是关键． 【变式1-1】关于x的一元二次方程的两个根是平行四边形的两邻边长． (1)当，且四边形为矩形时，求矩形的对角线长度． (2)若四边形为菱形，求菱形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可以求出方程的两个根，再由矩形性质即可求值； （2）由菱形邻边相等得到方程有两等根，再由判别式求值即可． 【详解】（1）解：当时， 整理得： ∴ ∵四边形为矩形 ∴矩形的对角线长为． （2）解：∵四边形为菱形 ∴关于x的一元二次方程有两相等的根 ∴ 解得： 此时原方程为 ∴ ∴菱形周长为． 【点睛】本题考查一元二次方程与四边形综合，解题的关键是熟练解方程并理解矩形和菱形的性质． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【答案】(1)有两个实数根，见解析 (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答； （2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解． 【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根 理由：， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长， ∴， ∵该一元二次方程的两根为a，b， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴这个一元二次方程为，解得． ∴这个矩形对角线的长是5． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【变式1-3】已知：矩形的两边，的长是关于方程的两个实数根． (1)当m为何值时，矩形是正方形？求出这时正方形的边长； (2)若的长为2，那么矩形的周长是多少？ 【答案】(1)，矩形是正方形，边长是 (2)5 【分析】（1）根据正方形的性质可得，则有关于x的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据题意把代入方程求解m，然后再求解方程的解，进而问题可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ∴． 又∵，的长是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴，此时四边形为正方形； 当时，原方程为， 解得：， ∴正方形的边长是． （2）∵的长为2， ∴把代入原方程，得， 解得． 将代入原方程，得， 解得 ∴方程的另一根， ∴矩形的周长是． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的性质及一元二次方程的应用是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程根的判别式的应用 （题型突破·举一反三） 题型01利用根的判别式判断根的情况义 题型02 利用根的判别式求字母的值 题型03 利用根的判别式确定字母的取值范围 题型04 利用根的判别式求代数式的值 题型05 利用根的判别式确定字母的取值范围 题型06 根的判别式与新定义运算 题型07 根的判别式与三角形的综合应用 题型08 根的判别式与四边形的综合应用 ▌题型01 利用根的判别式判断根的情况 ◆1、核心知识点 对于一元二次方程标准形式，定义根的判别式：，根的情况由 唯一判定： （1） ：方程有两个不相等的实数根； （2） ：方程有两个相等的实数根； （3） ：方程没有实数根。 ◆2、解题必备步骤 （1）整理方程：将方程化为一元二次方程标准形式； （2）确定参数：准确找出二次项系数 、一次项系数 、常数项 ； （3）计算判别式：代入公式求出 的值； （4）判断结论：根据 的正负或为0，判定方程根的情况。 ◆3、易错点 必须保证二次项系数 ，若，方程为一元一次方程，不能使用根的判别式判断。 【典例1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【典例1-2】已知关于x的方程，下列说法正确的是（　　） A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解 C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解 【变式1-1】下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 【变式1-3】当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 ▌题型02 利用根的判别式求字母的值 ◆1、核心原理 题目已知方程根的数量特征（两个相等实根、两个不等实根、无实根），可转化为 、、，通过列方程求解参数的值。 ◆2、解题必备步骤 （1）整理方程，确定含字母参数的 ； （2）根据题干根的情况，列出对应 等式； （3）代入判别式公式，得到关于字母的方程并求解； （4）检验取值：必须满足一元二次方程前提 ，舍去无效解。 【典例2】7．（2026·贵州黔东南·三模）方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·江苏常州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 【变式1-2】 （2024·江苏连云港·一模）若关于x的方程没有实数根，则k的值可以是__________（只填一个即可） 【变式1-3】已知关于x的方程无实数解，则m取到的最小正整数值是 ． ▌题型03 利用根的判别式确定字母的取值范围 ◆1、核心思路 根据方程根的存在情况，将文字条件转化为关于参数的不等式，解不等式即可得到字母取值范围，全程需兼顾一元二次方程定义。 ◆2、解题必备步骤 （1）把方程化为标准形式，确定参数 ； （2） 根据题意列不等式：两个不等实根（）、两个相等实根（）、无实根（）； （3）解不等式，同时附加核心限制条件 ； （4）整理结果，若题目要求整数解，需进一步筛选取值。 【典例3-1】如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式1-1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【变式1-2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． ▌题型04 利用根的判别式求代数式的值 ◆1、核心思路 通过根的判别式得出参数之间的等量关系，无需单独求出每个字母的值，利用整体代入法化简、求解代数式的值。 ◆2、解题必备步骤 （1）根据方程根的情况，由 条件推出参数的等量关系式； （2）对所求代数式进行因式分解、配方等变形，适配整体代入条件； （3）将参数等量关系整体代入代数式化简计算； （4）检验取值，舍去使原方程无意义的参数，保留有效结果。 【典例4-1】 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值（   ） A． B．3 C．2 D． 【典例4-2】若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2+2k（1﹣k）的值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【变式1-1】 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【变式1-2】 若关于x的一元二次方程x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，则代数式（3b﹣1）2﹣5b（2b）的值为　 　． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值． ▌题型05 利用根的判别式证明方程根的必然情况 ◆1、核心方法 无需解方程，通过配方法化简判别式，利用平方的非负性，证明 恒正、恒负或恒为0，从而确定方程根的固定情况。 ◆2、解题必备步骤 （1）写出方程的 ，列出判别式 ； （2） 对 进行配方，整理成“平方项+常数”的形式； （3） 依据平方非负性（），判断 的正负性； （4）得出结论：无论参数取何实数，方程恒有/无特定实数根。 【典例5】已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 【变式1-1】已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【变式1-2】已知关于x的方程． (1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根； (2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【变式1-3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． ▌题型06 根的判别式与新定义运算 ◆1、核心要点 题目自定义全新运算规则，无固定公式，核心解题逻辑：先按新定义列式，再结合根的判别式知识求解。 ◆2、解题必备步骤 （1）精读题干，理解并套用新定义运算规则，列出整式方程； （2）整理方程为一元二次方程标准形式，确定 ； （3）根据题目根的限制条件，结合 列等式或不等式； （4）求解参数，检验 及新定义规则的限制条件，规范作答。 【典例6-1】 新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【典例6-2】 关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【变式1-1】定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【变式1-2】对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是 ． (2)证明：关于的代数式没有不动值； (3)已知关于的代数式（）． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，直接写出正整数的值． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏常州·期中）规定：若关于x的一元二次方程中常数项c是该方程的一个根，则该方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_________； (2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，求该方程的解； (3)若关于x的常数根一元二次方程有两个相等的实数根时，求代数式的值． ▌题型07 根的判别式与三角形知识的综合应用 ◆1、核心知识点 （1）若三角形三边满足含参数的一元二次方程，方程有两个相等实数根（），可推出两边相等，判定为等腰三角形； （2）结合多组等式可进一步判定等边三角形，所有结果必须满足三角形三边关系。 ◆2、解题必备步骤 （1）根据三角形边长等式，整理出对应的一元二次方程； （2） 依据题意利用 得到边长等量关系； （3）根据边长关系判断三角形形状（等腰、等边）； （4） 验证三边关系：任意两边之和大于第三边，舍去不符合实际的解。 【典例7-1】 已知的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 【典例7-2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【变式1-2】已知关于x的方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)若是方程的根，试判断的形状； (2)若方程有两个相等的实数根，且，求c的值． 【变式1-3】已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，关于x的方程3cx+2b＝2a的根为x＝0． （1）试判断△ABC的形状; （2）若a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，求m的值． ▌题型08 根的判别式与四边形的综合应用 ◆1、核心解题步骤 （1）设参：设四边形边长 / 线段含字母参数k、m等 （2）列式：结合平行四边形、矩形、菱形、正方形边长关系，列出一元二次方程 （3）判别式核心： ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程没有实数根。 （4）结合四边形限制取舍 边长＞0；菱形四边相等、矩形邻边垂直、对角线性质；舍去不符合图形意义的解. 【典例8】 （23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知：的两边、的长是关于的方程的两个实数根． (1)若长为2，则长是多少？ (2)当为何值时，四边形是菱形？求出此时菱形的周长． 【变式1-1】关于x的一元二次方程的两个根是平行四边形的两邻边长． (1)当，且四边形为矩形时，求矩形的对角线长度． (2)若四边形为菱形，求菱形的周长． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【变式1-3】已知：矩形的两边，的长是关于方程的两个实数根． (1)当m为何值时，矩形是正方形？求出这时正方形的边长； (2)若的长为2，那么矩形的周长是多少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $