2.2一元二次方程的解法第3课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程求根公式的推导、公式法解法及根的判别式，课堂导入先回顾配方法步骤，通过情境提出解一般形式方程的问题，以配方法为学习支架引导学生推导求根公式，衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用“探究-归纳-应用”教学流程，培养学生推理能力（如公式推导中配方、开方的逻辑步骤）和模型意识（规范化为一般形式确定a,b,c的值）。实例包括推导求根公式的完整过程、用判别式判断根的情况等，帮助学生深化理解，教师可借此提升教学效率。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第3课时 学 习 目 标 1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式和根的判别式；（难点） 2.会用公式法解一元二次方程;（重点） 3.不解方程，会用一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况.（难点） 知识回顾 用配方法解一元二次方程的步骤： ①化：二次项系数化为 ； ②移项：将常数项移到右边，含未知数的项移到左边； ③配方：左、右两边同时加上 ，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式； ④开方：若方程右边为负数，则方程 ，若方程右边为非负数，就可以左右两边开平方得 ； ⑤求解：解两个一元一次方程，得方程的解为 . 1 一次项系数一半的平方 没有实数根 x + m = x= 情境引入 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0 ，得到根的一般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会方便简捷得多。 你能用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)吗?请你试一试，并与同伴进行交流。 新知探究 探究一：一元二次方程求根公式的推导 . 移项，得 . 配方，得 . 事实上，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，因为二次项系数a≠0，所以方程两边同除以a，得 即 . 接下来能用直接开平方解吗？ 用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) . 新知探究 ∵a ≠0， ∴4a2>0. 当b2-4ac ≥0时，是一个非负数，此时，两边开平方，得 ， . 即 新知探究 一元二次方程的求根公式： 知识归纳 这就是说，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，当b2-4ac ≥0时，它的根是： 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 新知探究 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子: ,就得到方程的根. 知识归纳 新知探究 1.利用求根公式求5x2+6x的根时，a，b，c的值分别是( ) A．a＝5，b＝，c＝6 B．a＝5，b＝6，c＝ C．a＝5，b＝－6，c＝ D．a＝5，b＝－6，c＝ C 新知探究 例 解方程：（1）x2-7x-18=0； （2）4x2+1=4x. 解：(1)这里a=1，b=-7，c=-18. ∵b2-4ac =(-7)2-4×1×(-18)=121＞0， ∴x=， 即9， (2)将原方程化为一般形式，得 4x2-4x+1=0. 这里a=4，b=-4，c=1. ∵b2-4ac =(-4)2-4×4×1=0， ∴x=， 即 探究二：公式法解一元二次方程 新知探究 公式法解方程的步骤： 1.化: 若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）; 2.定:确定a，b，c的值; 3.算: 计算b2-4ac的值; 4.求：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 知识归纳 新知探究 2.方程x2+4x+6=0的根是（       ） A．x1=，x2=      B．x1=6，x2=      C．x1=2，x2=      D．x1=x2= D 新知探究 探究三：一元二次方程根的判别式 （2）对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），当b2 - 4ac < 0 时，它 的根的情况是怎样的？与同伴交流． 对于方程x2−2x+3=0，其中a=1，b=−2，c=3，b2−4ac=(−2)2−4×1×3=4−12=−8<0， 所以该方程没有实数根. 当b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根． （1）你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？ 新知探究 一元二次方程的根与根的判别式b2－4ac的关系 知识归纳 由此可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定.我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示. 即 Δ=b2-4ac 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）， 当b2 - 4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根. , 新知探究 3.已知一元二次方程x2 + x -1 = 0 ，下列判断正确的是（ ） A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定 B 新知探究 在求解一元二次方程的过程中，你认为配方的作用是什么？与同伴进行交流. ①将方程的一侧配成完全平放式，直接开平方，使解方程的过程简化. ②利用配方法推导出了一元二次方程的求根公式. 典例分析 用公式法解下列方程： (1)（x -1) (x- 3) = 6; (2)-5x2 +3x –1= 0. 例1 解：(1)将原方程化为一般式，得 x2 -4x-3 = 0, 这里 a = 1, b = -4 , c =-3. ∵b2 -4ac=(-4)2 –4×1×(-3) =28＞ 0, ∴ 即，. (2)原方程可化为 5x2 -3x +1= 0， 这里 a=5, b=-3, c=1. ∵ b2 - 4ac =(-3)2 – 4×5×1=-11＜0, ∴原方程没有实数根. 典例分析 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）2y2+4y+35=0； （2）0.2x2－5=x. 例2 (2)将原方程化为一般形式，得 0.2x2－x－5=0, 这里a=0.2，b=－，c=－5. ∵b2－4ac=(－)2－4×0.2×(－5)=6.25＞0. ∴方程有两个相等的实数根． 解:(1)这里a=2，b=4，c=35, ∴b2－4ac=42－4×2×35=-264＜0. ∴原方程没有实数根． 典例分析 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 例3 解：由题意，得 由①，得k≠； 由②，得4(k+1)+4-8k＞0，解得k＜2； 由③，得k≥-1； 综上可得，-1≤k＜2，且k≠. 巩固练习 1.用公式法解方程4x2-12x=3，得到（       ） A．x=      B．x=     C．x=      D．x= D 2.不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（    ） A．0个              B．1个              C．2个                     D．3个 B 3.下列方程中有两个相等的实数根的是（    ） A. 3x2－x－1=0;                                      B. x2－2x－1=0; C. 9x2=4（3x－1）;                                   D. x2＋7x＋15=0. C 巩固练习 4.已知a,b,c分别是三角形的三边长，则一元二次方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 A 5.关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ）      A. k>-1                   B. k>1              C. k≠0             D. k>-1且k≠0 D 巩固练习 7.若关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值是      . 8.如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实数根，那么c的取值范围是       . -1 c＞9 6.用求根公式解方程-2x2+=-14x，若二次项系数a=2，则一次项系数b=      ，常数项c=      . -14 9.若直接用公式法解某一个方程，得，则该一元二次方程是       . 3x2+5x+1=0 巩固练习 10.用公式法解下列方程： (1)(x＋2)2＝2x＋4； (2)x2＋(1＋2)x＋－3＝0. 解：(1)原方程可化为x2＋2x＝0， 这里a＝1，b＝2，c＝0. ∵b2－4ac＝22－4×1×0 ＝4＞0. ∴， ∴ (2)这里a＝1，b＝1＋2，c＝－3. ∵b2－4ac＝(1＋2)2－4×1×(－3) ＝25＞0. ∴ ∴ 巩固练习 11. 已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．  (1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋k)＝1>0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)∵方程有两个不相等的实数根， ∴AB＝AC不成立， ∴要使△ABC是等腰三角形，则AB与AC其中一条边与BC相等，即方程必有一根为5， ∴52－5(2k＋1)＋k2＋k＝0， 解得k＝4或k＝5，经检验k＝4或k＝5符合题意， 则k的值为4或5. 巩固练习 解：设铁皮各角应切去边长为x cm的正方形． 根据题意，得(100－2x)(50－2x)＝3600. 整理，得x2－75x＋350＝0， 解得x1＝5，x2＝70. ∵当x＝70时， 100－2x＝－40＜0，50－2x＝－90＜0， 12.有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四周各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去边长为多大的正方形？ ∴x＝70不合题意，舍去， ∴x＝5. 答：铁皮各角应切去边长为5 cm的正方形． 课堂小结 一元二次方程的解法-第3课时 求根公式 对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0),当b2-4ac ≥0时,它的根是：（求根公式） 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 公式法解一元二次方程 一元二次方程根的判别式 1.化; 2.定;3.算;4.求. 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）， 当b2 - 4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根. b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示. 作业布置 1.必做题：习题2.2第2，5，6，11~14题。 2.探究性作业：习题2.2第15,16题。 感谢聆听! $