2.2一元二次方程的解法第2课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦“用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程”，课堂导入通过对比二次项系数为1与不为1的方程，结合直接开平方法和配方法旧知回顾，以问题链搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡。 其亮点在于以问题驱动和实例分析为主线，通过小球运动问题培养数学眼光，步骤归纳和多项式证明发展数学思维，几何应用问题强化数学语言。采用讲练结合，帮助学生掌握解法提升应用能力，为教师提供系统教学资源提升效率。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第2课时 学 习 目 标 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;（重点） 2.能够熟练地利用配方法解一元二次方程及解决有关问题.（难点） 3.在合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣. 知识回顾 1.直接开平方法解一元二次方程 理论依据： . 适用范围：能转化为 的形式的方程. 2.配方法解一元二次方程的思路是将方程转化为 的形式，它的一边是一个 ，另一边是一个常数，当 n ≥0 时，两边同时 ，转化为 方程，便可求出它的根. ( x + m) 2 = n 开平方 一元一次 完全平方式 3.配方法的关键： 在形如的两边同时加 ，即 . 一次项系数一半的平方 平方根的意义 x2=a或（mx＋n）2= a（a≥0） 情境引入 问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +18x +24 = 0. 问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解：移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方，得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4. 想一想怎么来解3x2 +18x +24 = 0？ 新知探究 探究一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0. 解：方程两边同时除以3,得 x2 + 6x + 8 = 0 . 移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方, 得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4 . 二次项系数化为1 新知探究 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识归纳 基本思路：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法步骤进行求解. 新知探究 解：两边同除以3,得 x2 +x - 1=0. 配方,得 x2 +x + () 2 - ()2 - 1 = 0, 即 （x +）2 -=0. 移项,得 （x +）2 -=0 两边开平方，得 x +=±, 即 x += 或 x +=. 所以 x1=, x2 = -3 . 1.解方程： 3x2 + 8x -3 = 0. 新知探究 用配方法解一元二次方程的步骤： 知识归纳 ①化：二次项系数化为1； ②移项：将常数项移到右边，含未知数的项移到左边； ③配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式； ④开方：若方程右边为负数，则方程没有实数根，若方程右边为非负数，就可以左右两边开平方得x + m =； ⑤求解：解两个一元一次方程，得方程的解为x=. 一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (单位：m)与时间 t (单位：s)满足关系：h=15t - 5t2. 小球何时能达到10m高？ 新知探究 探究二：配方法的应用 解：根据题意，得 15t - 5t2 =10. 两边同除以-5,得 t2 - 3t = -2, 配方,得 t2 - 3t + ()2= ()2 - 2, 即 （t -）2 = ∴ t -= . ∴ t1= 2 , t2 = 1 . ∴在1s时小球上升到10m处，至最高点后下落，在或2s时，小球的高度又为10m. (1)你是怎么解决这个问题的? 新知探究 (2)你认为用配方法解一元二次方程时，要注意哪些方面?与同伴进行 交流。 ①配方前把二次项系数化为1; ②配方时方程左右两边要同时加上一次项系数一半的平方. 另外，在解决实际问题时，还要注意判断求得的结果是否合理。 新知探究 证明：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 ∵（k－2）2≥0， ∴（k－2）2＋1≥1. ∴k2－4k＋5的值必定大于零. 试用配方法证明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 典例分析 解方程：（1）＝0 ； （2）＝0. 例1 ∴ x1＝ 1+，x2＝. 解：(1)两边同时除以3，得x2x+. 配方，得x2x+ +=0, 即 , 两边开平方，得＝， (2)移项，得 x2－6x=7, 二次项系数化为1，得 x2－12x=14, 配方，得 x2－12x+62=14+62， 即 (x－6)2=50. 移项，得(x1)2＝ . ∴ x1＝ 5+，x2＝. ∴＝， 典例分析 若a,b,c为△ABC的三边长,且 试判断△ABC的形状. 例2 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ∴=3，=4，=5, ∴, ∴△ABC为直角三角形. 巩固练习 3.若9x2 -ax +4是一个完全平方式，则a等于（ ） A. 12 B. -12 C. 12或-12 D. 6或-6 C C D 巩固练习 5.“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：x2+4x+5=x2+4x+22−22+5=x2+4x+22−22+5=(x+2)2+1． ∵(x+2)2≥0， ∴(x+2)2+1≥1，即x2+4x+5≥1， ∴x2+4x+5的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式−x2−6x+4的最值，下列说法正确的是（    ） A．最大值为13 B．最大值为−5 C．最小值为13 D．最小值为−5 A 4.已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2−10a+b2−16b+89=0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（ ） A．c>8 B．5<c<8 C．8<c<13 D．5<c<13 C 6.-2x2 +x-2= -2 (x )2 + ( ). 7.用配方法解方程2x2 -4x +1 = 0的根是 . 8.用配方法解方程2x2 -x -15 = 0的根是 . 9. 巩固练习 1 ，3 10.已知等腰三角形的两边a，b，满足4a2-4ab+2b2-8b+16=0，则此等腰三角形的周长是 . 10 巩固练习 11.用配方法解下列方程： (1)2x2−5x−7=0； (2)y2−y−=0． 解：(1)方程变形得：x2−x=， 配方得：x2−x+=+， 即 ， 开方得：x−=±， ∴ x1=，x2=−1； (2)方程变形得：y2−y=， 配方得：y2−y+=， 即 ， 开方得：=±， 解得：y=, ∴ y1=，y2=. 巩固练习 12.阅读下列材料：配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程x2−4x+3=0，则有x2−4x+4−4+3=0，∴(x−2)2=1，解得x1=3，x2=1．已知x2−2x+y2+4y+5=0，求x，y的值，则有(x2−2x+1)+(y2+4y+4)=0，∴(x−1)2+(y+2)2=0，解得x=1，y=−2． 根据以上材料解答下列各题： (1)若x2+6x+y2−8y+25=0，求(x+y)2026的值； 解：（1）∵x2+6x+y2−8y+25=0， ∴(x2+6x+9)+(y2−8y+16)=0， ∴(x+3)2+(y−4)2=0， ∴x=−3，y=4， ∴(x+y)2026=(−3+4)2026=12026=1. 巩固练习 （2）解：△ABC为等腰三角形. 理由：∵a2+8b2+c2−4ab−4bc=0， ∴(a2−4ab+4b2)+(c2−4bc+4b2)=0， ∴(a−2b)2+(c−2b)2=0， ∴a−2b=0，c−2b=0， ∴a=2b，c=2b， ∴a=c. ∴△ABC为等腰三角形. (2)若a,b,c分别表示△ABC的三边长，且满足a2+8b2+c2−4ab−4bc=0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 课堂小结 一元二次方程的解法-第2课时 ①化：二次项系数化为1； ②移项：将常数项移到右边,含未知数的项移到左边； 配方法的步骤 ③配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式; 应用 求代数式的最值或证明等. ⑤求解：解两个一元一次方程,得方程的解为x=. ④开方：若方程右边为负数,则方程没有实数根,若方程右边为非负数,就可以左右两边开平方得x + m =； 作业布置 1.必做题：习题2.2第1((5)~(8))，9题。 2.探究性作业：习题2.2第10题。 感谢聆听! $