精品解析：新疆和田地区皮山县2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

皮山县2025-2026学年第二学期普通高中期末考试 高一年级数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算，即可运算结果. 【详解】可知. 故选：B. 2. 已知，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直转化为数量积为0，得出，然后由数量积的定义可得向量的夹角． 【详解】因为，所以， ，而向量的夹角在上，所以． 故选：C． 3. 某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　） A. 40，32 B. 42，30 C. 44，28 D. 46，26 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数． 【详解】根据分层抽样原理知，，， 所以抽取男生40人，女生32人． 故选：A. 4. 设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则m，n为异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线、面的位置关系对每个选项一一判定，即可得到答案. 【详解】对A，若⊆，⊆，则，可能平行、相交、异面．故A错误； 对B，若⊥，则垂直平面内所有的直线，又∥，所以⊥．故B正确； 对C，若∥，∥，则，可能相交，平行．故C错误； 对D，若⊥，⊆，⊆，则，可能平行、相交、异面．故D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力. 5. 若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 9，3 B. 9，8 C. 9，7 D. 10,8 【答案】B 【解析】 【详解】根据新数据与原数据平均数与方差的关系直接求解，即得结果． 【解答】设这组数据为，依题意，， 所得新数据为， 新数据的平均数为， 方差为. 6. 长方体中，，，则二面角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先二面角的定义得到是二面角的平面角，根据图形即可计算. 【详解】由图可知，，所以是二面角的平面角， ，所以. 故选：D 7. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（ ） A. 事件乙和事件丙互斥 B. 事件丙和事件丁互为对立 C. 事件甲与事件丙相互独立 D. 事件乙与事件丁相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，列出所有情况，根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义对选项逐一分析即可. 【详解】用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数， 则两枚骰子的情况用数对表示， 则所有可能的情况有：， ， ， ， ， ，共36种情况， 对于：事件乙可以和事件丙同时发生，如出现， 所以事件乙和事件丙不互斥，故错误； 对于：事件丙和事件丁的所有情况不是总的样本空间， 如事件丙和事件丁不包括，所以事件丙和事件丁不互为对立，故错误； 对于：第一次点数小于3的情况有， ，共12种情况， 所以， 两次点数之和为8 的情况有， 共5种情况，所以， 第一次点数小于3且两次点数之和为8 的情况有， 所以，， 所以事件甲与事件丙不相互独立，故错误； 对于：第一次点数为偶数的情况有18种，所以， 两次点数之和为奇数的情况共有18种，所以， 第一次点数为偶数且两次点数之和为奇数的情况共有9种，所以， ，所以事件乙与事件丁相互独立，故正确. 故选：. 8. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据半圆的弧长与圆锥底面圆的周长相等，可求得底面圆的半径，进而得高，然后由圆锥的体积公式，得解． 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆锥的高为，则， 所以，解得， 所以圆锥的高， 所以体积． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在复平面内，是原点，表示的复数分别为，则（ ） A. 表示的复数为 B. 表示的复数为 C. 表示的复数为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量的运算结合复数的加减运算依次求解即可判断ABC；由向量的运算结合复数模的运算即可判断D. 【详解】根据题意，由复数的几何意义可知，，，， 对于A，，即表示的复数为，故A错误； 对于B，，即表示的复数为，故B正确； 对于C，，即表示的复数为，故C正确； 对于D，，则，故D错误． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法 B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D. 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用统计学中的基本概念逐个分析判断即可 【详解】解：对于A，在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法，所以A正确， 对于B，一组数的平均不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误， 对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确， 对于D，方差是衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D正确， 故选 ：ACD 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正余弦定理和已知条件，解三角形，验证各个选项. 【详解】由，有，得，选项A正确． 因为，由正弦定理有，，得，选项B正确． 的面积为，选项C错误． 因为，由余弦定理， 解得，故的周长为，选项D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据计算可得结果. 【详解】. 故答案为：. 13. 一组数据：2、3、4、5、6、7、8、9、11、12的分位数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】数据组共10个数据且从小到大顺序排列， ， 原数据组的第分位数为  ，即 . 故答案为： 14. 如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【答案】1或 【解析】 【分析】取一边中点构造中位线，将已知的两条异面直线所成角转化为三角形中的角，再利用余弦定理分两种情况求出所求线段的长度. 【详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，分别是边的中点，， （1）用表示向量； （2）求证：三点共线． 【答案】（1），， （2）由（1）知， 所以．又因为有公共点， 所以三点共线． 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算法则求解； （2）用表示向量、，证明它们共线即可得证． 【小问1详解】 如图，延长到点，使，连接， 则四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， 【小问2详解】 略. 16. 甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75. （1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率； （2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率. 【答案】（1）0.38；（2）0.6864. 【解析】 【分析】 (1)分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件，则为相互独立事件，E表示事件“恰有一人通过笔试”；E分解为3个互斥事件：，这三个互斥事件内部也是相互独立事件，从而进行计算；(2)一名学生被该高校预录取指笔试和面试均合格，这两次考试过程相互独立，分别计算出三名学生各自被录取的概率，首先求出三人均未被录取的概率，然后由对立事件的概率性质即可得解. 【详解】（1）分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件，则为相互独立事件，E表示事件“恰有一人通过笔试”，则 即恰有一人通过笔试的概率是0.38. （2）分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C， 则. 事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”， 则表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，， 于是. 即经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率是0.6864. 【点睛】利用互斥事件、对立事件的概率公式求概率，属于中档题. 17. 在直三棱柱中，D，E分别是，的中点. （1）求证：平面； （2），，，求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于于，连接，证明四边形是平行四边形，可得即可证得. （2）法一：建立空间坐标系，求出平面与平面的法向量，求得二面角的余弦值，结合三角函数关系式，即可其正切值. 法二:利用勾股定理和直线和平面垂直的性质可证得与，从而得到二面角的平面角是，在中，即可求出，从而得出答案. 【小问1详解】 连接交于于，连接， 因为E，F是中点，所以，且， 又因为是的中点，所以有，且， 所以，且，因此四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面； . 【小问2详解】 法一：（建系）因为三棱柱为直三棱柱，所以，， 因为，所以 以为原点，分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以，，，则，， 设平面的一个法向量为，所以，得， 令，则，所以， 而平面的一个法向量为， 则，设二面角的大小为，则为锐角， 所以，因此， 所以. 故二面角的正切值为. 法二：因为，，， 所以，，同理可得， 因此，即，又，，， 则，所以，所以是二面角的平面角， 因为，，平面， 所以平面，而平面， 因此，因为平面，而平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 而平面，所以，所以为直角三角形， 因为，，所以. 故二面角的正切值为. 18. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】 （1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得； （2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长. 【详解】（1） 由正弦定理得： 即： （2） 由余弦定理得： 的周长 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型. 19. 新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制.为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题： （1）求的值； （2）成绩不低于90分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数； （3）根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分. 【答案】（1）；（2）人；（3）分. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出． （2）成绩在，之间的距离为0.05，由此能求出所有参赛者中获得奖励的人数． （3）由频率分布直方图的性质能求出平均数的估计值． 【详解】解：（1）由，解得. （2）成绩在之间的频率为. 故可估计所有参赛者中获得奖励的人数约为人. （3）平均分的估计值为：分. 【点睛】本题考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 皮山县2025-2026学年第二学期普通高中期末考试 高一年级数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　） A. 40，32 B. 42，30 C. 44，28 D. 46，26 4. 设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则m，n为异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 9，3 B. 9，8 C. 9，7 D. 10,8 6. 长方体中，，，则二面角为（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（ ） A. 事件乙和事件丙互斥 B. 事件丙和事件丁互为对立 C. 事件甲与事件丙相互独立 D. 事件乙与事件丁相互独立 8. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在复平面内，是原点，表示的复数分别为，则（ ） A. 表示的复数为 B. 表示的复数为 C. 表示的复数为 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法 B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D. 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，，，则______. 13. 一组数据：2、3、4、5、6、7、8、9、11、12的分位数是__________. 14. 如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，分别是边的中点，， （1）用表示向量； （2）求证：三点共线． 16. 甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75. （1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率； （2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率. 17. 在直三棱柱中，D，E分别是，的中点. （1）求证：平面； （2），，，求二面角的正切值. 18. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 19. 新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制.为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题： （1）求的值； （2）成绩不低于90分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数； （3）根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $