精品解析：四川渠县中学2025-2026学年九年级下学期期中数学测试题

四川省达州市渠县中学2025-2026学年九年级下学期期中数学测试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 正负数表示具有相反意义的量．如果把收入20元记作元，那么支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以如果把收入20元记作元，那么支出10元记作元， 故选：C． 2. 化学实验室中竖直放置的玻璃漏斗，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图．熟练掌握从不同的方向观察几何体，确定三视图，是解题的关键．根据从前向后看，确定主视图，进行判断即可． 【详解】解：玻璃漏斗的主视图是： 故选：C． 3. 我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”从环月轨道传回第一张月面照片时距地球公里．将公里用科学记数法表示应为（ ） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 如图，直线，一块含角的直角三角板的顶点在直线上，，两点在平面上移动，使直角边与直线相交．其中，，则与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，，求出，再通过平行线的性质得出，最后由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 下列各式的计算结果与相等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法及幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法及幂的乘方，逐一计算即可． 【详解】解：， A．，故本选项不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：70，80，65，70，65，70，下列关于对这组数据的描述中，错误的是（　　） A. 中位数是65 B. 众数是70 C. 平均数是70 D. 极差是15 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数，众数，平均数，极差的计算公式计算即可． 【详解】解：∵65，65，70， 70，70，80， ∴众数是65，中位数是，极差为，平均数为， 故B，C，D正确，A错误， 故选A． 【点睛】本题考查了中位数即一组有序数据的中间数据或中间两个数据的平均数，众数即出现次数最多的数据，平均数所有数据之和除以数据的总个数，极差最大数据与最小数据的差，熟练掌握求解公式和定义是解题的关键． 7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 8. 如图，这是嘉嘉同学答的试卷，嘉嘉同学应得（ ） 班级八（1）班 姓名嘉嘉 得分______ 判断下列各题，对的打“√”，错的打“×”． 每题20分，共100分． （1）若有意义，则．（√） （2）矩形的对角线互相垂直平分．（√） （3）平行四边形是轴对称图形．（√） （4）一个直角三角形的两边长分别5是12和，则第三边长为13．（√） （5）对角线相等的菱形是正方形．（√） A. 20分 B. 40分 C. 60分 D. 80分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，二次根式有意义的条件，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：（1）若有意义，则．故（1）错误 （2）矩形的对角线互相平分且相等．故（2）错误 （3）平行四边形不是轴对称图形．故（3）错误 （4）一个直角三角形的两边长分别5是12和，则第三边长为13或．故（4）错误 （5）对角线相等的菱形是正方形．故（5）正确 故选：A． 9. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 10. 如图，抛物线与轴的一个交点为，另一个交点在和之间，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据图象可知，由此可判断A选项；由抛物线与轴有两个交点得，由此可判断B选项；由抛物线与轴另一个交点在之间，可得，即，可得，所以，由此可判断D选项；由抛物线与轴的一个交点为，所以，又，所以，由此可判断C选项． 【详解】由图可知，， ，故选项A错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故选项B错误； 抛物线与轴另一个交点在之间，可得， 即，可得， ，故选项D错误； 抛物线与轴的一个交点为， ， ， ，故选项C正确； 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 计算的值是 __________ ． 【答案】 【解析】 【详解】提取公因式，利用乘方的符号法则化简计算． 【点睛】解：∵， ∴原式 ． 12. 若a是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，推出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周四尺，高三尺，问积及为米几何?”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为4尺，米堆的高为3尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是_________平方尺．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算、弧长的计算等知识点，从实际问题中抽象出圆锥的知识是解题的关键． 设米堆底部的扇形半径为尺，、求出，由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积的和，据此解答即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， ， ， 这个米堆遮挡的墙面面积是（平方尺） 故答案为：． 14. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加法运算等知识点，利用同分母分式相加减的运算法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】 15. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“”变换表示将它绕原点顺时针旋转，一个点作“”变换表示将它向右平移一个单位长度，由数字和组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换，表示点先向右平移一个单位长度得到，再将绕原点顺时针旋转得到再将绕原点顺时针旋转得到，……以此类推．点经过“”变换后得到的点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据作“”变换和作“”变换的变换方法依次变换得出最终点的坐标． 【详解】解：点经过“”变换， 作“”变换，把点向右平移一个单位长度， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点向右平移一个单位长度， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点向右平移一个单位长度， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为． 故答案为：． 三．解答题（共10小题，满分90分） 16. 计算： （1）； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）解：， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】（1）先计算零次幂、化简二次根式、去绝对值，再进行加减运算； （2）按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 17. 项目调研 项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查 调查人员 数学兴趣小组 调查方法 抽样调查 调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地） 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是_______； （2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数； （3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，求扇形统计图的圆心角，样本估计总体，列表法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据的人数除以占比得到总人数，根据的占比乘以总人数得到的人数，进而根据总人数减去其他组的人数求得的人数，进而补全统计图，根据的占比乘以即可得出意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数； （2）根据样本估计总体，用乘以样本中的占比，即可求解； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为（人） 参加研学基地人数为（人） ∴参加研学基地人数为：（人） 补全统计图如图， 意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是 故答案为：． 【小问2详解】 解：（人） 答：估计全校参加A研学基地的学生人数为人； 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 共有种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有种， ∴两位同学选择相同研学基地的概率为． 18. 小明在学习了黄金分割和黄金矩形后，了解到白银矩形和白银分割的知识：如果一个矩形．满足，这个矩形就称为白银矩形，这个比叫做白银比：如果点把线段分成两部分，若，那么称线段被点白银分割，点为线段的白银分割点．小明决定在正方形中构造一个白银矩形，请按要求完成下列问题： 如图，在正方形中，对角线、交于点． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点（只保留作图痕迹，不要求写作法） （2）结合图形，帮助小明完成以下证明过程： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在中，， ∵平分， ∴ ① ， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在和中， ， ∴， ∴， ③ ， 所以矩形是白银矩形， 小明进一步思考发现， ④ ，点为线段的白银分割点． 【答案】（1） 如图， （2）；；；． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据尺规作图——作角平分线，作垂线的方法即可； （）四边形是正方形，得，，，然后证明四边形为矩形，从而可证，再根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在和中， ， ∴， ∴，， 所以矩形是白银矩形， 小明进一步思考发现，，点为线段的白银分割点， 故答案为：；；；． 19. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，与反比例函数的图象交于点是的中点．连接的面积为4． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合函数图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，先求出点B的坐标，再由的面积为4，以及，可得点C的坐标，即可求解； （2）直接观察图象即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点． 对于，当时，， ∴点的坐标为，即． 的面积为4， ， ， ， ， 点 把代入，得：， 解得 一次函数的表达式为． 把代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：把变形得： 观察图象得：满足的的取值范围或． 20. 风力发电成为目前最具规模的可再生能源发电方式，靖边县风力发电场是本省首个主力电源型改造升级示范风电场（图①）．某学习小组，想知道风力发电机组每片扇叶的长度，于是小组成员开展了“测量一个风力发电机组的扇叶长度”的实践活动，测量示意图如图②所示，首先小亮在点C处利用相关测量仪器测得机组顶端A的仰角为，在同一位置小亮等待其中一片扇叶恰好绕点A转到与塔筒重合时（即点E在AB上），此时测得扇叶端点E的仰角为，已知小亮到风力发电机组的距离，测量仪器，，求风力发电机组的扇叶的长．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了锐角三角函数的实际应用．根据题意构建直角三角形是解题的关键． 过点D作于点F，则，分别在和中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F，则， 根据题意得：， 在中，， 在中，， ∴， 即风力发电机组的扇叶的长为． 21. 如图，在中，，为边上的一点，将沿折叠，点B的对应点为落在边上． （1）如图1，猜想四边形的形状并证明； （2）如图2，在（1）的条件下，以A为圆心，为半径画弧交于点F，若，．求的长． 【答案】（1）解：四边形为菱形，证明如下： 由折叠得，，，， 在中，， ． ， ∴四边形为菱形． （2）5 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得对应边相等，对应角相等，从而可证得四条边相等，即可判定四边形为菱形； （2）设，表示出、的长度，由四边形为菱形可得，，从而可得，，再结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点， 由题意得，，设，则． ， 由（1）得，四边形为菱形． ，， ，， 在中，， ∴，解得，（舍去）， ． 22. 圣女果，常被称为小西红柿，中文正式名称为樱桃番茄，是一年生草本植物，属茄科番茄属．某水果店对一款成本价为每盒20元的圣女果进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出60盒．通过市场调查发现，每盒圣女果售价每上涨1元，则日销售量减少2盒． （1）若该水果店某天销售圣女果的盈利为1248元，求每盒圣女果的售价； （2）当每盒圣女果的售价定为多少元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润？并求出最大日利润； （3）若该水果店销售圣女果获得的利润不低于1218元，则圣女果售价m（元/盒）的取值范围为_____． 【答案】（1）每盒圣女果的售价为或元； （2）当每盒圣女果的售价定为45元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润1250元； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设每盒圣女果的售价为元，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每盒圣女果的售价为元，日利润为元，根据题意列式得到二次函数，再配方求最值即可； （3）先求出时对应的售价，再根据二次函数的性质，即可得到售价m取值范围． 【小问1详解】 解：设每盒圣女果的售价为元， 则， 解得：，， 即每盒圣女果的售价为或元； 【小问2详解】 解：设每盒圣女果的售价为元，日利润为元， 则， ， 当时，有最大值为， 即当每盒圣女果的售价定为45元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润1250元； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， 当时，， 解得：，， 由（2）可知，当时，有最大值为， 若该水果店销售圣女果获得的利润不低于1218元，则圣女果售价m（元/盒）的取值范围为， 故答案为：． 23. 如图，在直角梯形中，，，，，线段上的点P从点B运动到点C，，的角平分线交以为直径的圆M于点Q，连接． （1）当点P不与点B重合时，求证：平分； （2）当⊙M与直角梯形的边相切时，求出此时的长． 【答案】（1）证明：如图1中， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分． （2）的值为4或9 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）先由是直径，得到，则，由平行线的性质得到，再由角平分线的定义证明，即可证明平分． （2）分两种情况讨论：①当与相切时，连接，②当与相切时，分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2﹣1中，当与相切时，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2﹣2中，当与相切时，四边形是矩形， ∴，，， 综上所述，满足条件的的值为4或9． 24. 已知抛物线过点和． （1）抛物线的对称轴是__________； （2）若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；②；；③，，， 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式进行计算即可求解； （2）①根据题意得出，设，根据根与系数的关系得 ，又 ，得出，即可求解； ②根据题意得出 ，联立抛物线： ，设 ，由根与系数的关系得 得出，根据二次函数的性质求得最值，即可求解； ③由题意得：，，，根据勾股定理分别表示出，分三种直角情况讨论，列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解： 对称轴为直线 【小问2详解】 解：①∵ 在对称轴 上，关于对称轴对称， ∴  ∵ ，，且  两式相减得  设， 令，则， 由根与系数的关系得 ， 又 ， 代入得： ， 解得  ​ 即 ②轴且过 ， 故 ， 联立抛物线：  整理得  设 ， 由根与系数的关系得  则：   的高为 ，故面积  ∵，， 当 时，根号内取最小值5， 故， 此时抛物线解析式为  ③∵点在②中所求抛物线上，横坐标为，则纵坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为． ∴，，，分三种直角情况讨论： ，， 点为直角顶点时：， ∴，即 解得：​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得：  ​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得：  ​​ 综上所述，的值为，，，． 25. 如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 【答案】（1）． （2）存在DE是不变的．DE= （3）． 【解析】 【分析】（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长． （2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE=． （3）由BD=x，可知，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y关于x的函数关系式． ∵，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）， ∴． 【详解】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=． 又∵OB=2，∴． （2）存在，DE是不变的． 如图，连接AB，则． ∵D和E是中点，∴DE=． （3）∵BD=x，∴． ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900． ∴∠2+∠3=45°． 过D作DF⊥OE，垂足为点F．∴DF=OF=． 由△BOD∽△EDF，得，即 ，解得EF=x． ∴OE=． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县中学2025-2026学年九年级下学期期中数学测试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 正负数表示具有相反意义的量．如果把收入20元记作元，那么支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 化学实验室中竖直放置的玻璃漏斗，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”从环月轨道传回第一张月面照片时距地球公里．将公里用科学记数法表示应为（ ） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 4. 如图，直线，一块含角的直角三角板的顶点在直线上，，两点在平面上移动，使直角边与直线相交．其中，，则与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式的计算结果与相等的是（　　） A. B. C. D. 6. 某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：70，80，65，70，65，70，下列关于对这组数据的描述中，错误的是（　　） A. 中位数是65 B. 众数是70 C. 平均数是70 D. 极差是15 7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是嘉嘉同学答的试卷，嘉嘉同学应得（ ） 班级八（1）班 姓名嘉嘉 得分______ 判断下列各题，对的打“√”，错的打“×”． 每题20分，共100分． （1）若有意义，则．（√） （2）矩形的对角线互相垂直平分．（√） （3）平行四边形是轴对称图形．（√） （4）一个直角三角形的两边长分别5是12和，则第三边长为13．（√） （5）对角线相等的菱形是正方形．（√） A. 20分 B. 40分 C. 60分 D. 80分 9. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴的一个交点为，另一个交点在和之间，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 计算的值是 __________ ． 12. 若a是方程的一个根，则代数式的值为__________． 13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周四尺，高三尺，问积及为米几何?”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为4尺，米堆的高为3尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是_________平方尺．（结果保留π） 14. 计算：______． 15. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“”变换表示将它绕原点顺时针旋转，一个点作“”变换表示将它向右平移一个单位长度，由数字和组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换，表示点先向右平移一个单位长度得到，再将绕原点顺时针旋转得到再将绕原点顺时针旋转得到，……以此类推．点经过“”变换后得到的点坐标为________． 三．解答题（共10小题，满分90分） 16. 计算： （1）； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 项目调研 项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查 调查人员 数学兴趣小组 调查方法 抽样调查 调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地） 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是_______； （2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数； （3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率． 18. 小明在学习了黄金分割和黄金矩形后，了解到白银矩形和白银分割的知识：如果一个矩形．满足，这个矩形就称为白银矩形，这个比叫做白银比：如果点把线段分成两部分，若，那么称线段被点白银分割，点为线段的白银分割点．小明决定在正方形中构造一个白银矩形，请按要求完成下列问题： 如图，在正方形中，对角线、交于点． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点（只保留作图痕迹，不要求写作法） （2）结合图形，帮助小明完成以下证明过程： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在中，， ∵平分， ∴ ① ， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在和中， ， ∴， ∴， ③ ， 所以矩形是白银矩形， 小明进一步思考发现， ④ ，点为线段的白银分割点． 19. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，与反比例函数的图象交于点是的中点．连接的面积为4． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合函数图象，直接写出满足的的取值范围． 20. 风力发电成为目前最具规模的可再生能源发电方式，靖边县风力发电场是本省首个主力电源型改造升级示范风电场（图①）．某学习小组，想知道风力发电机组每片扇叶的长度，于是小组成员开展了“测量一个风力发电机组的扇叶长度”的实践活动，测量示意图如图②所示，首先小亮在点C处利用相关测量仪器测得机组顶端A的仰角为，在同一位置小亮等待其中一片扇叶恰好绕点A转到与塔筒重合时（即点E在AB上），此时测得扇叶端点E的仰角为，已知小亮到风力发电机组的距离，测量仪器，，求风力发电机组的扇叶的长．（结果保留整数．参考数据：，，，） 21. 如图，在中，，为边上的一点，将沿折叠，点B的对应点为落在边上． （1）如图1，猜想四边形的形状并证明； （2）如图2，在（1）的条件下，以A为圆心，为半径画弧交于点F，若，．求的长． 22. 圣女果，常被称为小西红柿，中文正式名称为樱桃番茄，是一年生草本植物，属茄科番茄属．某水果店对一款成本价为每盒20元的圣女果进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出60盒．通过市场调查发现，每盒圣女果售价每上涨1元，则日销售量减少2盒． （1）若该水果店某天销售圣女果的盈利为1248元，求每盒圣女果的售价； （2）当每盒圣女果的售价定为多少元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润？并求出最大日利润； （3）若该水果店销售圣女果获得的利润不低于1218元，则圣女果售价m（元/盒）的取值范围为_____． 23. 如图，在直角梯形中，，，，，线段上的点P从点B运动到点C，，的角平分线交以为直径的圆M于点Q，连接． （1）当点P不与点B重合时，求证：平分； （2）当⊙M与直角梯形的边相切时，求出此时的长． 24. 已知抛物线过点和． （1）抛物线的对称轴是__________； （2）若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 25. 如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $