精品解析：广东广州市天河区2025-2026学年第二学期学业水平调研八年级数学

2025学年第二学期学业水平调研 八年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． Ⅰ卷 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组长度的线段中，首尾顺次相接能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10 4. 下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知四边形是平行四边形，为对角线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（ ） A. 众数是3 B. 中位数是4.5 C. 平均数是5 D. 方差是4 7. 如图所示是一次函数的图象，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 将某校吉他社团的名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这名同学身高的第三四分位数是（ ） A. B. C. D. 9. 每一个外角都是的正多边形为（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 10. 骑摩托车，骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间（）之间存在函数关系，图象如图所示．给出下面的结论：①甲、乙地相距；②行驶了用了；③比晚出发；④行驶的平均速度为每小时．则上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①④ D. ①③④ 二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 火星探测着陆器的着陆稳定性是火星探测任务成功的关键保障．我国自主研发的甲、乙、丙、丁四种智能着陆器在火星模拟环境中各完成了5次精准着陆测试．经统计分析，这四种着陆器5次测试的着陆偏差方差分别为，则着陆最稳定的是_____型着陆器． 13. 如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 14. 如图，数轴上的点表示的数是________． 15. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为_____． 16. 如图，在中，E为中点，于点F，，，，则__________，的面积为__________． 三、解答题（本大题有5小题，共36分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 为了促使青少年深入理解科学、技术与社会的相互关系，某校组织了一次科技创新比赛，并对甲、乙两名选手的候选作品的创新性和实用性进行量化评分，具体成绩（单位：分；百分制）如下表： 选手 创新性分数 实用性分数 甲 乙 （1）如果学校认为创新性和实用性同样重要，求出甲和乙两人的平均成绩； （2）如果学校认为按照创新性占，实用性占计算总成绩，则谁的总成绩较高？ 19. 如图，在中，为边上的高，已知，，，求，的长． 20. 已知一次函数的图象经过点与． （1）求这个一次函数的解析式； （2）从以下取值范围中选择一个：①；②；③，根据（1）中的解析式求出对应函数值的取值范围． 21. 如图，在中，，，平分，交于点，连接，已知． （1）求的长； （2）求的面积． Ⅱ卷 四、解答题（本大题有4小题，共50分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 22. 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图．如图所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验： 先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 观察值 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但根据表中的数据绘制散点图．观察各点的分布特征，发现其大致分布在一条直线附近，表明与之间存在近似的一次函数关系．基于此，综合实践小组将表中的观察值取近似值保留整数位后，用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： （1）依照综合实践小组的方法，求水面高度与流水时间的函数表达式； （2）当甲容器的水刚好放完时，求流水时间； （3）小天同学用这个装置也进行了实验，记录了以下一组数据，结合（1）中的函数表达式，判断这组数据的准确性并说明原因． 观察值 23. 配方法是一种重要的解题方法．配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题．它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 阅读以上材料，解决下面两个问题： （1）下列说法正确的是（ ） A．式子可以化成一个完全平方式，且这个完全平方式为 B．化简的结果是 C．若正方形的面积为，则它的边长为 D．若，其中，为正整数，则 注意：本小题是多项选择题，有多个选项符合题目要求，要求回答时，全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分． （2）如图，从一个大矩形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求小矩形的边的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，点是线段上的动点，点在的右侧，以为一边在轴上方作矩形，其中，，点从出发向终点运动，速度是每秒个单位，设运动时间为秒（）． （1）求线段，的长度； （2）连接，，设，求关于的函数解析式并写出自变量的取值范围； （3）设矩形与重叠部分面积为． ①填空：当时，的值为________； ②当时，求的取值范围． 25. 数学活动课上，同学们以菱形纸片开展“折纸”活动．已知． （1）如图，折叠后，使点落在对角线上的点处，得到折痕，连接．证明：； （2）如图，折叠后，使点落在边上的点处，折痕与对角线交于点处，连接，，． ①求的度数； ②若菱形的边长为，则的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期学业水平调研 八年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． Ⅰ卷 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：的被开方数含分母，故A不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项B：，被开方数含能开得尽方的因数，故B不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项C：满足最简二次根式的两个条件，故C是最简二次根式，故本选项符合题意； 选项D：，被开方数含能开得尽方的因数，故D不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 2. 下列各点在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征，若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将各选项横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断． 【详解】解：函数解析式为， 选项A、当时，，与点的纵坐标一致，则在函数图象上； 选项B、当时，分母，解析式无意义，则不在函数图象上； 选项C、当时，，则不在函数图象上； 选项D、当时，分母，解析式无意义，则不在函数图象上． 3. 下列各组长度的线段中，首尾顺次相接能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此分别计算验证各选项即可得到答案． 【详解】解：选项，，， ， 所以不能构成直角三角形，不符合题意． 选项，，， ， 所以不能构成直角三角形，不符合题意． 选项，，， ， 所以不能构成直角三角形，不符合题意． 选项，，， ， 所以能构成直角三角形，符合题意． 4. 下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C不满足条件． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，为对角线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得出，再根据两直线平行，内错角相等即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 6. 对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（ ） A. 众数是3 B. 中位数是4.5 C. 平均数是5 D. 方差是4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、平均数、方差的计算，先将数据从小到大排序，再根据各统计量的定义计算，即可判断出错误的说法． 【详解】解：将数据从小到大排列为2，3，3， 6，7，9，共 个数据． ∵数据中 出现次数最多， ∴众数为 ，A正确，不符合题意． ∵ 个数据的中位数为第 个和第 个数据的平均数，即 ， ∴中位数为 ，B正确，不符合题意． ∵平均数 ， ∴平均数为 ，C正确，不符合题意． ∵方差， ∴D错误，符合题意． 7. 如图所示是一次函数的图象，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象得到，，进而可判断一次函数的图象． 【详解】解：由图象可得，一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴一次函数的图象过第二、三、四象限，故D选项符合题意． 8. 将某校吉他社团的名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这名同学身高的第三四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据箱线图的信息即可得到答案． 【详解】解：由箱线图可知，这名同学身高的第三四分位数是． 9. 每一个外角都是的正多边形为（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用任意多边形外角和为，结合正多边形各外角相等的性质计算边数即可得到答案． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，且正多边形的所有外角都相等， ∴该正多边形的边数为， ∴该正多边形为正六边形． 10. 骑摩托车，骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间（）之间存在函数关系，图象如图所示．给出下面的结论：①甲、乙地相距；②行驶了用了；③比晚出发；④行驶的平均速度为每小时．则上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】观察函数图象，根据横纵坐标的含义及图象上的关键点坐标，结合路程、速度、时间的关系逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，轴表示路程，最大值为， 甲、乙两地相距，故①正确； 由图象可知，的图象经过点和， 的速度为（）， 行驶所需时间为（），故②错误； 由图象可知，在时出发，在时出发， 比晚出发，故③错误； 由图象可知，的图象经过点和， 行驶路程为，用时（）， 的平均速度为（），故④正确． 综上所述，正确的结论是①④． 二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 火星探测着陆器的着陆稳定性是火星探测任务成功的关键保障．我国自主研发的甲、乙、丙、丁四种智能着陆器在火星模拟环境中各完成了5次精准着陆测试．经统计分析，这四种着陆器5次测试的着陆偏差方差分别为，则着陆最稳定的是_____型着陆器． 【答案】丙 【解析】 【分析】方差反映数据的波动大小，当测试次数相同时，方差越小，数据波动越小，着陆稳定性越高． 只需比较四个方差的大小，找出方差最小的对应的着陆器即可． 【详解】解：比较四个方差的大小，可得 ， 即 ， 根据方差的性质，方差越小，着陆偏差的波动越小，着陆越稳定， 因此丙型着陆器着陆最稳定． 13. 如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，数轴上的点表示的数是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图可知， 即数轴上的点表示的数是． 15. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为_____． 【答案】## 【解析】 【详解】如图，当时，， 当，即时，如图可知，． 16. 如图，在中，E为中点，于点F，，，，则__________，的面积为__________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】根据已知条件利用勾股定理即可求得的长度；延长，交于点G，利用倍长中线模型结合平行四边形的性质证明，从而得到的长度，利用勾股定理求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线定理可得，从而得出，继而求得最终结果． 【详解】解：∵，，， 在中，， 如图，延长，交于点G， 在中，，，， ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即，， 在中，， ∵， ∴． 三、解答题（本大题有5小题，共36分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 为了促使青少年深入理解科学、技术与社会的相互关系，某校组织了一次科技创新比赛，并对甲、乙两名选手的候选作品的创新性和实用性进行量化评分，具体成绩（单位：分；百分制）如下表： 选手 创新性分数 实用性分数 甲 乙 （1）如果学校认为创新性和实用性同样重要，求出甲和乙两人的平均成绩； （2）如果学校认为按照创新性占，实用性占计算总成绩，则谁的总成绩较高？ 【答案】（1）； （2）甲的总成绩较高 【解析】 【分析】（1）利用算术平均数公式，将两项分数求和后除以2计算平均分； （2）根据给定权重，用每项分数乘对应占比再求和得到加权总成绩，对比数值大小得出结论． 【小问1详解】 解：（分）， （分） 甲、乙的成绩一样高． 【小问2详解】 解：甲选手总成绩（分）， 乙选手总成绩（分）， ∴甲的总成绩较高． 19. 如图，在中，为边上的高，已知，，，求，的长． 【答案】， 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为边上的高， ∴， 在中，， 在中，． 20. 已知一次函数的图象经过点与． （1）求这个一次函数的解析式； （2）从以下取值范围中选择一个：①；②；③，根据（1）中的解析式求出对应函数值的取值范围． 【答案】（1） （2）若选择，则；若选择，则；若选择，则 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数中可得y随x的增大而增大，根据函数的增减性求解的取值范围即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点与， 得，解得， ∴一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：由（1）知，其中， ∴y随x的增大而增大． 选择取值范围①： 当时，， 当时，， ∴y的取值范围是． 若选择取值范围②： 当时，， 当时，， ∴y的取值范围是． 若选择取值范围③： 当时，， 当时，， ∴y的取值范围是． 21. 如图，在中，，，平分，交于点，连接，已知． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）3 （2）32 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边，得到，再利用线段的和差关系进行求解即可； （2）勾股定理逆定理得到，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ． ∵平分， ． ， ． ． 【小问2详解】 解：， ． ∴是直角三角形，且． . Ⅱ卷 四、解答题（本大题有4小题，共50分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 22. 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图．如图所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验： 先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 观察值 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但根据表中的数据绘制散点图．观察各点的分布特征，发现其大致分布在一条直线附近，表明与之间存在近似的一次函数关系．基于此，综合实践小组将表中的观察值取近似值保留整数位后，用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： （1）依照综合实践小组的方法，求水面高度与流水时间的函数表达式； （2）当甲容器的水刚好放完时，求流水时间； （3）小天同学用这个装置也进行了实验，记录了以下一组数据，结合（1）中的函数表达式，判断这组数据的准确性并说明原因． 观察值 【答案】（1） （2） （3）准确性较高 原因：这组数据的水面高度h与流水时间t的函数表达式为，与综合实践小组的实验的水流速度相等，因此数据准确性较高 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式； （2）当时，，解方程求出的值即可； （3）这组数据的水面高度h与流水时间t的函数表达式为，与综合实践小组的实验的水流速度相等，因此数据准确性较高． 【小问1详解】 解：由题可知，水面高度h与流水时间t可近似为一次函数关系，设一次函数解析式是， ，，时，， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 甲容器的水刚好放完时，流水时间为； 【小问3详解】 略 23. 配方法是一种重要的解题方法．配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题．它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 阅读以上材料，解决下面两个问题： （1）下列说法正确的是（ ） A．式子可以化成一个完全平方式，且这个完全平方式为 B．化简的结果是 C．若正方形的面积为，则它的边长为 D．若，其中，为正整数，则 注意：本小题是多项选择题，有多个选项符合题目要求，要求回答时，全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分． （2）如图，从一个大矩形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求小矩形的边的长． 【答案】（1）ACD （2） 【解析】 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式逐项判断即可； （2）求出两个小正方形和的边长，即可求解． 【小问1详解】 解：A、， 所以式子可以化成一个完全平方式，且这个完全平方式为．故本选项正确； B、，故本选项错误； C、 若正方形的面积为，则它的边长为，故本选项正确； D、∵， 又，其中，为正整数， ∴，或； ∴，故本选项正确． 综上所述，说法正确的是ACD． 【小问2详解】 解：∵正方形的面积为， ∴边长． ∵正方形的面积为， ∴边长， ∵在矩形中，， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，点是线段上的动点，点在的右侧，以为一边在轴上方作矩形，其中，，点从出发向终点运动，速度是每秒个单位，设运动时间为秒（）． （1）求线段，的长度； （2）连接，，设，求关于的函数解析式并写出自变量的取值范围； （3）设矩形与重叠部分面积为． ①填空：当时，的值为________； ②当时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）①或6；② 【解析】 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）先表示出四点坐标，再根据两点之间距离公式表示出，即可解答； （3）①分在轴右侧和在轴左侧画出图形列出关于的方程可解得答案；②求出时的值（临界点），由图形可得答案． 【小问1详解】 解：对于直线： 令，得，解得，即，因此； 令，得，即，因此； 【小问2详解】 解：点运动秒后，坐标为， ∵，， 由矩形性质得各点坐标：，，， 由两点之间距离公式得：， ， ∴， ∵点从出发向终点运动，速度是每秒个单位，， ∴； 【小问3详解】 解：当在轴右侧时，如图， ， ， 解得； 当在轴左侧时，设交于交于，如图： ， ， ， ， 解得； 因此的值为 或 ； ②当矩形向左运动时，重叠部分面积逐渐增大， 如图， 当时， ∵， ， 解得， 矩形整体进入时，此时； 当矩形继续向左运动，重叠部分面积逐渐变小， 连接交于，当在上时，直线平分矩形的面积，如图 ∵是的中点， ∴， 把代入得：，解得， ∴的取值范围为：（或写成）． 25. 数学活动课上，同学们以菱形纸片开展“折纸”活动．已知． （1）如图，折叠后，使点落在对角线上的点处，得到折痕，连接．证明：； （2）如图，折叠后，使点落在边上的点处，折痕与对角线交于点处，连接，，． ①求的度数； ②若菱形的边长为，则的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：在菱形中，，平分，， ∴，， 又由翻折可知， 在四边形中， （2）①；②存在，理由如下： 由，， 得， 过点N作于点K， ，， 在中，由勾股定理得， ， ． 故当最小时，的周长最小， 即时，的周长最小， 此时，在中，， ， 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质求出，根据折叠性质得，再由四边形内角和即可求出； （2）①过点N作于点P，作于点Q，先根据角平分线性质得到，从而证明，得到，通过角的转化得到，再由四边形内角和即可求出；②过点N作于点K，得到是一个顶角为的等腰三角形，通过勾股定理求出，从而表示出，故时，最小，最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，过点N作于点P，作于点Q， ∴ 在菱形中，，平分 ， 又由翻折可知，， 在和中， 由， ， ， ， 即， 又∵在四边形中， ， 即． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $