精品解析： 广东省深圳市南山区2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷

2024－2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的姓名、班级、学校，并把条形码粘贴在指定位置． 2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 二十四节气是中国古代通过观察太阳周年运动，认知时令、气候、物候变化规律形成的知识体系，下图分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ） A x﹣6＜y﹣6 B. 3x＜3y C. ﹣2x＞﹣2y D. 2x＋1＞2y＋1 3. 若分式值为0，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 中国古代建筑具有悠久的历史和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．根据图中信息判断该公司在赢利时的销售量为（ ） A. 小于4件 B. 大于4件 C. 等于4件 D. 不小于4件 6. 依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 一件商品售价元，利润率为，则这种商品每件的成本是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于85”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 9. 在中，，若，则_____． 10. 已知正方形的面积是，利用因式分解写出表示该正方形的边长的代数式为_____． 11. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是_____． 12. 已知关于的方程的根为负数，则实数的取值范围是_____ 13. 如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的长为______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题7分，第15题7分，第16题9分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 15. 先化简：，再从3、，0中选一个合适数作为的值代入求值． 16. 如图，每个小正方形的边长为1个单位、每个小方格的顶点叫格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． （1）在图1中画出向右平移4个单位后的； （2）在图2中画出绕点顺时针旋转后的； （3）在图3中画出所有格点，使面积与面积相等（点与点不重合）． 17. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，，，我们称3，12，16这三个数为“智慧数”． （1）试判断21是否为“智慧数”，并说明理由； （2）假设存在两个连续偶数分别记为和（其中取正整数），请证明由这两个连续偶数所构造出的“智慧数”是4的倍数． 18. 已知：如图，在平行四边形中，点，分别在和上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求平行四边形的面积． 19. 荷兰花卉小镇是融城市民休闲娱乐、赏花购花的生态休闲区．小镇某花店现推出小雏菊和玫瑰两种特价鲜花，一扎玫瑰比一扎小雏菊多5元，甲公司现场购买小雏菊花费300元，购买玫瑰花费400元，且两种鲜花扎数相等．请解决以下问题： （1）一扎小雏菊和一扎玫瑰的价格各是多少元？ （2）如图1．该店现有区内配送服务，结合图2信息可得_____；当鲜花数量超过8扎时，一次性配送，配送费（元）与鲜花数量（扎）之间的函数关系式为______． （3）区内乙公司计划购买小雏菊和玫瑰两种鲜花共18扎，若购进玫瑰的数量不低于13扎，且不超过小雏菊数量的5倍． ①此次购花的费用最少需要多少元？ ②现公司需要配送服务，则此次配送费最少需要__________元． 20. 【定义】若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形．简称“直等补”四边形． 【概念理解】 （）如图，四边形是正方形，点在上，将绕点顺时针旋转，使和重合，此时，点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由．（请将以下证明过程补充完整） 证明：四边形是“直等补”四边形，理由如下： 四边形是正方形， ， 由旋转性质，得： _________，_________， ， __________， 四边形是“直等补”四边形． 【性质初探】 （）如图，四边形是“直等补”四边形，，，连接．若，，学习小组探究发现，通过将绕点顺时针旋转，可以求得的长（用含，的式子表示）．请完成探究过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是“直等补”四边形，，，连接，，，当取何值时，的面积最大？最大值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的姓名、班级、学校，并把条形码粘贴在指定位置． 2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 二十四节气是中国古代通过观察太阳周年运动，认知时令、气候、物候变化规律形成知识体系，下图分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意； B、不是中心对称图形，故B不符合题意； C、不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 2. 已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ） A. x﹣6＜y﹣6 B. 3x＜3y C. ﹣2x＞﹣2y D. 2x＋1＞2y＋1 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】A.∵x＞y， ∴，故A错误； B.∵x＞y， ∴，故B错误； C.∵x＞y， ∴，故C错误； D.∵x＞y， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意不等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变． 3. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件可以求出的值．熟知需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．是解题的关键． 【详解】解：由分式的值为零的条件得且， 解得， 故选：A． 4. 中国古代建筑具有悠久历史和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．多边形的内角和为，其中n为正多边形的边数．根据多边形的内角和公式求出内角和，再除以边数即可得到答案． 【详解】解：正八边形的一个内角的度数为． 故选：D． 5. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．根据图中信息判断该公司在赢利时的销售量为（ ） A. 小于4件 B. 大于4件 C. 等于4件 D. 不小于4件 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像即可求解． 【详解】解：由图可知， 当销售收入大于销售成本时，即的图像在的上方， 则的部分的图像在的上方， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，审清题意，理解函数图像的信息是解题的关键． ． 6. 依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确； 一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故D错误； 故选：C． 7. 一件商品售价元，利润率为，则这种商品每件的成本是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了列代数式，正确掌握售价（利润率）成本是解题关键. 根据售价（利润率）成本求解即可. 【详解】解：∵商品售价元，利润率为， ∴成本， ∴故选： D 8. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于85”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了程序框图，一元一次不等式组的应用，根据第一次不停止、第二次停止列不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：设输入的为x， 由题意知， 解得：， 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 9. 在中，，若，则_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 10. 已知正方形的面积是，利用因式分解写出表示该正方形的边长的代数式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．先分解因式，再求算术平方根即可． 【详解】解：， ∵， ∴该正方形的边长的代数式为， 故答案为：． 11. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图过程与性质，熟记角平分线的性质是解题关键． 作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由作法得平分， ∴， ∴的面积． 故答案为：5． 12. 已知关于的方程的根为负数，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解． 先求出的解，再根据根为负数计算即可． 【详解】解：解得， ∵关于的方程的根为负数， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理，由已知可得，，过点作，交于，可得，，过点作，交于，则，得到，即得，可得，设，，得到，，进而得到，即得，即得到，最后根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 过点作，交于， 则，， 过点作，交于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题7分，第15题7分，第16题9分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解法，首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 解集在数轴上表示： ∴不等式组的解集为： 15. 先化简：，再从3、，0中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，解题的关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，分式乘除的本质是约分．熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再根据分式有意的条件，求出x的取值范围，再在所给的值中取一个符合题意的值代入求值即可． 【详解】解：  ， ， ， 且， 且， ∴x只能取， 当时，原式． 16. 如图，每个小正方形的边长为1个单位、每个小方格的顶点叫格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． （1）在图1中画出向右平移4个单位后的； （2）在图2中画出绕点顺时针旋转后的； （3）图3中画出所有格点，使面积与面积相等（点与点不重合）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换、三角形面积，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向右平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）作出A、C绕点顺时针旋转后的对应点、，顺次连接即可； （3）过点A作的平行线与网格线的交点即为所求的点M． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，点，即为所求； 17. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，，，我们称3，12，16这三个数为“智慧数”． （1）试判断21是否为“智慧数”，并说明理由； （2）假设存在两个连续的偶数分别记为和（其中取正整数），请证明由这两个连续偶数所构造出的“智慧数”是4的倍数． 【答案】（1）21是“智慧数”，理由见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合“智慧数”的定义，且，则21是“智慧数”． （2）理解题意，得，结合取正整数，得是正整数，即可作答． 【小问1详解】 解：21是“智慧数”，理由如下： 依题意，， ∴21是“智慧数”； 【小问2详解】 解：依题意，设由这两个连续偶数所构造出的“智慧数”为 则 ∵取正整数 ∴是正整数， ∴是4倍数． 18. 已知：如图，在平行四边形中，点，分别在和上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形判定和性质，30度角的性质，勾股定理． （1）由平行四边形的性质可得，，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （2）过作于，由平行四边形的性质得到，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，设，根据勾股定理求出，即可求出平行四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图所示，过作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， 解得， ∴． 19. 荷兰花卉小镇是融城市民休闲娱乐、赏花购花的生态休闲区．小镇某花店现推出小雏菊和玫瑰两种特价鲜花，一扎玫瑰比一扎小雏菊多5元，甲公司现场购买小雏菊花费300元，购买玫瑰花费400元，且两种鲜花扎数相等．请解决以下问题： （1）一扎小雏菊和一扎玫瑰的价格各是多少元？ （2）如图1．该店现有区内配送服务，结合图2信息可得_____；当鲜花数量超过8扎时，一次性配送，配送费（元）与鲜花数量（扎）之间的函数关系式为______． （3）区内乙公司计划购买小雏菊和玫瑰两种鲜花共18扎，若购进玫瑰的数量不低于13扎，且不超过小雏菊数量的5倍． ①此次购花的费用最少需要多少元？ ②现公司需要配送服务，则此次配送费最少需要__________元． 【答案】（1）一扎小雏菊和一扎玫瑰的价格分别是元，元； （2）2， （3）①元②24元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设一扎小雏菊的价格是元，则一扎玫瑰的价格元，结合甲公司现场购买小雏菊花费300元，购买玫瑰花费400元，且两种鲜花扎数相等．列出分式方程，即可作答． （2）认真分析图片的信息，得出，理解，配送费（元）与鲜花数量（扎）之间的关系，再列式化简，即可作答． （3）①先得出，再得出购花的费用，根据一次函数的性质进行分析，即可作答． ②分别算出当一次性配送的费用以及当分两次配送的费用，再进行比较，即可作答． 【小问1详解】 解：设一扎小雏菊的价格是元，则一扎玫瑰的价格元， 依题意， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴（元） ∴一扎小雏菊和一扎玫瑰的价格分别是元，元； 【小问2详解】 解：∵扎玫瑰配送费为元，不超过扎的配送费为元， ∴ 则当鲜花数量超过8扎时，一次性配送，配送费（元）与鲜花数量（扎）之间的函数关系式为 【小问3详解】 解：①购买玫瑰鲜花扎，则小雏菊扎， 依题意，得 解得 设购花的费用为 则 ∵ ∴随着的增大而增大 当时，有最小值， 且 ∴此次购花的费用最少需要元． ②当一次性配送扎，则； 当分两次配送，第一次配送扎，所需配送费为元， 第二次配送扎，所需配送费为元， 此时配送费为 ∵ ∴现公司需要配送服务，则此次配送费最少需要24元． 20. 【定义】若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形．简称“直等补”四边形． 【概念理解】 （）如图，四边形是正方形，点在上，将绕点顺时针旋转，使和重合，此时，点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由．（请将以下证明过程补充完整） 证明：四边形是“直等补”四边形，理由如下： 四边形是正方形， ， 由旋转性质，得： _________，_________， ， __________， 四边形是“直等补”四边形． 【性质初探】 （）如图，四边形是“直等补”四边形，，，连接．若，，学习小组探究发现，通过将绕点顺时针旋转，可以求得的长（用含，的式子表示）．请完成探究过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是“直等补”四边形，，，连接，，，当取何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（），，；（）； 【解析】 【分析】（）利用正方形和旋转的性质证明即可； （）由旋转可得，，即得，，，进而由可得点三点共线，即得，再利用勾股定理得到，即可求解； （）由（）可得，即得，设，则，可得，由二次函数的性质得到当，的面积最大，最大值是，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】（）证明：四边形是“直等补”四边形，理由如下： 四边形是正方形， ， 由旋转性质，得： ，， ， ， 四边形是“直等补”四边形, （）由旋转可得，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴； （）由（）可得，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当，的面积最大，最大值是， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 综上，当时，的面积最大，最大值是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质补角性质，勾股定理，二次函数的性质等，理解“直等补”四边形的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $