17-第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合检测（二）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

章末综合检测（二） （时间：120分钟,满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知,，则下列大小关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由，可得，，又因为，所以. 2．若正数,满足，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】选.因为，所以，所以，当且仅当，即,时，等号成立.所以 的最小值是4. 3．已知集合，，则（ ） A. B. C. ,0, D. 【答案】D 【解析】选.因为，， 所以. 4．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意知，甲的常数 正确，由根与系数的关系可知，故；乙的常数 正确，故，故.所以原不等式为，即，解得，所以解集为. 5．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.当 时，恒成立， 当 时，则 解得， 综上所述，不等式 恒成立时， ， 所以选项中“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是. 6．已知不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题知2，3是方程 的两个根， 则 解得 所以不等式 即为， 即， 解得. 所以不等式 的解集为. 7．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设花卉带的宽度为，则， 所以，即，可得， 又 解得，故，而，则 可能取值为2. 8．已知命题,，命题，，若命题,都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】选.因为命题,为真命题，所以， 又因为,所以，当且仅当，即 时，等号成立，所以. 因为命题,为真命题， 所以, 所以 或， 因为命题，都是真命题， 所以 或． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．不等式的解集非空的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.因为 的解集非空，显然当 时恒成立，又由 解得，综上，的解集非空的充要条件为.由选项知 的一个必要不充分条件为. 10．若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.由 且 得，所以,，正确； ，所以，，正确； 取，，，则，错误； 由 得， 所以， 因为，所以，正确. 11．设正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为8 【答案】CD 【解析】选.对于，因为，，且， 所以， 当且仅当，即, 时，等号成立， 所以 的最小值为，故 错误； 对于，因为，，且，所以，当且仅当 时，等号成立， 所以，当且仅当 时，等号成立， 所以，当且仅当 时，等号成立，即 的最大值为，故 错误； 对于，因为，，且，所以，当且仅当 时，等号成立，即 的最大值为2，故 正确； 对于，因为，，且， 所以，当且仅当 时，等号成立， 所以， 当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为8，故 正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．） 12．不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 即为， 即 故， 即不等式的解集为. 13．能够说明“设,,是任意实数，若，则”是假命题的一组整数,,的值依次为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】,,0（答案不唯一） 【解析】若，当 时，； 当 时，；当 时，. “设,,是任意实数，若，则”是假命题的一组整数,,的值依次为,,0. 14．若，，，均为正实数，则的最小值为_ _ _ _ ． 【答案】4 【解析】, 当且仅当， 即 时，等号成立， 所以 的最小值为4. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）已知二次函数，. （1） 若，求不等式的解集;（6分） （2） 若，求关于的不等式的解集.（7分） 【答案】 （1） 解：当 时，. ，即， 所以， 所以 或. 所以 的解集为，或. （2） ， 即， 所以， 所以. 因为，所以， 所以不等式 的解集为. 16．（本小题满分15分）已知，. （1） 求的最小值；（7分） （2） 若，求的最小值.（8分） 【答案】 （1） 解：因为，则， 由题意得 ， 当且仅当， 即 时，等号成立. 故 的最小值为3. （2） 由，得， 则 ， 当且仅当， 即,时，等号成立. 故 的最小值为1. 17．（本小题满分15分）已知,,，关于的一元二次不等式的解集为. （1） 求，的值；（6分） （2） 若为非负实数，解关于的不等式.（9分） 【答案】 （1） 解：因为不等式 的解集为 ， 所以 和 是方程 的两个根. 由根与系数的关系，可得， ，解得，. （2） 由（1）知，，则不等式为，即. 当 时，不等式化为，解得； 当 时，， 不等式的解为； 当 时，不等式化为， 即，此时不等式无解； 当 时，， 不等式的解为. 综上可得，当 时，解集为； 当 时， 解集为； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为. 18．（本小题满分17分）为提高自主研发的能力，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. （1） 要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员最多多少人？（7分） （2） 是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.（10分） 【答案】 （1） 解：依题意可得调整后研发人员的年人均投入为 万元， 则,， 即，解得， 又 且，所以调整后的技术人员最多75人. （2） 由①，即技术人员的年人均投入始终不减少，则有，， 解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即 时取等号，所以， 又因为， 所以当 时，取得最大值7， 所以， 即存在这样的实数 满足条件. 19．（本小题满分17分）已知函数． （1） 当时，求不等式的解集；（3分） （2） 若不等式的解集为 ，求的取值范围；（5分） （3） 对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．（9分） 【答案】 （1） 解：当 时，， 由 得， 解集为，或． （2） 当 时，由，得到，所以，不合题意， 当 时，不等式 的解集为 ， 得 解得， 所以实数 的取值范围为. （3） 由不等式， 得， 因为 恒成立， 所以 ， 设，， 则,, 所以， 因为， 当且仅当，即，即 时取等号， 所以当 时，， 所以． 第30页 学科网（北京）股份有限公司 $