第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试-2026-2027学年高一上学期人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学第二单元（一元二次函数、方程和不等式）测试卷，通过基础辨析与实际应用结合的梯度设计，落实数学眼光、思维与语言核心素养，适配单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|不等式表示、基本不等式、性质判断|如第1题结合生活情境辨析不等式应用，体现数学眼光| |多项选择|4/20|定义域、不等式解集、基本不等式|如第12题综合最值分析，考查逻辑推理，落实数学思维| |填空|4/20|最值、面积问题、恒成立条件|如第15题矩形面积最值，强化模型意识，体现数学语言| |解答题|6/70|比较大小、实际应用（蓄水池造价）|如22题以蓄水池造价为背景，综合应用基本不等式，关联现实问题，符合真题应用趋势|

2026-2027学年高一上学期数学第二单元测试卷 （人教A版必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式） 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 满分：150分 【注意事项】 ①.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 ②.作答前，请将姓名、班级填写在试卷指定位置。 ③.所有答案请书写规范，解答题需写出必要解题步骤。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1.下列情景中不能用不等式来表示的是（ ）。 A.某路段限速60。 B.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 C.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 D.盐水浓度为的盐水100克含盐多少克。 2.已知，的最小值是（ ）。 A.2 B. C. 3 D. 3.已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ）。 A. B. C. D. 4.下列命题为真命题的是（ ）。 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5.若正数a,b满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6.不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7.不等式的解集是（ ）。 A. B. C. D. 8. 下列不等式不成立的是（ ）。 A. 若 B. 若 C. 若，ab，则 D.若 二、多项选择题；（本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。） 9.要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10.已知且，下列选项成立的是（ ）。 A. B. C. D. 11.下列不等式解集为空集的是（ ） A. B. C. D. 0 12.已知，且，则下列说法正确的是（ ） A.的最小值为6 B.的最大值为6 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，求的最大值为 。 14.已知，则的最小值为 。 15.矩形的周长为36cm，则矩形面积的最大值是 。 16.若关于的不等式对于任意实数恒成立，则实数的取值范围是 。 四、解答题（本题共6小题，共70分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.比较下列各组中两个代数式的大小：（10分） （1）与 （5分） （2） 与 （5分） 18.用200cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？（12分） 19.当取什么值时，一元二次不等式对于一切实数都成立？（12分） 20.已知M=，N ，求（12分） 21.若不等式解集为，（1）求的值，（2）解不等式。（12分） 22.为了解决杨村浇灌用水困难的问题，政府决定在村东头建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为1200，池深为3，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，那么怎样设计水池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？（12分） 参考答案 1.【答案】 D 【解析】A选项：某路段限速60，可以用不等式来表示；B选项：设三角形的三边为a,b,c,可以用不等式来表示；C选项；设直线外一点到直线的距离为，垂线段的长度为，可以用不等式来表示；D选项：盐水浓度为的盐水100克含盐量=100×=5（克），只能用等式来表示。 【考查点】考查不等式成立的条件。 2.【答案】C 【解析】已知，则 , 所以 【考查点】考查基本不等式的应用。 3.【解析】C 【解析】选项A：当时，不等式 不成立；选项B：若，不等式两边同时乘以负数c，不等式方向发生改变，即，故B选项不成立。C选项，即成立；D选项：若，不等式不成立。 【考查点】考查不等式的性质和应用。 4.【答案】B 【解析】A选项中若，当c＝0时，不满足，所以A是假命题；B选项中若，两边同时乘以正数a，得 ,两边同时乘以正数b时，得 ,因此，所以，故B选项是真命题；C选项中若，两边同时乘以负数a，得 ,两边同时乘以负数b时，得 ,因此，所以C是假命题；D选项若，则,，所以，即D选项是假命题。 【考查点】考查不等式性质和应用。 5.【答案】 B 【解析】已知,所以，即. 【考查点】考查基本不等式的应用。 6.【答案】 B 【解析】等价于所以解集为 【考查点】考查不等式的应用。 7.【答案】 A 【解析】，解集为 【考查点】考查一元二次不等式的解法。 8.【答案】B 【解析】B选项中当时，如果 ，所以该不等式不一定成立，选项A：根据不等式的传递性成立，选项C中不等式两边同时除以正数，不等号方向不改变，选项D中不等式两边同时乘以正数，不等号方向不改变。 【考查点】考查不等式的性质 9.【答案】BD 【解析】要使有意义，则，其不等式解集为 【考查点】考查根号的定义和解一元二次不等式。 10.【答案】BC 【解析】已知且，所以=2，，所以只有BC两选项符合要求。 【考查点】考查基本不等式的性质 11.【答案】 ABC 【解析】 A选项中，设二次函数，，且开口向上，所以恒成立，因此的解集是空集；B选项中，设二次函数，，且开口向上，所以恒成立，因此的解集是空集；C选项中，设二次函数，，且开口向上，所以恒成立，因此的解集是空集，D选项中0，即2，解集为或,不是空集。 【考查点】考查判断一元二次不等式的应用。 12.【答案】AC 【解析】选项A,B；求的最值，由基本不等式，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，无最大值，因此A对B错；选项C,D；求的值，，因为,所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，无最大值，因此C对D错。 【考查点】考查基本不等式的应用。 13. 【答案】 3 【解析】已知，所以,又，根据不等式同向可加性，将两个范围相加，则得 。 【考查点】考查不等式的运算性质。 14.【答案】 4 【解析】因为，所以 【考查点】考查基本不等式的应用。 15.【答案】 81 【解析】设长方形的长和宽分别为a和b，因为矩形的周长为36cm，所以，根据基本不等式的性质得，得到,故矩形面积最大是 【考查点】考查基本不等式的应用。 16.【答案】 【解析】要使对于任意实数恒成立，则，其解集为。 【考查点】考查不等式成立的条件。 17.【解析】 －（） ＝ － ＝ 所以： ＝ ＝ ＝ 所以： 18.【解析】设矩形的长和宽分别为a和b，周长是200 即 因为 故，即 当时，矩形的面积最大。 【考查点】考查基本不等式的应用。 19.【解析】因为是一元二次不等式，所以， 要是对于一切实数都成立 则 解得 综上所述，的取值范围是 【考查点】考查不等式成立的条件。 20.【解析】 ＝ 即M= ＝ 即N 所以 【考查点】考查不等式的解法，交集、并集的应用。 21.【解析】（1）不等式解集为， 所以-1和5是方程的两实数根， 故，解得 （2）由（1）知，不等式可化为解得或. 所以该不等式的解集为 【考查点】考查一元二次不等式的解法和应用问题 22.【解析】池底面积=1200÷3=400（） 设池底的长为，则宽为 池壁面积＝ 池底造价＝400×200=80000（元） 池壁造价＝（元） 总造价=池底造价＋池壁造价=80000＋ 根据基本不等式：对于， 这里，所以 当且仅当时，，即时取等号。 此时长＝宽＝，池底为正方形。 总造价（元） 答:当水池是边长为20m的正方形时总造价最低，最低总造价是116000元。 学科网（北京）股份有限公司 $