第一章 特殊平行四边形 单元巩固测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册.

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与判定，通过基础辨析、动态探究及综合应用，适配初中数学“特殊平行四边形”单元暑假巩固，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|菱形性质、矩形动态问题、正方形综合|结合函数图像分析动点面积（第3题），中点四边形判定（第6题）| |填空题|6/18|菱形判定条件、折叠问题|菱形折叠后直角三角形分类讨论（第15题）| |解答题|8/72|作图与证明、动态几何|菱形与矩形判定综合（第21题），动点问题面积函数关系（第24题）|

第一章 特殊平行四边形 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，菱形的对角线，相交于点，下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图1，是矩形的对角线，点从矩形的顶点出发，沿的方向匀速运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为．随变化的函数图像如图2所示，则的长是（     ） A． B． C． D． 4．如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所表示的正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点、分别是、的中点，点是上一点．已知，，连接、，若，则的长度为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．顺次连接四边形各边中点形成的四边形叫做中点四边形，有关中点四边形的描述如下： ①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形； ②矩形的中点四边形一定是矩形； ③正方形的中点四边形一定是正方形； ④非正方形的中点四边形一定不是正方形． 其中所有正确推断的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，在中，，高，，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，然后分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 12．如图，菱形的对角线相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，则与的面积之和为_______． 13．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则______． 14．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 15．如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 16．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 18．已知：在四边形中，，连接． 求作：菱形，使点、分别在、上． 小玉同学的作法如下： ①分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点； ②作直线分别交、于点、，交于点； ③连接、； 四边形为所求作． (1)使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）． (2)完成下列填空． 证明：， __________． 垂直平分， ，． ． ． __________． 又， 四边形是平行四边形． 又__________， 四边形是菱形．（______________________________）（填写推理依据） 19．如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，过点O作交于点E，交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的面积为36，，求的长． 20．如图，在矩形纸片中，，．现将纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于点．将沿翻折，使点落在内部点处，连接． (1)求线段的长； (2)若，求的度数． 21．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，过点A作，且，连接、，与相交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 22．如图，四边形是平行四边形，延长到，使，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图，若平分． ①求证：四边形是菱形； ②若，，直接写出四边形的面积________． 23．菱形的对角线相交于O，E是的中点，于F，于G，． (1)菱形的周长为________； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求的长． 24．如图，在中，，，于点E，且．点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点停止时，点也随之停止，连接．设点运动的时间为秒．    (1)的长是 　 　； (2)用含的代数式表示的长； (3)设面积为，求关于的函数关系式； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，菱形的对角线，相交于点，下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴，，，与不一定相等 故A、B、C 成立，D不一定成立． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质得到，，再证明是等边三角形得到，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 3．如图1，是矩形的对角线，点从矩形的顶点出发，沿的方向匀速运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为．随变化的函数图像如图2所示，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图像、结合图形求出、的值，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：∵动点从矩形的顶点出发，沿的方向匀速运动到点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变， ∴， ∴， 函数图像上横轴表示点P运动的路程，当点P运动到点C时，， ， ， ， ， ∴根据勾股定理得． 4．如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所表示的正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可看出所处的正方形的面积等于直角三角形的短直角边的平方，已知斜边和另一较长的直角边的平方，则不难求得字母所代表的正方形面积． 【详解】解：根据正方形面积与边长的关系可知，图中直角三角形的长直角边的平方为64，斜边的平方为100， 根据勾股定理，该直角三角形的短直角边的平方， ∴字母所代表的正方形面积是． 5．如图，在中，点、分别是、的中点，点是上一点．已知，，连接、，若，则的长度为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由直角三角形斜边中线的性质求得，再根据是的中位线，得出，即可求解． 【详解】解：，是的中点，， ， ， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ． 6．顺次连接四边形各边中点形成的四边形叫做中点四边形，有关中点四边形的描述如下： ①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形； ②矩形的中点四边形一定是矩形； ③正方形的中点四边形一定是正方形； ④非正方形的中点四边形一定不是正方形． 其中所有正确推断的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题利用三角形中位线定理，根据原四边形对角线的关系判断中点四边形的形状，核心性质为：中点四边形的边分别平行于原四边形的对角线，且长度为原对角线长度的一半，逐一判定各描述即可得到结果. 【详解】解：根据三角形中位线定理可知，任意四边形中点四边形的对边分别平行于原四边形的对角线，且长度等于原对角线长度的一半，对边平行且相等， ①任意四边形的中点四边形对边平行且相等，因此一定是平行四边形，故①正确； ②矩形的对角线相等，因此矩形中点四边形的四条边长度相等，是菱形，不是矩形，故②错误； ③正方形的对角线相等且互相垂直，因此中点四边形四条边相等，邻边互相垂直，一定是正方形，故③正确； ④只要原四边形的对角线相等且互相垂直，无论原四边形是不是正方形，中点四边形都是正方形，因此非正方形也可以得到正方形的中点四边形，故④错误． 7．如图，在中，，高，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别将、沿、翻折，构造出正方形，利用勾股定理建立关于的方程求解即可． 【详解】解：分别作关于的对称图形、作关于的对称图形，得到、，延长、相交于点． 是的高， ， 由对称的性质可得：，，，，，，， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 8．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，然后分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图所示：连接，交于点O， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 9．已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，先证明四边形为矩形，再证明和全等得，则矩形为正方形，由此得，则，进而得，则，由此可得的度数． 【详解】解：过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，如图所示： 则， ∵四边形和都是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形是解决问题的难点． 10．如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作轴，利用、坐标算出长，结合矩形面积与三角形面积公式求出，得到点横坐标；再根据矩形性质得、，结合直角证明，推出，最后结合点纵坐标减去，求出点纵坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为． 点，点，两点均在轴上， ． 四边形是矩形，，矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分， ． 轴，以为底，为底边对应的高， ． 将，代入得： ， 解得． 为点到轴的水平距离，由图可知点在轴右侧，横坐标为正数， 点的横坐标为． 四边形是矩形， ，，． ． 轴，轴轴， ． 在与中： ． ． ，原点， ， ． 轴，是垂足， 点与点纵坐标相等． ，线段，结合图形可知垂足在点的正下方， 点的纵坐标， 点的纵坐标为． 综上，点的坐标为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 【答案】①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【详解】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 12．如图，菱形的对角线相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，则与的面积之和为_______． 【答案】6 【分析】根据菱形的性质求出，，可求出，然后证明，即，求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角与内角的关系，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 连接，与交于点，利用矩形的性质里对角线相等且互相平分得和是等边三角形，通过等边对等角得，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和推得的度数，根据三角形的内角和等于即可求解． 【详解】解：如图，连接，与交于点， 四边形是矩形，且， ，，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ． 故答案为：． 14．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【答案】/0.6 【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 15．如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长． 【详解】解：①如图，若， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵将沿着翻折， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ②如图，若， ∵将沿着翻折， ∴，，， ∵， ∴点，点，点三点共线， ∵， ∴． ③若， ∵， ∴点不可能落在直线上， ∴不存在， 综上所述：或． 16．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 【答案】15° 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 18．已知：在四边形中，，连接． 求作：菱形，使点、分别在、上． 小玉同学的作法如下： ①分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点； ②作直线分别交、于点、，交于点； ③连接、； 四边形为所求作． (1)使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）． (2)完成下列填空． 证明：， __________． 垂直平分， ，． ． ． __________． 又， 四边形是平行四边形． 又__________， 四边形是菱形．（______________________________）（填写推理依据） 【答案】(1) (2)证明：， ． 垂直平分， ，． ． ． ． 又， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形．（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）根据平行线的性质，可得；利用证明三角形全等，推出，根据平行四边形的判定，可得四边形是平行四边形，再根据垂直平分线的性质，菱形的判定，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 19．如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，过点O作交于点E，交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的面积为36，，求的长． 【答案】(1)证明：点O是中点， ． 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； (2)8． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，得到，可知四边形是平行四边形，根据可知四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，进而得到，根据完全平方公式得到，可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 即， 菱形的面积为36． ， ， 在中，由勾股定理可得：． 20．如图，在矩形纸片中，，．现将纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于点．将沿翻折，使点落在内部点处，连接． (1)求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质及折叠，可知，设，用表示，在中，利用勾股定理即可求解； （2）设，根据折叠分别用表示，再利用矩形的内角是列方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，． ， 沿矩形对角线折叠， ， ． ． 设的长为，则，， 在中，，由勾股定理得 ， 解得 答：的长为． （2）解：设， 沿翻折，使点落在内部点处， ． 由（1）可知， ， ． 四边形是矩形， ， ． 即 解得， ． 答：的度数为． 21．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，过点A作，且，连接、，与相交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，，即， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， 又 平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，，即，结合题意得出，从而可得四边形是平行四边形，再结合，即可得证； （2）由矩形的性质可得，再证明是等边三角形，得出，由勾股定理得出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：平行四边形是矩形， 与相等且互相平分，则， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴ 在中，， ． 22．如图，四边形是平行四边形，延长到，使，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图，若平分． ①求证：四边形是菱形； ②若，，直接写出四边形的面积________． 【答案】(1)四边形为平行四边形，理由： 四边形是平行四边形， ，即， ， ， 四边形为平行四边形； (2)①证明：根据（1）可得四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ∴， ， 平行四边形为菱形； ② 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即可得到四边形为平行四边形； （2）①利用平行线的性质得到即可解答； ②连接，根据菱形的性质和勾股定理求得的长，即可解答． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图，连接交于点， ， 根据①可得四边形为菱形， ，，， 四边形是平行四边形， ， , ， ， ， 菱形的面积为． 23．菱形的对角线相交于O，E是的中点，于F，于G，． (1)菱形的周长为________； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求的长． 【答案】(1)； (2)证明：∵四边形是菱形， ∴，即点是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； (3)． 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可求出菱形的周长； （2）先根据菱形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，证出，然后可证出四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定即可得证； （3）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出的长，则可得的长，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，是的中点，， ∴，， ∴菱形的周长为； （2）略； （3）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．如图，在中，，，于点E，且．点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点停止时，点也随之停止，连接．设点运动的时间为秒．    (1)的长是 　 　； (2)用含的代数式表示的长； (3)设面积为，求关于的函数关系式； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或9 【分析】（1）在中，利用勾股定理可解； （2）利用时间乘以速度等于路程可解，需要分类讨论； （3）利用，根据（1）和（2）即可得到关于的函数关系式； （4）需要分类讨论，点在点左侧还是右侧时，分别进行求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 故填：； （2）解：∵四边形是平行四边形， 当P点运动到点E时，， 当点P运动到点C时，， ①当时，； ②当时，； ∴用含的代数式表示的长为：； （3）当时， ； 当时， ； ∴关于的函数关系式为：； （4）解：①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或9时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、勾股定理和动点问题，解题关键是能够分情况讨论关于的表达式并能确定取值范围求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $