第1章 特殊的平行四边形（暑假单元自测）新九年级数学新教材北师大版

**基本信息** 北师大版初中数学特殊平行四边形单元卷，考点全覆盖，通过基础辨析、情境应用及综合探究，发展几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|正方形判定（1题）、矩形性质（3题）|概念辨析结合图形辨析，强化抽象能力| |填空|6/18|菱形性质（15题）、正方形判定条件（11题）|动态图形（13题刻度尺情境）培养几何直观| |解答|8/72|矩形与菱形综合证明（21题）、动点探究（25题）|拼图探究（17题）发展创新意识，实际问题（20题菜地面积）体现应用意识|

第1章 特殊的平行四边形 单元自测卷 【新教材，北师大版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 【答案】C 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，∴A选项说法错误； B选项，∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，∴B选项说法错误； C选项，∵矩形本身对角线相等，对角线互相垂直的矩形符合正方形判定定理，∴对角线互相垂直的矩形是正方形，C选项说法正确； D选项，∵矩形四个角都是直角，任意邻边本来就互相垂直，因此有一组邻边互相垂直的矩形仍是矩形，不一定是正方形，∴D选项说法错误． 2．（本题3分）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵， ∴． 3．（本题3分）如图，在矩形中，两条对角线交于点，，，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得对角线互相平分且相等，从而得到，结合可判定是等边三角形，进而求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 4．（本题3分）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用勾股定理可得，然后利用垂线段最短即可解答． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 根据垂线段最短，可知的长不可小于3，当P和C重合时，， 由，即长不可能是． 5．（本题3分）小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（     ）   ；；；； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形判断即可． 【详解】解：四边形中，，不能判定四边形是平行四边形，故①错误； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，故②正确； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，不是菱形，故③错误； 矩形中， ∵， 四边形是正方形，故④正确； 菱形中， ∵， 四边形是正方形，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤共3个． 6．（本题3分）一个直角三角形的三条边分别是，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】题干未说明，，中哪条边是斜边，因此无法确定三边的平方关系 【详解】解：∵勾股定理指出，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方， 本题未说明，，哪条边是该直角三角形的斜边， ∴无法确定A、B、C中哪一个等式成立 7．（本题3分）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】由正方形的性质得出，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ∴，故①正确； ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴， ∴，故②正确； ， ∴，故③正确； ∵， ∴， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 8．（本题3分）如图，菱形对角线交点与坐标原点O重合，点，将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第100次旋转结束时，点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可知次旋转结束时点C的位置，与第4次旋转结束时，点C的位置相同，进而根据中心对称的性质作答即可． 【详解】解：， ∴每旋转8次，点C的坐标重复出现， ， 次旋转结束时点C的位置，与第4次旋转结束时，点C的位置相同， ∵， ∴第4次旋转结束时的点与点C关于坐标原点对称， ∴第100次旋转结束时，点C的坐标为． 9．（本题3分）如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得结论． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 10．（本题3分）如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，点E在x轴上，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点F的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每4次旋转为一个循环，，即第2026次旋转结束时，点的坐标与第2次旋转结束时点的坐标相同，由题可得，点与点F关于原点对称，再通过正方形和菱形的性质求解即可． 【详解】解：， ∴每4次旋转为一个循环，，即第2026次旋转结束时，点的坐标与第2次旋转结束时点的坐标相同， 由题可得，点与点F关于原点对称，连接， ， ∴由正方形可得， ． 四边形是菱形， ， ， ∴点F的对应点的坐标为． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如图，在中，．再添加一个条件，就能判定四边形是正方形．这个条件可以是__________．（只填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：由在中，，可知四边形是矩形，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（本题3分）一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 【答案】 【分析】设围成的小三角形为，分别用表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解． 【详解】解：如图， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 13．（本题3分）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 【答案】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，． 在中，，是斜边上的中线， ． 14．（本题3分）如图，在菱形中，．连接，点为的中点．交于点E．交于点F．则图中的等边三角形分别为_________________． 【答案】 【分析】由菱形的性质得到，，则可证明都是等边三角形，可得，再由平行线的性质得到，则可证明都是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴都是等边三角形， ∴则图中的等边三角形为． 15．（本题3分）如图，菱形对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识． 根据菱形的性质、勾股定理，先求出、，再结合，即可作答． 【详解】解：在菱形对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 16．（本题3分）如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】24 【分析】证明，可得，则可推出，由勾股定理求出的长，再根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）用两个完全相同的含角的三角尺拼成一个三角形，要求不重叠、不留缝隙． (1)拼一拼，并画出所拼的图形． (2)通过（1）中的拼图，你能获得怎样的结论？请证明你得到的结论． 【答案】(1)解：如图，拼得的图形为大等腰直角三角形： (2)解：拼成一个等腰直角三角形，理由如下： ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴B、C、D共线， ∴是等腰直角三角形． 【分析】利用等腰直角三角形的性质进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 18．（本题8分）在中，，，垂足为． (1)如图（1），点在线段上，连接，．请找出图中所有相等的角，并说明理由． (2)如图（2），点在线段的延长线上，连接，．请找出图中所有相等的线段、相等的角，并说明理由． (3)你还可以提出哪些问题？ 【答案】(1)，，，，，，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴，即． (2)，，，，，，，，，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴，即． (3)①在图（1）中，求证；②若，，求长度．（答案不唯一） 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，，由垂直平分线的性质可得，则，，使用等量代换可得，； （2）仿照（1）的步骤进行判断即可； （3）结合图形与所学知识进行提问即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①在图（1）中，求证， 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ②若，，求长度， ∵，， ∴， 由勾股定理可得，． 19．（本题7分）如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中液面与图中点的距离是多少？ 【答案】乙杯中液面与图中点的距离是． 【分析】先根据直角三角形的性质求出，即可由勾股定理求解，设乙杯中液体深为，根据两杯的高度相等，并且杯中的液体体积相等建立方程求解，设中上的高为，再由面积法求解即可． 【详解】解：设乙杯中液体深为． ，， ． 根据两杯的高度相等，并且杯中的液体体积相等，可得， 解得，即乙杯中液体的深度为． 在中，由勾股定理，得． 设中上的高为， ， ， 故点与液面的距离是． 20．（本题7分）一块菜地的形状如图所示，其中，，，，且．求这块菜地的面积． 【答案】这块菜地的面积为 【分析】连接，由勾股定理可得，利用勾股定理的逆定理可判定，使用的面积减去的面积即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 答：这块菜地的面积为． 21．（本题7分）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明： ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 22．（本题6分）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加适当的条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． 【答案】解：可以添加条件：，理由如下： ∵的对角线与相交于点O， ∴， 又∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形．（答案不唯一） 【分析】从对角线的角度添加条件即可；利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可说明理由． 【详解】略 23．（本题7分）如图，点，，分别在平行四边形的边，和上，，，点是射线上一点，连接，． 求证：． 【答案】证明：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】由，可得，由四边形是平行四边形，则，可得，则，再证明，即可证明结论． 【详解】略 24．（本题10分）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)，，，，， 证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴． (2)证明：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据题意容易证明，则，进而证明和，则，，因此．由等腰三角形的性质可得，，，从而证明和． （2）证明步骤见（1）． 【详解】（1）略 （2）略 25．（本题14分）如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P和点B重合时，线段的长为_______； (2)如图2，当点P在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 【答案】(1)13 (2)解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）连接，求出，，由勾股定理可得结果； （2）过点作 于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （3）当点在上时，当，重合时符合题意， 由建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴，， 在中，； （2）略 （3）解：当点在上时， ∵点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章 特殊的平行四边形单元自测卷 【新教材，北师大版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第【卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.(本题3分)下列说法正确的是() A.对角线相等的平行四边形是正方形 B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 2.(本题3分)如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点0旋转了66°，小孩的位置从点A运动到了点 A,则∠OAA的度数为() A.33° B.57o C.60° D.114° 3.(本题3分)如图，在矩形ABCD中，两条对角线交于点O,∠AOB=60°，AB=3,则AC长为( D O 1/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.23 B.3 C.6 D.33 4.(本题3分)如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=4,点P是边BC上的动点，则AP长不可 能是() P B A.2.5 B.3 C.4 D.5 5.(本题3分)小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图， 如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个() ①AB‖CD,AD=BC:②∠ADC=90°：③AC=BD:④AB=AD:⑤AC=BD 5 A.1 B.2 C.3 D.4 6.(本题3分)一个直角三角形的三条边分别是a,b,C,则下列说法正确的是() A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2 C.b2+c2=a2 D.不能确定 7.(本题3分)如图，在△ABC中，CB=CA,∠ACB=90°，点D在边BC上（与点B,C不重合）， 四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q.下列结论： ①AC=FG;②SAAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ·AC,其中结论正确的序 号是() 218 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G E o D B A.①②④ B.①②③ C.①②③④ D.②③④ 8.(本题3分)如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点C2,-5,将菱形绕原点O逆时针 旋转，每次旋转45°，则第100次旋转结束时，点C的对应点的坐标为() A.-2,5 B.2,-5 c.5,-2 D.5,2 9.(本题3分)如图，四边形ABCD为等腰梯形，且对角线AC=BD,取梯形各边的中点E、R、G、 H,则四边形EFGH是() G B A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 10.(本题3分)如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为(1,0)，以AB为边构造菱形 ABEF,点E在x轴上，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则 第2026次旋转结束时，点F的对应点F2026的坐标为() 318 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E衣 A.(-1,V2) B.(-V2,-1) c.(V2,-1) D.(-1,-2 二、填空题（共18分） 11.(本题3分)如图，在口ABCD中，AC=BD.再添加一个条件，就能判定四边形ABCD是正方形. 这个条件可以是 (只填一个条件即可) 12.（本题3分)一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若∠1=40°，则∠2+∠3= 13.(本题3分)如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A,D,B对应的刻度分别为1， 4,7(单位：cm),则CD的长度为 cm. D/ B mmmmimmmmpmmmmpmmmmfmmmmmmpmmmmmmmmjmmmmmm 0cm12 3 4 67 8 14.(本题3分)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°.连接AC,点O为AC的中点.OE‖BC交AB于 418 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点E.OF‖AB交BC于点F.则图中的等边三角形分别为 D 15.(本题3分)如图，菱形ABCD对角线AC,BD相交于点O,测得AC=4C,BD=8Cm,过点A 作AH⊥BC于点H,则AH的长为 cm. H 16.(本题3分)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC,垂足为点A,EF过点 O,交AD于点F,交BC于点E.若AB=6,BC=10,则图中阴影部分的面积是 A D B 三、解答题（共72分） 17.(本题6分)用两个完全相同的含45°角的三角尺拼成一个三角形，要求不重叠、不留缝隙. (1)拼一拼，并画出所拼的图形 (2)通过(1)中的拼图，你能获得怎样的结论？请证明你得到的结论. 18.(本题8分)在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D. D B D (1) (2) (1)如图(1)，点E在线段AD上，连接BE,CE.请找出图中所有相等的角，并说明理由. 518 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图(2)，点E在线段DA的延长线上，连接BE,CE.请找出图中所有相等的线段、相等的角，并说 明理由. 3)你还可以提出哪些问题？ 19.(本题7分)如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全 部倒入乙杯，则乙杯中液面与图中点P的距离是多少？ 甲 30 16cm -8/3cm→ 20.（本题7分)一块菜地的形状如图所示，其中BD=3m,CD=4m,AB=12m,AC=13m,且 BD⊥CD,求这块菜地的面积. B 21.(本题7分)已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E,作CF‖BD,DF‖AC, CF与DF相交于点F.求证：四边形DECF为菱形. B 22.(本题6分)如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在OB和OD上.请你添加 适当的条件，使四边形AECF是平行四边形，并说明理由. 618 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 23.(本题7分)如图，点G,E,F分别在平行四边形ABCD的边AD,DC和BC上，DG=DC, CE=CF,点P是射线GC上一点，连接FP,EP, 求证：FP=EP. G D 24.(本题10分)如图，△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线交BC于点M. E M (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明. (2)求证：△ABC是等腰三角形 25.(本题14分)如图1，在矩形ABCD中，AB=12,AD=17,点E在边BC上，且BE=5,动点P从 点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动.作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC 于点Q,连接PQ.当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒， D A D B P 图1 图2 (I)当点P和点B重合时，线段PQ的长为 718 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (2)如图2，当点P在边AD上时，猜想△PQE的形状，并说明理由： (3)作点E关于直线PQ的对称点F,当点P运动到AB上，且点F恰好也落在边AB上时，直接写出此时t的 值. 818