第25章一元二次方程 暑假自主学习同步练习题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心知识，以"基础巩固-能力提升-综合应用"分层设计，通过概念理解、运算训练到实际问题解决的递进路径，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|配方法、根的概念、判别式|单选1-5、填空8-10，直接考查定义与基本运算，强化符号意识| |能力提升|根与系数关系、新定义、几何应用|单选6-7、填空11-13，结合增长率问题、"同构二次方程"及直角三角形边长计算，发展推理能力| |综合应用|方程与几何综合、实际问题建模|解答题15-20，涵盖等腰三角形边长讨论、篱笆面积优化及利润计算，体现模型观念与应用意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《第25章一元二次方程》 暑假自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0 3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．若m是方程的一个根，则的值是（    ） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，，则该方程的解为（） A．， B．， C．， D．， 6．据统计，温州某地2024年底的生态公园已建面积为2600亩，预计到2026年底达到6807亩．设年平均变化率为x，请根据以上信息列出关于x的一元二次方程（    ） A． B． C． D． 7．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 二、填空题 8．已知关于x的方程，若方程的一个根是1，则方程的另一个根是________． 9．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 10．已知实数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________． 11．关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是___________． 12．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是一元二次方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______． 13．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为________． 14．如图，某校有一块长、宽的矩形种植园、为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块、则小路的宽度为______． 三、解答题 15．解方程： (1) (2)． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 17．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 18．已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 19．如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 20．根据以下素材，完成任务． 素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势． 素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0．2元，且单件售价不低于24元． 问题解决 问题解决： (1)任务一：求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率； (2)任务二：若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价． 参考答案 1．A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式即可得到结果． 【详解】解：由题意得， ． 2．A 【分析】先利用一元二次方程二次项系数不为0得到a的限制条件，再将根代入方程求出a的可能值，最后筛选出符合条件的结果． 【详解】解：∵原方程是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数满足，即 ∵是原方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 解得或， 结合的限制条件，可得． 3．C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 且 解得 且. 4．C 【分析】根据m是方程的一个根得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 5．B 【分析】根据已知条件得到与的关系，结合一元二次方程两根之和的性质和的条件，即可计算出方程的根． 【详解】∵， ∴， 对于一元二次方程，两根之和满足， ∵， ， 解得， ∴， 即方程的解为，． 6．D 【分析】根据“2024年底的生态公园已建面积为2600亩，预计到2026年底达到6807亩”，列方程即可． 【详解】根据题意可得． 7．C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 8． 2 【分析】设方程的另一个根为t，先将已知根代入原方程求出参数m的值，再根据根与系数的关系计算t的值即可． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 将代入方程得：， 解得， 根据根与系数的关系得， 解得，即方程的另一个根为2． 9． 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 10． 【详解】解：原方程整理得， ∴由一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 11．或 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是， ∴关于的方程的解是或， ∴或． 故答案为：或． 12． 【分析】设两条直角边长为一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理即可求出斜边长． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴ ， ， 又∵该三角形为直角三角形， ∴， ∴ ， ∵ ， ． 13． 【分析】根据面积相等，得到正方形的边长为2，根据图形推出，，结合三线合一，得出，设，，利用三角形面积公式列方程，即可求解． 【详解】解：如图，标记各点， 面积为4的等腰三角形纸片剪成四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， 正方形的面积为4， 正方形的边长为2， 由图形可知，，，， ，， 等腰三角形， ， 设，， ， ， 解得：或（舍）， ， 即该等腰三角形的底边长为． 14． 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是关键；设小路的宽度为，则可表示出一个小长方形的长与宽，根据其面积为建立方程即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为，则一个小长方形的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，， ∴， 故答案为：． 15．(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式列不等式求解即可； （2）由根与系数的关系可得：，，代入求解，最后结合作答即可． 【详解】（1）解：在方程中，，，， 方程有两个不相等的实数根， ， 展开得：， 合并同类项得：， 解得：； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ， ， ， ， 解得，， 又， ． 17．(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先计算判别式的值得到，根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，方程有两个相等的实数根，解得，然后解方程得到；当或时，方程有一个根，可解得k的值，则代入方程可解答． 【详解】（1）证明： ∵无论k取何值， ∴ ∴无论k取何值，此方程总有实数根； （2）解： 由（1）得， ①当时，即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴把代入， 得， 整理得 ∴ ∴ ∵， ∴不能构成三角形，舍去 ②当或时，即方程有一个根， ∴ 解得：， 方程化为， 解得， 即三边为4，4，2，能构成三角形， 则周长， ∴这个等腰三角形的周长是10． 18．(1)不是，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． （2）证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． （3）解：由题意及一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 当时，，可得，， ∴， 此时，舍去． 当时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 19．(1)矩形菜地的长和宽都为10米． (2)不能围成面积是120平米的菜地 【分析】（1）设，可得，再利用面积公式列函数关系式，当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程求解即可； （2）当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程判断是否有根即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 当时，即， 整理得：， 解得：，， ∵墙长15米， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． （2）解：当时，即， 整理得：， ， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． 20．(1)月平均增长率为 (2)该顾客此次购买徽章枚，对应单件销售价为元 【分析】（1）设月平均增长率为，利用初始销量和增长两个月后的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根得到结果； （2）先确定购买数量的范围，判断获利元时购买数量一定超过枚，再结合单件售价的限制，根据总利润公式列一元二次方程求解，舍去不符合限制条件的解得到最终结果． 【详解】（1）解：设该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得 ， 解得 ，（增长率为负不符合题意，舍去）， 答：该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为； （2）解：设该顾客此次购买徽章枚. 根据单件售价不低于元可得， 解得， 当时，获利（元）， ∵， ∴， 根据题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，单价为（元）， 答：该顾客此次购买徽章枚，对应单件销售价为元． 学科网（北京）股份有限公司 $