第二十五章 一元二次方程全章综合检测卷（暑假预习单元自测）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 全章综合检测卷聚焦一元二次方程，通过基础巩固、综合应用与拓展探究三层设计，实现从概念理解到问题解决的进阶，适配暑假分层复习需求，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念（定义、系数）、基本解法（配方法）|如选择1-3题直接考查方程定义与配方步骤，夯实运算能力| |提升层|根的判别式、韦达定理、简单应用|如填空15题结合韦达定理求代数式最值，解答19题解决增长率问题，发展推理意识| |拓展层|新定义、动态几何、综合证明|如解答24题动态矩形面积问题，23题根对四边形探究，培养创新意识与应用能力|

第二十五章 一元二次方程全章综合检测卷 【人教版新教材】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 3．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 6．已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 7．对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 8．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 9．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 10．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（    ）. A． B． C． D． 12．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 二、填空题 13．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为__________． 14．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 15．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 16．如图，要利用一面墙（墙长25m）建羊圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长 ． 三、解答题 17．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 18．定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 19．碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 21．综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． (1)【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 22．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 23．【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 24．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程全章综合检测卷 【人教版新教材】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 3．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤将方程整理为的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ， 对比，可得，， 故选：D． 4．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽与长的关系表示出长，再利用矩形面积公式列出方程． 【详解】解：∵设这块田地的宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积等于长乘宽，该矩形面积为平方步， ∴可列方程为． 5．下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，若判别式，则方程没有实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A选项、， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项、， ， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C选项、， ，方程没有实数根，符合题意； D选项、， ，方程有两个相等的实数根，不符合题意． 6．已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】由一次函数图象可得，， 再结合根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，， 根据图象可得，， ， ， ，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 7．对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 【答案】D 【分析】A．将代入方程判断即可； B．将变为，将代入方程可得，即方程有一根为； C．根据解为和可将原方程化为，展开后可知，，代入求解即可； D．根据不等式的性质得到，则，判断判别式的正负即可． 【详解】解：对选项A：∵是方程的根，代入方程得，整理得，∴或，并非一定满足，故A错误． 对选项B：∵，移项得，将代入方程得，∴方程有一根为，不是，故B错误． 对选项C：∵原方程的解为和，则原方程可写为，展开得，即，，代入新方程得：，，整理得，解得或，与选项结论不符，故C错误． 对选项D：∵，，∴，可得，又∵，∴，方程判别式，∴方程一定有实数根，故D正确． 8．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 9．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 10．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．熟悉一元二次方程根与判别式的关系，确定系数的取值范围，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，时方程有实数根，求解的范围后取最大整数． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴，即， ∵， ∴的最大整数值为； 故选：C． 12．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 二、填空题 13．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 14．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 15．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 16．如图，要利用一面墙（墙长25m）建羊圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长 ． 【答案】20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为，则的长度为．然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设的长度为，则的长度为． 根据题意，得， 解得， 则或． ， 舍去， ． 所以，羊圈的边长为是． 故答案为：20． 三、解答题 17．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】根据因式分解法解方程即可； 根据公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，． 18．定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)证明：∵ 一元二次方程为“关联方程” ， ∴，即， 把代入方程左边，得左边， ∴ 左边右边， ∴为“关联方程”的根； (2)或 【分析】由定义得，再把代入方程左边可得左边右边，即可求证； 由定义得，由是该“关联方程”的一个根得，进而得到，再解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是关于的“关联方程”， ∴， ∴， ∵是该方程的一个根， ∴， 整理得， 把代入，得， 因式分解，得， 解得或． 19．碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 【答案】 这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率是 【分析】设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为，根据该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，列出方程解答即可． 【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为， 依题意得：， 解得，（舍去）． 答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 21．综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． (1)【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 【答案】(1)1 (2)30米 【分析】（1）设每条小路的宽度是米，根据除小路后菜地面积为2262平方米列方程，解方程即得答案； （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，根据花圃的面积刚好为1800平方米列方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：设每条小路的宽度是米， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴每条小路的宽度是1米； （2）解：设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米， ∵水池长70米， ∴，解得， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：的长为30米． 22．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为2 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系与完全平方公式的变形求解； （2）利用二次根式的被开方数的非负性得到，根据两个一元二次方程的二次项系数，一次项系数以及常数项都相等判断出是一元二次方程的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系求解； （3）根据材料3构造一元二次方程，再根据判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 23．【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【答案】(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． 24．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 试卷第16页，共18页 试卷第15页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $