第25章一元二次方程 暑假自主学习基础达标测试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册《第25章一元二次方程》暑假自主学习基础达标测试，通过基础巩固与情境应用结合，覆盖全章核心知识，培养运算能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|一般形式、解法、判别式|基础概念辨析，如第8题以新能源充电桩增长考增长率| |填空题|8/24|定义、配方、根与系数关系|第16题矩形小道问题体现几何直观| |解答题|9/72|解方程、几何动点、经济利润、新定义|层次分明，第21题“倍根方程”培养创新意识，第25题芯片生产问题凸显模型意识与时代性|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《第25章一元二次方程》 暑假自主学习基础达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 2．一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 3．设，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 4．下列一元二次方程，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有一个实数根为1，则（　　） A． B． C．或 D． 6．已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根， 则这个三角形的周长为（       ） A．20 B．18 C．15 D．18或20 7．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2024年底，绵阳全市约有4万个充电桩，根据规划到2026年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2024年底到2026年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 10．将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 11．若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________． 12．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____． 13．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 14．若一元二次方程的两个根为，，则____________ 15．已知长方形相邻两边的长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的周长是___________． 16．如图所示，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，设小道的宽为，则可列方程为___________． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）若一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根为相邻的偶数，则称此方程为“对偶方程”．例如：方程的两个根为，，则方程是“对偶方程”．如果关于的一元二次方程是“对偶方程”，求的值． 19．（8分）关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求的值． 20．（8分）阅读材料，解答问题： 已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：与的和，与的积．根据上述材料，解决以下问题： (1)材料理解：___________，___________． (2)类比应用：已知实数满足：且，求的值． 21．（8分）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 22．（8分）如图，中，，，．点P从点A开始，沿边向点B以每秒的速度移动，点Q从点B开始，沿着边向点C以每秒的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问： (1)经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为． (2)经过几秒钟后，四边形的面积是？ 23．（8分）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空用含的代数式表示： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是________； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为________； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为________； (2)请继续完成本题的解答． 24．（8分）4月日是“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． (1)若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出________个模型； (2)在每个模型的利润不少于元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为元，每个模型的售价应降低多少元？ (3)该模型平均每天的销售利润能达到元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 25．（10分）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 芯片是现代电子设备的核心组件，人工智能、电动汽车、5G网络等新技术进一步推动芯片技术革新，某芯片加工公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个芯片，第三季度生产了288万个芯片． 素材2 经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 任务1 已知每季度内存芯片生产量的平均增长率相等，求第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率． 任务2 要保证该公司每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 参考答案 1．解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 2．解：， ， 则， 或， 解得，， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了分式化简，解分式方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，进行等量代换．将原方程中的换成，再去分母化简即可． 【详解】解：根据题意，得， 两边同乘，消去分母：， 移项整理得：． 故选：C． 4．B 【分析】根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A．， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B ．， ， 方程没有实数根，符合题意； C ．， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D．， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解的定义和解一元二次方程，熟练掌握方程的根就是能使方程左右两边相等的未知数的值，二次项系数不等于0，是解题的关键． 先把代入方程得到，根据，即可求出k的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为1， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．运用因式分解法求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得，， 由题意知，第三边的长度需满足：第三边长度，即6＜第三边长度， ∴第三边的长度为8， 则这个三角形的周长为， 综上所述，只有A选项正确，符合题意， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 8．C 【分析】设从2024年底到2026年底，全市充电桩数量的年平均增长率为，根据2024年和2026年全市充电桩的数量建立方程求解即可． 【详解】解：设从2024年底到2026年底，全市充电桩数量的年平均增长率为， 由题意得， ， 整理得. 解得，（增长率不能为负，舍去）. ∴年平均增长率为． 9．5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 10．9 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再求p和q的值，代入求和解答即可． 【详解】解：， 所以，， 则， 故答案为：9． 11．2025 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解另一根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数． 根据根与系数的关系可得： ， 已知，代入得： 解得：． 12．且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，． 整理得，解得． 综上可得的取值范围是且． 13． 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为0，整理得到的值，再化简所求代数式，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，， ． 14．10 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， 根据根与系数的关系可得： ，， ∴． 15．10 【分析】先求解一元二次方程得到两个根，即为长方形相邻两边的长度，再根据长方形周长公式计算即可得到结果． 【详解】解： 因式分解得 解得 即长方形相邻两边的长分别为和 长方形周长为 16． 【分析】设小道的宽度应为，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽度应为， 由题意得：， 故答案为：. 17．(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键． （）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 18．0 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ， ．也考查了阅读理解能力．根据题意设两根为，则由根与系数的关系得到，消去得到关于得一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：根据题意设两根为， 则， 消去得：， 化简得：， ∴ 解得：， ∴． 19．(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将展开，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：， ， 对于方程， 可得， ∴， 解得：． 20．(1)1； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意和熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可； （2）根据题意可得实数是方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得，再根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个不相等的实数根， ∴，； （2）解：∵实数满足：且， ∴实数是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 21．(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”的意义，理解“倍根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． （1）设方程的两个根为，，由倍根方程的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （2）根据倍根方程的定义即可找出，之间的关系； （3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵方程的一个根为2， 则另一个根为1或4， 当另一个根为1时，则， ∴，即：， 当另一个根为4时，则， ∴，即：； （3）解：设与是方程的解， ，， 消去得：． 22．(1)2秒或秒 (2)3秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理， 对于（1），设经过x秒钟后，P、Q两点间的距离为，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； 对于（2），设经过t秒钟后，四边形的面积是，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设经过x秒钟后，P、Q两点间的距离为， 由题意，得，则， 由勾股定理得： ， 解得：或， 答：经过2秒钟或秒钟后，P、Q两点间的距离为； （2）设经过t秒钟后，四边形的面积是， 由题意，得，则， 由题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴， 答：经过3秒钟后，四边形的面积是. 23．(1)①；②；③ (2)每个支干长出个小分支 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程解应用题，读懂题意，准确表示相关量的代数式，并由等量关系建立方程求解是解决问题的关键． （1）设主干长出了个支干，根据题意，即可得到主干和支干的总数；小分支的个数；主干、支干和小分支的总数；直接列代数式即可得到答案； （2）由（1）中所得代数式，由题中主干、支干和小分支的总数是111，由等量关系建立方程，由因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设主干长出了个支干， 在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是， 故答案为：； ②设主干长出了个支干， 当每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为， 故答案为：； ③由①②可知，在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为， 故答案为：； （2）解：设主干长出了个支干， 由（1）可得， 即， ， 解得或（负值，舍去）， 答：每个支干长出个小分支． 24．(1) (2)降低元 (3)不能达到元，理由见解析 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据“每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个”求解； （2）设每个模型的售价应降低x元，根据题意列出一元二次方程求解； （3）假设该模型平均每天的销售利润能达到元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售利润为元，平均每天可售出个模型，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：∵每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个， ∴每个模型的售价降低4元，平均每天可售出个， 故答案为：； （2）设每个模型的售价应降低x元， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每个模型的售价应降低元； （3）该模型平均每天的销售利润不能达到元，理由如下： 假设该模型平均每天的销售利润能达到元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售利润为元，平均每天可售出个模型， 根据题意得： 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该模型平均每天的销售利润不能达到元． 25．任务1：20%；任务2：4条． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． （1）根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； （2）根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【详解】解：任务1：设第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率为20%； 任务2：设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度． 根据题意得：， 解得：（舍） 答：应该再增加4条生产线． 学科网（北京）股份有限公司 $