25.2降次—解一元二次方程 暑假自主学习同步练习题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学暑假同步练，聚焦“解一元二次方程”，通过基础巩固、方法应用、综合创新三层设计，培养运算能力、推理意识与模型意识，适配自主学习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根的判别式、基本解法|单选1-4直接考查概念，填空8-10强化运算，夯实基础| |中档|换元法、根与系数关系|单选5-6结合方法应用，解答15-17训练方程求解，培养推理能力| |提升|综合应用与创新|解答18-20结合实际情境（如等腰三角形边长），融入新定义，发展模型意识与创新意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.2降次—解一元二次方程》 暑假自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么下列各数中，m可以取的值是（    ） A． B． C． D．0 3．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 8．小华在解方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是____． 9．已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 10．已知一元二次方程的两个根为，，则________． 11．若方程的解为，，则方程的解为 __． 12．关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是________． x … 0 1 3 5 … … 0 0 16 40 … 13．已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 14．对于一元二次方程，下列说法正确的是_______． ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程的一个根，则一定是的一个根； ④若是一元二次方程的根，则． 三、解答题 15．解方程 (1) (2) 16．已知一元二次方程有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 17．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 18．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若两直角边，的长是这个方程的两个实数根，斜边的长为5，求的值． 20．已知m为实数，关于x的两个方程分别为和． (1)求证：方程一定有两个不相等的实数根； (2)当方程有实数根时，求m的取值范围； (3)当方程和有公共的实数根时，求m的值． 参考答案 1．解：对于一元二次方程，若方程有两个相等的实数根，则需满足， A项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个相等的实数根，符合题意； B项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 2．D 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式，计算得到的取值范围后，即可结合选项选出正确答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 只有，符合要求， 因此可以取的值是． 3．B 【分析】先将已知根代入方程求出的值，再解一元二次方程得到另一个根． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 解得， ∴原方程为 ， 解得， ∴方程的另一个根为． 4．D 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，配方后即可得到正确结果. 【详解】解：， 移项得， 方程两边加得， 整理得. 5．D 【分析】本题使用换元法，将换元后的式子代入原分式方程，去分母化简即可得到关于的整式方程． 【详解】解：， ， 将其代入原分式方程可得， 方程两边同乘（），得， 整理得：． 6．A 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分别求得和的值即可． 【详解】解：因为是一元二次方程的根，可得 ． 变形，得 ． 由一元二次方程根与系数的关系，得 ． 所以． 7．B 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【详解】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 8．0 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，即可得到被漏掉的根. 【详解】解： 解得：或 因此被小华漏掉的一个根是. 9． 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 10． 【分析】用韦达定理，得出和的值，再将式子变形为，再代入韦达定理得到的数值进行计算． 【详解】∵，其中， ∴ ，， ∴ ． 11．， 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解是解题的关键．把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 关于的方程的解是，， 方程化为或， 解得，． 故答案为：，． 12． 【分析】根据表格得到方程 的解，利用换元法将所求方程中的看作整体，令，将所求方程变形为，求出t的值即可得到答案． 【详解】解：由表格中的数据可知，当或时，代数式的值为0， ∴方程的解为或， 在中，令，则方程可变形为方程， ∴方程的解为或， ∴或， 解得． 13．或 【分析】应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案． 【详解】解：∵关于x的方程， ∴，，， ∴，， ∵是等腰三角形，、的长是关于x的方程的两根， ∴①当为底时，则、均为等腰三角形的腰，有且， ∴，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则； ②当为腰时，则、中一个为腰一个为底，有，即，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则． ∴综上所述，的值为或． 14．①③④ 【分析】对每个说法，结合一元二次方程的根的定义、判别式、方程变形等知识逐一分析判断． 【详解】解：①当时，代入方程得，说明方程有一个根为，因此判别式， 故①正确； ②方程是一元一次方程（），只有一个实数根，不可能有两个根， 故②错误； ③把代入，得， 两边同时除以，得，即， ∴一定是的一个根， 故③正确； ④∵是方程的根， ∴，即， ∴， 故④正确； 故答案为：①③④． 15．(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 16． ；方程的另一根为 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程二次项系数不为0，舍去不符合条件的值，再将符合条件的代入原方程，求解得到方程的另一根． 【详解】解：一元二次方程有一个根为， 将代入方程得， 因式分解得， 解得， 原方程是一元二次方程，二次项系数不为， ，即， ， 将代入原方程得 ， 整理得， 提取公因式得， 解得， 方程的另一根为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式并求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，代入得到关于的一元二次方程，求解并结合进行取舍即可． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 由（1）可知，， ∴． 18．(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 19．(1)见解析 (2)的值为3 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【详解】（1）证明： ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：的两边，的长是这个方程的两个实数根， ，． 由勾股定理，得， 即， ， 整理得：， 解得，． 时，，不符合题意，故的值为3． 20．(1)证明：对于方程的判别式为， ∴方程一定有两个不相等的实数根； (2) (3)m的值为1或5 【分析】（1）证明即可； （2）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （3）设两个方程的公共根为t，则①，②，两方程相减可求出或，然后把代入方程①求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：方程的判别式为， ∵方程一定有实数根， ∴， ∴； （3）解：设两个方程的公共根为t，则①，②， ①－②得，即或， 当时，即，解得， 当，时，均在的范围，即两个方程均有实数根， 综上，m的值为1或5． 学科网（北京）股份有限公司 $