25.2.1配方法暑假自主学习同步练习题2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学九年级上册《25.2.1配方法》暑假自主学习同步练，通过三阶分层设计，实现从基础配方步骤到综合应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|配方基本步骤、简单方程转化|选择填空考查配方常数项确定，如第1题加16配方，夯实符号意识| |技能应用|解方程规范、根的性质分析|解答题分步训练配方过程，如第17题四小题覆盖不同系数方程，提升运算能力| |创新拓展|新定义问题、代数式最值|“伙伴方程”“方程”等新情境题（第7、18题），结合推理意识与创新意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.2.1配方法》暑假自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．用配方法解方程时，需要两边同时加上（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 2．一元二次方程配方为，则k的值是（    ） A．7 B．1 C．5 D． 3．在用配方法解一元二次方程的过程中配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 5．下列解方程正确的是（   ） A．  解： B． 解： C．  解： D．  解： 6．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成（   ） A． B． C． D． 7．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 二、填空题 8．配方________． 9．如果一元二次方程经配方后，得，那么k的值为______． 10．若，则________ ． 11．若关于x的一元二次方程的常数项等于0，则a的值为______． 12．将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是______． 13．用配方法解一元二次方程，得到，从而解得方程的一个根为1，则____________． 14．“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 三、解答题 15．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 16．某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 17．用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 18．定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 19．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 20．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)用配方法求的最小值； (2)已知，，请比较A与B的大小； (3)已知，求代数式的最大值． 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，由于二次项系数为1，那么只需要把方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方，据此求解即可． 【详解】解： ， ∴方程两边同时加上， 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故选：B． 3．B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据完全平方公式配方的过程即可得到答案． 【详解】 解： 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 先解一元二次方程，然后根据两个根均为正整数列不等式组求解即可． 【详解】解：， ， ，， 关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ， 解得， ∴，且a为正整数 观察四个选项，可以为， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查直接开平方法解方程，逐一分析各选项解方程的过程是否正确，即可得出答案． 【详解】解：，没有实数解，故A选项解方程错误； 解：，，故B选项解方程错误；   解：，故C选项解方程正确；   解：，故D选项解方程错误； 故选：C． 6．B 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程．根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】方程， 移项，得， 配方，得， 即， 根据题意，得，， ，， 代入，得， 配方，得． 故选：B． 7．D 【分析】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，， 解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 8．， 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．把方程两边都加上，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：，． 9．3 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．将方程移项得到，两边同时加上4整理得到，从而得到，求出k的值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：3． 10． 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，熟练掌握利用完全平方公式配方是解题的关键．先通过等式的变形对等式左边进行变形及配方，再利用非负数的性质求解即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得：， 变形为：， 得：， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， 则， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义可得，再根据题意得到，即可求出的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程的常数项等于0， 且， 且， ． 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．3 【详解】由，得，即．∵方程的一个根为1，且，，∴原方程为．整理，得 ， ． 14．1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，正确理解“互为好友方程”的定义是解题关键． 先解出，然后分为和两种情况，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当好友根为时，则， 即； 当好友根为时，则， 即； 故答案为：或3． 15．(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 16．(1)第③步，方程两边未同时加上 (2)见解析 【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可； （2）利用配方法得出，解方程即可． 【详解】（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上． （2）解： 或 17．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】将原方程整理，且将常数项移到方程右边，接下来方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后开方解答即可． 【详解】（1）解：， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （2）解：， 两边都加上36，得， 即， 开方，得， ∴； （3）解：整理，得， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （4）解：整理，得， 两边都加上4，得， 即， 开方，得， ∴． 18．(1)是 (2) ； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，配方法的应用； （1）根据“方程”的定义进行判断； （2）①根据“方程”的定义把代入方程可得、的关系式； ②把代入后进行配方得到，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）仿照题意可得，可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可推出，得到的最小值为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，代数式的值恒为正数； （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵代数式的最小值为， ∴， ∴． 20．(1)的最小值为 (2) (3)当时，有最大值17 【分析】本题考查了配方法的应用，正确进行配方是解此题的关键． （1）利用配方法将所求式子配方得出，再结合，即可得解； （2）计算出，再利用配方法将所求式子配方，最后结合非负数的性质判断即可得解； （3）由得出，代入所求式子，再利用配方法将所求式子配方，最后结合非负数的性质判断即可得解． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $