25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 暑假自主学习同步练习题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 九年级数学上册《25.2.4一元二次方程的根与系数的关系》暑假同步练，以"基础巩固-综合应用-拓展创新"分层设计，通过梯度题型培养运算能力与推理意识，适配自主学习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直接应用两根和与积公式|单选题1-2、填空题8-10，考查概念理解与基本运算| |中档|公式变形及条件应用|单选题3-6、填空题11-13，涉及根的性质与参数计算，培养推理意识| |提升|跨情境综合应用|单选题7（等腰三角形）、解答题16（直角三角形）、20（材料阅读），结合几何与实际问题，发展模型意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.2.4一元二次方程的根与系数的关系》 暑假自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的两个根分别是3，，则p，q的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 4．若关于的方程有两个根，，则的值为（   ） A． B．1 C．2024 D． 5．已知，是方程的两个根，下列正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．1 B． C．2 D． 7．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（     ） A．12 B．12或16 C．16 D．14 二、填空题 8．若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则______． 9．已知是关于的方程的一个根，那么方程的另一个根是___________． 10．若的两根分别为、，则______． 11．一元二次方程与的所有实数根的和等于_______． 12．设，是方程的两个根，则________． 13．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 14．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程___________． 三、解答题 15．若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) (3) (4) 16．若一直角三角形的斜边长为5，且两直角边长是关于x的方程的两个实数根，求n的值． 17．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若一元二次方程满足，求k的值． 18．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 19．已知在等腰三角形中，三边长分别为a、b、c，其中，b、c恰好是方程的两个实数根． (1)求证：方程总有两个实数根 (2)求△ABC的周长 20．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 参考答案 1．解：∵方程中，，，， ∴，； ∴结论正确的是， 故选：D． 2．解：∵方程 的两根分别为3和， ∴两根之和：，即， ∴； 两根之积：， 即． 故选：B． 3．解：∵方程化为标准形式：， ∴两根之和， 又∵，即， ∴， ∴． 故选：C． 4．解：关于的方程有两个根，， ，， 解得，， ． 故选：A． 5．解： ， 方程可化为． A. ，若，则，故选项错误，不符合题意； B. ， ，则，故选项错误，不符合题意； C. ，， ，则，故选项正确，符合题意； D. ，， ，，可得，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 6．B解：，是方程的两个实数根， ，，且由根与系数的关系可得， 对降次：， 对变形得：， 将上述结果代入原式：， 把代入得：， 所以的值为． 7．解：①当6为底边时，则， ∵， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为4, 4, 6，满足，故成立； ②当6为腰时，设， 则，即， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为6, 2, 6，满足，故成立； 综上，m的值为12或16， 故选：B 8．解：关于的一元二次方程的两个根分别为，， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：， ， ， ． 9．解：设另一个根为， 由根与系数的关系，即， 解得． 故答案为：． 10．解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．解：对于方程，，方程有两个不相等的实数根，两根之和为， 对于方程，，方程有两个不相等的实数根，两根之和为， 因此，所有实数根的和为． 故答案为：3． 12．解：∵是方程的根， ∴， 因此． 同理，也是方程的根， ∴． 因此． 于是，． 故答案为：． 13．解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵ ， ， ∴， ， 解得． 当时，， 满足实数根条件， 故答案为：． 14．解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 15．（1）解：∵ 、是一元二次方程的两个根， ，，。 ∴根据根与系数的关系得，， （2）解：根据根与系数的关系得，； （3）解：； （4）解：， ∴． 16．解：设两直角边长分别为，， ∵两直角边长是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵直角三角形的斜边长为5， ∴根据勾股定理，得， ∴， 即， ∴． 17．（1）证明：当时，即，此时方程化为， 解得； 当时，即， ， 方程有两个实数根， 综上可知：无论取何值，此方程总有实数根； （2）解：， ，， ， ， 当，解得， 经检验为原方程的解， 当，解得， 经检验为原方程的解， 综上所述，的值为或． 18．（1）解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ， ； （2）解：方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， ， 或3， 又， ． 19．（1）证明：， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：当为腰长时，将代入原方程，得： ， 解得：， 当时，原方程为：， 解得：， ∴此时的周长为， 当为底长时，， 解得：， ∴， ∵， 此时，边长为的三条线段不能组成三角形， ∴的周长为． 20．（1）解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， （2）解：由题意得，实数满足，，且 因此是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 （3）解：将方程变形可得， 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得 由，得， ∴ ， 综上，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $