25.1一元二次方程的概念 假期自主学习同步练习题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册《25.1一元二次方程的概念》暑假同步练，通过基础认知、能力提升、综合拓展三层设计，实现从概念理解到创新应用的知识巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|一元二次方程定义、一般形式及系数|单选题1-3直接考查概念辨析，填空题8规范参数条件，夯实抽象能力| |能力提升|根的概念及应用、根的估算|单选题4-6结合代数式求值，填空题11-13通过根与系数关系培养推理意识| |综合拓展|新定义与实际应用|解答题19“凤凰方程”、20变形探究，融入菱形面积情境，发展创新意识与应用能力|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.1一元二次方程的概念》 假期自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．6，5， B．6，4， C．6，，4 D．6，，5 3．将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 4．若m是方程的一个根，则的值是（    ） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 5．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 6．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 7．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 二、填空题 8．若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 9．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 10．将一元二次方程化为的形式，则___________． 11．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 12．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 13．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 14．新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 三、解答题 15．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 16．已知m是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 17．先化简，再求值：，其中是方程的根． 18．已知关于x的一元二次方程的一个根为a．若a，4分别是菱形的两条对角线的长，且该菱形的面积为10，求m的值． 19．如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 20．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 参考答案 1．A 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，是一元一次方程，不符合题意； C、，不是方程，不符合题意； D、 ，不是一元二次方程，不符合题意． 2．B 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可确定对应系数． 【详解】解：∵原方程为 移项整理得一般形式： ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．B 【分析】本题将原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 先去括号，可得 ， 将所有项移到等号左侧，移项变号得 ， 合并同类项得 ． 4．C 【分析】根据m是方程的一个根得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2027，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解： 方程变形为， ∵是关于的方程的一个根， ∴是关于的方程的一个根， 此时， 即关于的方程必有一个根为2025． 故选：C 6．A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 7．C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 8． 【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列出等式与不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解 ，得， 即， 又都满足， 故． 9． 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 10． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ， ， ∴． 故答案为： 11．3 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握方程的根满足原方程是解题的关键，先利用根的定义对所求代数式中的部分式子进行变形，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴由方程根的定义可得， ，即 ， 同理可得，， 将代入方程左边，得 ，因此， 将两边同时除以，得 ，整理得 ， 因此 ， 故答案为． 12．36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 13．1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 14．7 【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键． 根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程应能表示为的形式，通过比较系数，可求解和，进而计算． 【详解】解：根据题意，将第二个方程与展开式比较：，令其等于， 可得方程组：，解得， 故． 故答案为：7． 15．(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 16． 【分析】由m是方程的一个根可得，，，然后逐步代入求解即可． 【详解】解：m是方程的一个根， ∴． ∴，， ∵时，方程左边等于1，不等于右边， ∴， 把的两边都除以得，． ∴． 17．，． 【分析】本题考查了分式化简求值，方程的解，先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于是方程的根，那么，可得整体代入化简后的式子，计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 18．7 【分析】本题考查菱形的性质，一元二次方程的解，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出的值，把的值代入方程，求出m的值即可． 【详解】解：，4分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为10， ，解得， 关于的一元二次方程的一个根为， ，解得：． 19．(1) 解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； (2) 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）将展开后合并同类项即可得解； （2）将展开后合并同类项即可得解； （3）将展开后合并同类项可求得，， 然后利用完全平方公式建立方程，可解得的值，同理可得，的值，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 是由变形得到的， ， ， 故的值为； （2）解：，，，， 猜想，证明如下： ， ， ， 是由变形得到的， ， 故m与n满足的等量关系为； （3）解：， ， ， 是由变形得到的， ，， ， ， 同理可得，，， ， ， ． 故的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $