25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 假期自主学习同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础判断、概念辨析到综合应用的三层设计，构建从单一知识到跨领域融合的巩固路径，适配暑假自主学习，培养推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|根与系数关系直接应用|单选题考查结论判断（如第1题根的基本关系）| |概念应用|参数计算与条件限制|填空题结合判别式（如第9题含m的根关系）| |综合拓展|跨知识综合与实际应用|解答题融合几何（如第13题菱形面积）和方程综合（如第17题等腰三角形边长）|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.2.4一元二次方程的根与系数的关系》 假期自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 4．已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（     ） A．0 B． C．10 D．0 或10 5．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 6．实数、满足，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．关于的一元二次方程（，，为常数，且，），下列说法： ①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根； ②若方程的一个根为，则必为方程的一个根； ③若方程的两根之积为1，则．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 8．一元二次方程的两根为，，则 _______________， _______________． 9．若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则m的值为__________． 10．已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 11．已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 12．设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 13．已知菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的面积为_____． 14．若一个等腰三角形三边的长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 三、解答题 15．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 16．已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； (3)若满足，求m的值． 17．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)已知等腰三角形的一边为，若另两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根， (2)若的一条边的长为，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 19．一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 20．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 参考答案 1．解∶∵方程中，， ∴． 2．解：A、，∵，，∴，不符合要求； B、，∵，，∴，且，满足所有条件，符合要求； C、，∵，，满足，但，方程没有实数根，不符合要求； D、，∵，，∴，不符合要求． 3．解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 4．解：∵ 一元二次方程两根之积为， 由题意得， 整理得， 解得， ∵ 方程有两个实数根， ∴， 当时，，此时方程无实数根，舍去， 当时，，符合题意， ∴的值为． 5．解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ 由一元二次方程根的定义得：， ， 整理得： ， ， 由根与系数的关系得： ， ∴． 6．A 【分析】根据题意、可看作方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根和系数的关系，得到，再将代入求解即可． 【详解】解：，， 、可看作方程的两个不相等的实数根， ， ， ． 7．D 【分析】①根据一元二次方程 有两个不相等实数根，得出，即可得，故方程 也有两个不相等的实数根，①正确．②根据是 的根，得出，化简得 ，则 满足，即 是该方程的根，②正确．③根据韦达定理，一元二次方程 的两根之积为 ，则 ，即，故 ③正确． 【详解】解：①∵一元二次方程 有两个不相等的实数根， 则， ∵ 是一元二次方程， ∴， ∴方程 也有两个不相等的实数根，①正确． ②∵是 的根， ∴， 两边同除以 （），整理得： ，即 ， ∴ 满足， ∴ 是该方程的根，②正确． ③根据韦达定理，一元二次方程 的两根之积为 ，若两根之积为 ，则： ，即，故 ③正确． 综上，三个说法都正确，因此正确的个数是 ． 8． 【分析】先确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解： ，可得 ，，， 因此 ，． 9． 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和关于的表达式，再结合已知条件列方程求解，最后验证方程有两个实数根即可． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，根据根与系数的关系可得 已知， 因此 移项得 系数化为得 当时，原方程的判别式，满足方程有两个实数根的条件． 10． 【分析】原方程有两个实数根，故为一元二次方程，二次项系数不为，由两根互为相反数得两根之和为，利用根与系数的关系求出，再验证判别式大于，即可得到的值． 【详解】解：原方程有两个互为相反数的实数根， 原方程为一元二次方程，即； 设方程的两根为，由两根互为相反数得， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得 ， ． ， ，解得 由， 将代入得，满足方程有两个实数根的条件，符合题意． 11．且 【分析】本题先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为零，再利用根与系数的关系结合已知条件得到参数和的关系，最后根据方程有两个实根，判别式大于等于零求解的取值范围． 【详解】解： 方程 是一元二次方程，． 方程有两个实根 ， 判别式 ． 根据根与系数的关系得：，． ， ， 代入得：， 解得 ， 将 代入 得：， 即 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 且 ． 12．2026 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ，即， 对所求代数式变形：， 是一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得， 代入得原式． 13． 【分析】先利用根与系数的关系得到两条对角线的乘积，再代入面积公式计算即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线的长分别为， 是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系可得， 菱形的面积． 14．或 【分析】分类讨论，的取值情况，根据方程根情况确定的取值，然后计算三角形周长． 【详解】解：当腰长为时，此时或， 把代入，得，解得， 方程为，解得，， 此时等腰三角形的周长为． 当底边长为4时，此时，∴方程有相等的实数根， ∴，解得， 当时，方程为，解得， 此时，等腰三角形的周长为． 当时，方程为，解得（不合题意，舍去）， 综上所述，等腰三角形的周长为或． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系进行求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 【点睛】重点掌握根的判别式和根与系数的关系． 16．(1) 且 (2) ， (3) 【分析】（1）结合根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系解题； （3）根据根与系数的关系解题． 【详解】（1）解：由题意知，且， ∴且； 即且， 解得且； （2）解：方程的一个根为， 则， 解得， ∴原方程为， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， 解得：或， ∵且， ∴． 17．(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及等腰三角形的应用，掌握这些知识是解题关键． （1）化简，根据平方的非负性判断出方程根的情况； （2）分情况讨论当为腰和为底时方程的情况，再分别求出的值，解方程，根据三角形的三边关系确定三边，再求出周长即可． 【详解】（1）解： ， ， ∴， 方程总有两个实数根； （2）解：若为等腰三角形的腰，则、中有个应为， 把代入方程，， ， 方程为，解得，， 此时三角形三边为，，，不能构成三角形； 若为等腰三角形的底，则， ，即， ， 方程为，解得， 此时三角形三边，，，的周长为． 综上所述，的周长为． 18．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，需计算判别式，通过配方判断恒大于0即可； （2）先利用一元二次方程的根与系数关系得到方程两根的和与积，再结合勾股定理将边长关系转化为关于的方程，求解后需验证两根为正数，舍去不符合条件的解． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， ， 无论为何值，， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设，的长分别为，，则，是方程的两个实数根， 根据根与系数关系得：， 是以为斜边的直角三角形，， ， 又，， ， 解得或， ，是三角形的边长， ，， ，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意， 即当时，是以为斜边的直角三角形． 19．(1) (2)选择方程①，，（答案不唯一）； (3) 【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得； （2）根据解一元二次方程的方法解答即可； （3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得． 【详解】（1）解：由题意，得且，解得； （2）选择方程① 由方程；得： ， ， ， ， ， ∴，； 选择方程② ，，， ， ，； 选择方程③ 或 ，； （3），是一元二次方程的两根， 代入得：，，且，， ． 20．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接根据材料给出的一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）由条件可知是方程的两个不相等实根，利用根与系数关系得到和的值，对所求式子因式分解后代入计算即可； （3）将第二个方程变形为，分和两种情况，分别计算所求式子的值即可． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， （2）解：由题意得，实数满足，，且 因此是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 （3）解：将方程变形可得， 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得 由，得， ∴ ， 综上，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $