第二十三章一次函数暑期专项训练2025-2026学年人教版八年级下册数学

**基本信息** 聚焦一次函数概念、图像性质及实际应用，通过阶梯式题型设计构建从定义到综合应用的逻辑链条，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-2、填空11|考查一次函数定义及表达式构建|从解析式形式（y=kx+b,k≠0）切入，强化概念本质| |图像性质|单选3-7、填空12-13|结合象限分布、交点坐标、增减性|通过k,b符号推导图像位置，建立数与形的对应关系| |几何综合|单选8-10、解答22-27|涉及图形翻折、面积平分、动态点问题|以图像为载体，融合几何直观与空间观念| |实际应用|解答31-32|经济、行程等模型，含最优解问题|从实际情境抽象函数关系，发展应用意识与推理能力|

一 、概念与解析式基础 1.1函数的基本概念 1.2正比例函数 1.3一次函数定义 变量与常量：区分变化过程中的不变量与变量 函数定义：对于x的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与其对应 表示方法：解析法、列表法、图象法(重点掌握三者转换) 定义：形如y=kxy=kx(kk 是常数，k≠0 图象特征：经过原点(0,0)(0,0)和点(1,k)(1,k) 的 k>0k>0: 图象经过第一、三象限，y随x增大而 性 质 k<0k<0: 图象经过第二、四象限，y随x增大而 一般形式：y=kx+by=kx+b(k ,bk,b 是常 特殊关系：当b=0b=0 时，一次函数即为正比例函数(正比例函数是一次函数的特 自变量取值范围：通常为全体实数，实际问题中需考虑实际意义 两点法：选取两个合适的点(通常选与坐标轴的交点) 与y轴交点：令x=0x=0, 与x轴交点：令y=0y=0, 得 得 2.1图象画法 平移规律： “上加下减”: y=kx+by=kx+b 向上平移mm 个单位 “左加右减”:针对自变量xx, 向左平移mm 个单位 →y=k(x +m)+b 二、图象与性质(核心难点) 人教版八年级下册《一次函数》教学备课导图 三、待定系数法求解析式 ( k (斜率):决定直线的倾斜方向和程度 )Ik|Ik| 越大，直线 ( 从左 ) ( 2.2 k 与 b 的几何意义 )k>0k>0: 从左向右上升；k<0k<0: ( b ( 截距):决定直线与 y 轴的交点位置(0, b) k>0,b>0k>0,b>0: 经过一、 k>0,b<0k>0,b<0: 经过一、 k<0,b>0 k<0,b>0: 经过一、 k<0,b<0k<0,b<0: 经过二、 )b>0b>0: 交于y轴正 b<0b<0: 交于y轴负 b=0b=0: 经过 2.3图象所在象限判断 易错点：学生常混淆k 和b对象限的具体影响，建议通过画图辅助记忆 3.1基本步骤 3.2常见题型 设：设出函数解析式y=kx+b 代：将已知点的坐标代入解析式，建立关于k 、b的方程组 解：解方程组求出k 、b的值 写：写出函数解析式 已知两点坐标：直接代入求解(最基础) 已知图象经过某点且平行/垂直于另一条直线： 已知图象平移后的结果：利用平移规律或逆向推导 平行：kk 相 垂直：k₁ ·k₂=-1k1 ·k2=-1 (高中拓展，初中 四、一次函数与方程、不等式的关系 五、实际应用与综合考点 4.1与一元一次方程 4.2与一元一次不等式， 4.3与二元一次方程组 方程kx+b=0kx+b=0 的解一一直线y=kx+by=kx+b 教学建议：强调“数”与“形”的对应，方程的根即图象零点 kx+b>0kx+b>0 的解集⇔⇔直线在 x 轴上方部分对应 kx+b<0kx+b<0 的解集⇔⇔直线在 x 轴下方部分对应 解题技巧：先找交点(临界值),再看图象高低 方程组的解⇔⇔两条直线交点的 若两直线平行( k相 等 ，b 不等),则方程组无解 若两直线重合( k b均相等),则方程组有无数解 行程问题：路程=速度×时间(s=vts=vt), 注意分段函数 ( 5.1常见应用模型 5.2面积问题 5.3易错点与备考提示 )费用问题：总费用=固定费用+变动费用(y=ax+b 方案选择：比较两个一次函数的大小，寻找最优解(通常涉及不等式或交点分析) 求直线与坐标轴围成的三角形面积：s=1OAI-1OB|=1-1·1b|S=21 注意：计算面积时必须加绝对值，确保结果为正 忽略k≠0k 区=0:在由定义求参数时，务必检验kk 忽视实际意义：应用题中自变量往往有取值范围(如时间不能为负，人数必须为整数) 数形结合能力：遇到复杂问题，强制要求画草图，避免纯代数运算出错 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级下册数学第二十三章《一次函数》暑期专项训练 解析 一、单选题 1．①；②； ③；④； ⑤，其中一次函数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数定义，根据一次函数定义进行分析即可．关键是掌握一次函数形如，、是常数），一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数． 【详解】解：②；④；⑤，是一次函数，共3个． 故选：C． 2．已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L，进而得出余油量与行驶路程之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵汽车油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L， ∴汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，表示出油箱内余油量是解题关键． 3．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】对于一次函数（，、为常数），可根据和的符号判断函数图象经过的象限，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴，， 根据一次函数图象性质，当，时，函数图象经过第二、三、四象限， ∴该一次函数图象不经过第一象限． 4．若点A是函数图象上的一点，且到x轴的距离为3，则点A到y轴的距离是（   ） A．1或2 B．1 C．2 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查点到坐标轴的距离，一次函数的图象；由点A到到x轴的距离为3，可得出点A的纵坐标为3或，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A的坐标，即可得到结论． 【详解】解：∵点A到x轴的距离为3， ∴点A的纵坐标为3或， 把代入 得：， 解得， 把代入得，， 解得， ∴点A的坐标为或， ∴点A到y轴的距离是1或2， 故选：A． 5．若直线经过第二、三、四象限，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象与性质，熟记直线，当，时，图象经过第一、二、三象限；当，时，图象经过第一、三、四象限；当，时，图象经过第一、二、四象限；当，时，图象经过第二、三、四象限．由直线经过第二、三、四象限，可得，，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵直线经过第二、三、四象限， ∴，， ∴， ∴函数经过第一、二、四象限， ∴函数的大致图象是A选项中的图象， 故选：A． 6．一次函数与的图象如图，则下列结论： ①； ②； ③关于x的方程的解是； ④当时，中．则正确的序号有（　　）    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴，所以①正确； ∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴，所以②错误； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴时，，整理得，则关于x的方程的解是，所以③正确； 当时，图像在图像的上方， ∴，所以④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣3，1），B（1，2），若直线y＝kx﹣1与线段AB有交点，则k的值不能是（    ） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【答案】A 【分析】当直线过点时，求出的值，当直线过点时，求出的值，介于二者之间的值即为使直线与线段有交点的的值． 【详解】解：①当直线过点时，将代入解析式得，， ②当直线过点时，将代入解析式得，， 越大，它的图象离轴越近， 当或时，直线与线段有交点． 故选：A． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题，解题的关键是掌握是线段这一条件，不要当成直线． 8．如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设的解析式为，直线的解析为，求出两个解析式，然后分别计算出方案一和方案二的花费，即可得到答案．解题的关键确定一次函数的解析式． 【详解】解：设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设直线的解析为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析为， ∴方案一：一次购买千克水果， 费用为：（元）， 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果， 费用为：（元）， ∵（元）， ∴方案一比方案二节省元． 故选：B． 9．清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量x（）与所需金额y（元）的函数关系如图所示．小丽用120元去购买该种水果，则她购买的数量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键． 设超过部分的函数解析式为，将点代入确定函数解析式，然后代入求解即可． 【详解】解：设超过部分的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴超过部分的函数解析式为， 当时，即， 解得：， ∴小丽购买的数量为， 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点A的坐标为，点B的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为(　　)    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据翻折的对称性，显然直线OC是满足条件的直线l．另外考虑到过平行四边形的中心任作一条直线都可以把这个四边形分为面积相等的两部分，故过两个平行四边形的中心的直线也是满足条件的直线l，仿照这两条思路问题不难得解． 【详解】分两种情况讨论： ①如下图，    因为平行四边形的对边相等， ∴，因点B的横坐标为6， ∴C点的横坐标为． 即：C点的坐标为． 设直线的解析式为：， 则：． 故的解析式为：． 因是对称轴，故直线把六边形的面积分成相等的两部分，即为满足条件的直线l． ②自点B作x轴的垂线，垂足为点E，取的中点I，连接EI，如下图．    ∵ A的坐标为，点B的坐标为 ∴，， 由勾股定理得：． 因， ∴． ∴平行四边形是菱形． 因是直角斜边AB上的中线，所有， ∵， 所以． 则△IAE是等边三角形． ∴． ∴， ∴四边形是含内角的菱形． 由翻折性知，四边形也是菱形，且． ∴平分， 则：， ∴． ∴在y轴上． 连接，交y轴于点，则，即垂直于y轴． 因也垂直于y轴， 所以，点位于同一条直线上， ∴点的坐标为． 设与相交于点M，自M点作垂直于x轴，垂足为点D． 则为的中位线， ∴，， ∴点M的坐标为． 因为点的坐标是、， 设直线的解析式为：， ∴ 求得：． ∴直线的解析式为：． 因点是菱形与菱形的中心， 故直线把六边形的面积分成相等的两部分，即就是满足的条件的直线l． 综合①②两种情况，直线l的解析式为：或， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形、一次函数的解析式、直角三角形中线性质、三角形中位线性质等知识点，解题的关键是根据对称特性作出正确的辅助线． 二、填空题 11．若直线的图像过点，则______． 【答案】-3 【分析】将A点坐标代入直线中即可得到m值． 【详解】将A点坐标代入直线中 得：m==-3 故答案为：-3． 【点睛】本题考查一次函数的解析式．将点坐标代入求出解析式是解决本题的关键． 12．一次函数的图象经过第_________象限． 【答案】一、三、四 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，根据k、b的正负即可确定一次函数经过的象限． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四． 13．如果一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是_________________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点以及解不等式：先把代入，得，结合图象，得，则，那么，即为，系数化1，即可作答． 【详解】解：∵一次函数与轴的交点坐标为 ∴把代入，得， ∴ 结合图象，得 ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 故答案为： 14．一根蜡烛长，点燃后，匀速燃烧后剩余的长度恰为原来长度的一半，设匀速燃烧时间为，蜡烛的长度为．那么关于的函数表达式是________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出蜡烛的燃烧速度，再根据剩余蜡烛长度等于原长度减去燃烧的长度，确定自变量的取值范围，即可得到关于的函数表达式． 【详解】解：由题意得，燃烧的蜡烛长度为， 则蜡烛燃烧的速度为， 燃烧的蜡烛长度为， 因此剩余蜡烛长度， 令，得， 解得， 又， 因此自变量取值范围为， 故关于的函数表达式为． 15．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，，，按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，，，，…的面积分别为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，数字规律探寻，解决本题的关键是根据规律得到与． 根据，，可得，再根据点在直线上，可得，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴，即点， ∵过点作轴的垂线分别与直线交于点， ∴点，，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 三、解答题 16．已知，当m，n 取何值时，y是x的一次函数? 【答案】，n为任何数 【分析】本题考查了一次函数定义，根据一次函数的定义得出且，为任何数，再求出答案即可． 【详解】解：当且时是一次函数， 解得：， 为任何实数，都是一次函数 所以，为任何实数，是的一次函数． 17．（1）写出下题中与之间的关系式，并判断是否是的一次函数：在速度为的匀速运动中，路程与时间的关系． （2）已知一个长方形的长为，宽为，周长为，求与之间的关系式，并判断是否为的一次函数． 【答案】（1），是的一次函数；（2），是的一次函数 【分析】本题考查了列函数关系式、一次函数的识别，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据公式：路程速度时间，列出关系式，再判断是否为的一次函数即可； （2）根据长方形的周长公式列出关系式，再判断是否为的一次函数即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴是的一次函数； （2）∵一个长方形的长为，宽为，周长为， ∴与之间的函数关系式为； ∴是的一次函数． 18．已知一次函数． (1)若该函数图象经过原点，求该一次函数的表达式； (2)若该函数图象与轴交点在轴的上方，且随的增大而减小，求整数的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）把原点坐标代入中求出m的值，从而得到一次函数解析式； （2）根据一次函数的性质得到且，则可不等式组得到m的取值范围，然后确定整数m的值． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：根据题意得且， 解得， ∴整数m的值为2． 19．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可． （2）根据（1）代入即可即解答． 【详解】（1）解：与成正比例， 设． 时，， ， ， ， 与之间的函数表达式为． （2）当时，， ． 20．已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数图象上，求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在这个函数图象上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，求一次函数的解析式，以及求自变量的值．解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式． 21．已知是的一次函数，且当时，；当时，．求这个一次函数的表达式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设这个一次函数的解析式为， ∵当时，；当时，， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． 22．如图，已知直线平分第一象限，直线由直线向右平移2个单位得到，动点在上运动，过点A作直线轴．    (1)求点C的坐标； (2)设中位于直线l右侧部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式； (3)当x为何值时，直线l平分的面积? 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积及分类讨论思想等知识点． （1）利用平移的性质求得直线的解析式，联立即可求得点C的坐标； （2）分①当时，②当时，两种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意列方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：直线的解析式为：， 直线的解析式为：． 联立两直线方程得：， 解得， ∴； （2）解：过点C作轴交于D点，则，    ∵直线交x轴于B点， ∴， ①当时，直线l右侧部分是三角形， 面积为：； ②当时，直线l右侧部分是四边形， 面积为：． ∴； （3）解：∵， ∴直线l平分的面积时， 动点A只能在线段上，即， ∴， 解得． 所以当时，直线l分的面积． 23．已知一次函数和的图象交于点 (1)直接写出方程组的解； (2)求和的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据一次函数和的图象交点坐标，直接得出方程组的解即可； （2）将点P的坐标分别代入一次函数解析式，求出m、n的值即可． 【详解】（1）解：一次函数和的图象交于点， 方程组的解是； （2）解：将代入， 得：， 解得：， 将代入， 得， 解得：． 【点睛】本题主要考查了两直线交点与二元一次方程组解的关系，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握两直线交点与二元一次方程组解的关系，准确进行计算． 24．如图，已知直线与坐标轴交于两点，直线：与坐标轴交于两点，两直线的交点为点．    (1)求的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据函数图像，联立方程求解点的坐标，可知的高，再求出点的坐标，最后根据三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得 ，解得，， ∴的表达式为． （2）解：由两条直线相交，联立方程组得， 解得， ∴， 则点到轴的距离为， 在中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，两直线相交联立方程组求解的综合，掌握一次函数图像的相关性质是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，点向左平移3个单位，向下平移1个单位后得到点D，直线经过点D，与x轴交于点B．直线沿y轴向下平移6个单位后得到直线，直线交y轴于点C． (1)求直线的关系式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质，一次函数图象上点的坐标特征； （1）首先求得，然后根据待定系数法即可求得； （2）设直线与轴的交点为，求得，，然后根据求得即可． 【详解】（1）解：向左平移3个单位，向下平移1个单位后得到点， ， 直线：经过点， 即， 直线的解析式为； （2）设直线与轴的交点为， ， ，， 直线沿轴向下平移个单位后得到直线，直线交轴于点． ， ． 26．如图，在中，平分交于点．设． (1)求与之间的关系式； (2)这个函数是一次函数吗？若是，请指出的值，并写出的取值范围；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是一次函数，，的取值范围是 【分析】（1）根据等边对等角、三角形内角和定理、角平分线的定义得到，据此即可得到函数解析式； （2）根据一次函数的定义进行判断解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 又∵平分， ∴， ∴， ∴与之间的关系式为． （2）根据函数的定义可知这个函数是一次函数，，的取值范围是． 【点睛】此题考查了等边对等角、三角形内角和定理、角平分线的定义、一次函数的定义等知识，正确求出与之间的关系式是关键． 27．阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． (1)已知直线与直线垂直，求的值； (2)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； (3)已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，列式求解即可得到答案； （2）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，设直线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案； （3）由直线与轴、轴分别相交于点，求出、，进而得到的中点坐标为和，由材料中若，有，设线段的垂直平分线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线垂直， ∴， 解得； （2）解：∵直线与直线垂直， ∴设直线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：直线与轴、轴分别相交于点， 当时，，即； 当时，，解得，即； 的中点为， 直线，即， 设线段的垂直平分线的表达式为， 将代入得，解得， ∴线段的垂直平分线的表达式为． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及直线垂直时的关系、待定系数法求直线表达式、一次函数图象与性质、中点坐标公式等知识，读懂题意，理解，有是解决问题的关键． 28．已知一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数解析式； (2)该函数的图象是否过点，请说明理由． 【答案】(1)一次函数解析式为 (2)该函数图象不经过点 理由：当时， 所以该函数图象不经过点 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）代入即可判断． 【详解】（1）解：由题意可列方程组， 解得， 所以，一次函数解析式为 （2）略 29．如图， 直线 与x轴相交于点，直线 经过点， 与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)求直线，直线与轴围成的三角形面积； (3)根据图象，直接写出 的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图像性质，一次函数交点问题，根据两条直线交点求不等式解集，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）分别求出直线，直线与轴的交点，再求出两直线的交点坐标，利用三角形面积公式求解即可． （3）根据图像解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入可得： ， 解得：， ∴； （2）解：设与轴的交点为，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， 联立和可得：， 解得：， 把代入可得：， ∴， ∴， ∴直线，直线与轴围成的三角形面积为：； （3）∵，，， ∴由图可得：． 30．如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． (1)求C点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在x轴上，是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)的面积为； (3)在x轴上存在一点，使得，点的坐标为或． 【分析】（1）将代入可求出点C坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）求出点的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）先求出和点D坐标，由构造方程，求出即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 设， 把，代入，得 解得， ； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ， ； （3）解：存在，理由如下： ， ， 当点在轴上时，如图， 设直线与轴交于点， ， ， ， ， ，， 点的坐标为或， 综上，在x轴上，存在一点，使得，点的坐标为或． 31．某果园实验基地推广甲、乙两种苹果苗，已知乙种苹果苗比甲种苹果苗每株贵2元，且用240元钱购买甲种苹果苗的株数与用360元钱购买乙种苹果苗的株数刚好相同． (1)求甲、乙两种苹果苗每株的价格； (2)某果农计划购买甲、乙两种苹果苗共300株．调查统计发现，甲、乙两种苹果苗的成活率分别为和，要使这批苹果苗的成活率不低于，且使购买苹果苗的费用最低，应如何选购苹果苗？最低费用是多少？ 【答案】(1)甲种苹果苗每株的价格为4元，乙种苹果苗每株的价格为6元； (2)购买甲种苹果苗120株，乙种苹果苗180株时费用最低，最低费用是1560元． 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的实际应用，根据已知等量关系正确列方程是解题关键，注意分式方程求解后要进行检验． （1）设甲种苹果苗每株的价格为x元，则乙种苹果苗每株的价格为元，根据题目中的等量关系列分式方程，求解即可； （2）设甲种苹果苗购买b株，则乙种苹果苗购买株，根据总成活率不低于列不等式，求出b的取值范围，列出总费用W与b的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种苹果苗每株的价格为x元，则乙种苹果苗每株的价格为元， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程组的解． 所以甲种苹果苗每株的价格为4元， 乙种苹果苗每株的价格为元． 答：甲种苹果苗每株的价格为4元，乙种苹果苗每株的价格为6元； （2）解：设甲种苹果苗购买b株，则乙种苹果苗购买株，购买的总费用为W元， 由题意，， 解得， 由题意，， ∴， ∴W随b的增大而减小， ∴时，元． 答：购买甲种苹果苗120株，乙种苹果苗180株时费用最低，最低费用是1560元． 32．为迎接重庆南开中学建校90周年，学生会计划向商家定制A、B两款文创礼盒：A款为印有校徽的“青莲紫韵”笔记本礼盒，B款为刻有校训的“金马奋蹄”书签礼盒．这两款礼盒将在线上进行义卖，所得款项用于资助山区学童．已知购进2套A礼盒和3套B礼盒，共需进价460元；购进5套A礼盒和2套B礼盒，共需进价710元． (1)求每套A礼盒和B礼盒的进价分别是多少元？ (2)学生会决定用不超过40000元的资金购进这两款礼盒共400套．根据前期预售情况，A礼盒的数量至少要占总数量的，且不超过总数量的．销售时，A礼盒每套售价160元，B礼盒每套售价120元．在销售末期，有4套A礼盒和6套B礼盒均按售价的七五折优惠出售．若本次购进的两种礼盒全部售出，请问购进A礼盒多少套时，可使本次义卖获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每套A礼盒进价110元，每套B礼盒进价80元. (2)购进A礼盒266套时，总利润最大，最大利润为18320元. 【分析】（1）设每套A礼盒进价为x元，每套B礼盒进价为y元，根据题意利用两种购进的总价条件列二元一次方程组，求解即可得到两种礼盒的进价； （2）设购进A礼盒的数量，根据资金限制和A礼盒数量的范围要求确定自变量的取值范围，再根据利润计算方法列出总利润关于A礼盒数量的一次函数，结合一次函数的单调性即可求出最大利润和对应的购进数量． 【详解】（1）解：设每套A礼盒进价为x元，每套B礼盒进价为y元，根据题意得： ， 解得， 答：每套A礼盒进价110元，每套B礼盒进价80元； （2）解：设购进A礼盒m套，则购进B礼盒套，总利润为W元，根据题意， A礼盒数量满足，即，且m为正整数； 又资金不超过40000元，得， 解得， ∴m的取值范围为，m为正整数； ∴总利润 ， ∵， ∴W随m的增大而增大, ∴当m取最大值266时，W取得最大值， ∴元； 答：购进A礼盒266套时，可使本次义卖获得的总利润最大，最大利润是18320元． 34．初二年级组织师生到秦岭国家植物园研学，准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客300人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客320人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ (2)若年级计划租用A型和B型两种客车共40辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，则采用哪种租车方案租金最少？最少租金是多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客40人，型车坐满后载客50人 (2)租A型车30辆，则租B型车10辆，租金最少，最少租金是21000元 【分析】（1）设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人，可得，即可解得每辆型车坐满后载客40人，型车坐满后载客50人； （2）设租型车辆，则租B型车辆,根据“要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍”， ，设租金为，则，结合一次函数的性质，即可作答． 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人， 根据题意得， 解得， 每辆型车坐满后载客40人，型车坐满后载客50人； （2）解：设租型车辆，则租型车辆， ∵要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍， ∴ ， 解得， 设租金为，则， ∵， ∴随的增大而减小， 当，则有最小值，且为， 即租型车30辆，则租型车10辆，租金最少，最少租金是元． 35．已知直线平行于直线，且过    (1) ， ； (2)若直线与x轴交于点B，点E是线段上的动点，将沿翻折使点B落在y轴上，求点E的坐标． 【答案】(1)，8； (2) 【分析】（1）根据两直线平行的性质，得到，再利用函数图象上点的坐标特征，得到，即可确定答案； （2）由（1）可知直线解析式为，进而得到，利用勾股定理，求得，由翻折的性质可知，，，进而得到， ，再利用勾股定理列方程，求出，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：直线平行于直线， ， 直线过点， ， 故答案为：，8； （2）解：由（1）可知，直线解析式为：， 直线与x轴交于点B， 令，则，解得：， ， ， ， ， 在中，， 由翻折的性质可知，，， ， ， ， 在中，, ， 解得：， 点E是线段上的动点， 【点睛】本题考查了两直线平行问题，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 36．【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．    【解决问题】 (1)如图1，观察图象，不等式的解集是 ． (2)如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①点坐标为或；②，，， 【分析】（1）观察两条直线可知从交点向右直线在上方，解答即可； （2）先求出两条直线的交点，可知从交点向右直线在上方，且在x以下，即可求出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点，则点，可得，当求出解即可；分别求出和时的解，再根据在交点的两边都有符合题意的部分得出当或时，，然后求出整数解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 所以不等式的解集是； （2）解：当时，， 解得， ∴当时，； 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， 即点， ∴当时，， ∴当时，， ∴当时，， 即自变量的取值范围是； （3）解：当时，， ∴点． ∵点B，点O恰好关于点D对称， ∴点． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线：． 设点，则点， ∴． ①∵， ∴， 解得或，则或， ∴点P的坐标为或； ②时，解得或； 时，解得或， 则当或时，， 所以或，则， 整点P的坐标是，，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级下册数学第二十三章《一次函数》暑期专项训练 一、单选题 1．①；②； ③；④； ⑤，其中一次函数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 3．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若点A是函数图象上的一点，且到x轴的距离为3，则点A到y轴的距离是（   ） A．1或2 B．1 C．2 D．或1 5．若直线经过第二、三、四象限，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 6．一次函数与的图象如图，则下列结论： ①； ②； ③关于x的方程的解是； ④当时，中．则正确的序号有（　　）    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 7．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣3，1），B（1，2），若直线y＝kx﹣1与线段AB有交点，则k的值不能是（    ） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 8．如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 9．清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量x（）与所需金额y（元）的函数关系如图所示．小丽用120元去购买该种水果，则她购买的数量为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点A的坐标为，点B的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为(　　)    A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 11．若直线的图像过点，则______． 12．一次函数的图象经过第_________象限． 13．如果一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是_________________________． 14．一根蜡烛长，点燃后，匀速燃烧后剩余的长度恰为原来长度的一半，设匀速燃烧时间为，蜡烛的长度为．那么关于的函数表达式是________． 15．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，，，按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，，，，…的面积分别为，则______． 三、解答题 16．已知，当m，n 取何值时，y是x的一次函数? 17．（1）写出下题中与之间的关系式，并判断是否是的一次函数：在速度为的匀速运动中，路程与时间的关系． （2）已知一个长方形的长为，宽为，周长为，求与之间的关系式，并判断是否为的一次函数． 18．已知一次函数． (1)若该函数图象经过原点，求该一次函数的表达式； (2)若该函数图象与轴交点在轴的上方，且随的增大而减小，求整数的值． 19．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数表达式． (2)当时，求的值． 20．已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数图象上，求． 21．已知是的一次函数，且当时，；当时，．求这个一次函数的表达式． 22．如图，已知直线平分第一象限，直线由直线向右平移2个单位得到，动点在上运动，过点A作直线轴．    (1)求点C的坐标； (2)设中位于直线l右侧部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式； (3)当x为何值时，直线l平分的面积? 23．已知一次函数和的图象交于点 (1)直接写出方程组的解； (2)求和的值． 24．如图，已知直线与坐标轴交于两点，直线：与坐标轴交于两点，两直线的交点为点．    (1)求的表达式． (2)求的面积． 25．如图，在平面直角坐标系中，点向左平移3个单位，向下平移1个单位后得到点D，直线经过点D，与x轴交于点B．直线沿y轴向下平移6个单位后得到直线，直线交y轴于点C． (1)求直线的关系式； (2)求的面积． 26．如图，在中，平分交于点．设． (1)求与之间的关系式； (2)这个函数是一次函数吗？若是，请指出的值，并写出的取值范围；若不是，请说明理由． 27．阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． (1)已知直线与直线垂直，求的值； (2)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； (3)已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 28．已知一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数解析式； (2)该函数的图象是否过点，请说明理由． 29．如图， 直线 与x轴相交于点，直线 经过点， 与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)求直线，直线与轴围成的三角形面积； (3)根据图象，直接写出 的解集． 30．如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． (1)求C点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在x轴上，是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 31．某果园实验基地推广甲、乙两种苹果苗，已知乙种苹果苗比甲种苹果苗每株贵2元，且用240元钱购买甲种苹果苗的株数与用360元钱购买乙种苹果苗的株数刚好相同． (1)求甲、乙两种苹果苗每株的价格； (2)某果农计划购买甲、乙两种苹果苗共300株．调查统计发现，甲、乙两种苹果苗的成活率分别为和，要使这批苹果苗的成活率不低于，且使购买苹果苗的费用最低，应如何选购苹果苗？最低费用是多少？ 32．为迎接重庆南开中学建校90周年，学生会计划向商家定制A、B两款文创礼盒：A款为印有校徽的“青莲紫韵”笔记本礼盒，B款为刻有校训的“金马奋蹄”书签礼盒．这两款礼盒将在线上进行义卖，所得款项用于资助山区学童．已知购进2套A礼盒和3套B礼盒，共需进价460元；购进5套A礼盒和2套B礼盒，共需进价710元． (1)求每套A礼盒和B礼盒的进价分别是多少元？ (2)学生会决定用不超过40000元的资金购进这两款礼盒共400套．根据前期预售情况，A礼盒的数量至少要占总数量的，且不超过总数量的．销售时，A礼盒每套售价160元，B礼盒每套售价120元．在销售末期，有4套A礼盒和6套B礼盒均按售价的七五折优惠出售．若本次购进的两种礼盒全部售出，请问购进A礼盒多少套时，可使本次义卖获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 、 35．已知直线平行于直线，且过    (1) ， ； (2)若直线与x轴交于点B，点E是线段上的动点，将沿翻折使点B落在y轴上，求点E的坐标． 36．【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．    【解决问题】 (1)如图1，观察图象，不等式的解集是 ． (2)如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $null