课时分层检测(13) 直线的一般式方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

即x十y-4=0. ②当直线1在两坐标轴上的裁距不为0！因为所求直线过点（一3,1），所以一6一3 (2)由题意，得点D的坐标为（一4,2），由， 时，可设直线1的方程为品十=1 十n=0,解得n=9,故所求直线的一殷式 直线的两，点式方程，得中线BD所在直线 -m 方程为2x一3y十9=0. 的方粒为号-2气二即2-y十 (n≠0)，即x一y=n, 10.解把直线1的方程化成斜裁式，得y= 又1过点P(3,2), (1-a)x+a+2, 10=0. ∴.3-2=m,解得n=1, (1)因为直线【不过第二象限，故该直线 10,解①直线1的方粒为号昌 ,.1的方程为x一y一1=0. 的斜率大于等于零，且直线在y轴上的 综上所述，直线1的方程是2x一3y=0或 截距小于等于零。 化简，得x十y一5=0. (2)由题意知直线1的斜率存在且不为 (2)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直 即{二0之0：解得a≤-2. 1a+20,1 零.设直线1的方程为y一1=k(x一4)，1 所以a的取值范围为（一0∞，一2] 则直线1在y轴上的裁距为1一4k,在x! 线1的方程为亡十岩=1. (2)因为直线1不过第三象限，故该直线 轴上的藏亚为4一。， 直线1过点P3,2),5+方1 的斜率小于等于零，且直线在y轴上的 a 截距大于等于零，即二g0解得a≥ 故1-4=2(4-方）得=子成= 由a>0,b>0得1= 3十 2 1a十2≥0， a b 1.所以a的取值范图为[1，十∞). -2, 所以直线I的方程为x一4y=0或2x十y: 2√×云，国此b>24(当且仅当 :能力提升练 a 1.AD[对于A,由直线方程知其恒过定点 -9=0. (1,0),故A正确：对于B,当n=0时，直 能力提升练 方，即a=6,b=4时取等号） 线斜率不存在，故B错误；对于C,m=√3 1.ABD[当x1=x2或y1=y2时，直线方程 不能写成)出=一西，故A错误：当 从而Sa4m=合ab≥12. 时有y-(z一1D,即an0=5,则倾斜 3 3 VVItI 故△AB)面积的最小值是12，此时直线L: 角为0=30°，故C错误：对于D,当n=2 直线过原，点时，在x轴和y轴上的裁距相 等，但斜率不一定为一1，故B错误；设直 的方程为看十￥=1，即2z+3y-12=0. 时，直线1：x=2y十1与x,y轴交点分别 线在y轴上的截距为b,则直线方程为y 课时分层检测（十三） 为1,0)，（0，-立) 1）,所以直线1与两坐 x十b.令y=0,得直线在x轴上的截距为 基础达标练 x=一b,于是b+(一b)=0,故C正确：若 直线与坐标轴国成的三角形是等腰直角：1.C[由藏距式得直线方程为3十寸 标轴国成的三角形面积为子，故D正确。 故选A、D. 三角形，则直线的斜率为士1，故D错误.门· 1,整理得4.x一3v+12=0. 2.D[线段AB的方程为专+Y =1(0≤x{2.C[由题意可设所求直线方程为x+2y 2[年，] [直线2.rcos a-y-3=0的 十c=0(c≠2).因为(5,0)在该直线上，所 斜率k=2cosa, ≤3)，于是y=41-号)(0≤x≤3)，从 以5十2×0十c=0,得c=一5，故该直线方 程为x+2y一5=0.] 周为a∈[吾，吾】所以分≤osa<复， 而=4(1-)-（一）》 3.C[将1与l2的方程化为斜裁式得：y ax十b,y=bx十a,根据斜率和截距的符号 因此k=2·cosa∈[1，√5].设直线的倾斜 可得远C. 角为0，则有tan0∈[1，√3.又0∈0，x), 3,里然当x=号∈[0,3]时，y取最大值4D由题意，将点(-2,0)，(0,3》代入直 为3；当x=0或3时，xy取最小值0.故： 所以0e[平，]门 线方程，得 选D. -2a十6=0，解得：3.±1 13b+6=0, 「如图所 3.一1一√5[点A(-4,√3)关于x轴的 6=2故选D.] (a=3, 示，直线1：x +3y-5=0 对称，点为A'(-4,一√3)，则直线AB:y= 号+号与x轴交于点（一1,0，所以光 3 .A[由题意得X2n1+m)解得m 分别交x轴、y D m≠-2， 轴于A,B两 3 -1.故选A.] 点，直线l2: \() 角是60，得折射角是30，且光线经过6.045°[由题得-m士 线与x轴交点的横坐标为一1；易知入射： m=0. 3k.x-y+1=0 -2 过定，点C(0,1). (一1,0)，得出折射光线所在直线方程为 2 y=一√3x一√3，所以纵截距为一√3.] 若m=一1，则直线的斜率k=一兰21， 由，点C在线段OB上知I。⊥L1或l,与x 轴交于D,点，且∠BCD+∠BAD=180°， 4.解，直线1与两坐标轴国成一个等腰直 所以直线的倾斜角为45.] ①由L1⊥l2知，1×3k十3X(-1)-0,解 角三角形， [由题意知直线的斜率为tan4 正直线1在两坐标轴上的截距相等裁互为7一了 得k=1. ②由∠BCD+∠BAD=180°，得∠BAD 相反数且不为0， 2a2-4a =∠CD. 若L在两坐标轴上的截距相等，且设 为a(a≠0)， 1,∴.a2-4≠0，y= 设直线L1的倾斜角为α1，l,的倾斜角为 -(a-4) a2,则a1=180°-∠BAD,ae=90° 则直线方程为工十义=1，即x十y一a 5a2 a -(a.2ai-la =1,∴.3a2-4a ∠0CD,.a1=180°-∠BAD=180° -(a2-4) =0. ∠0℃D=180°-(a2-90)→a1=270°-a 7a·a=18,即a2=36,a=士6， -4=0,∴.a= 2或a=2(舍去.] →tana1=tan(270°-a)=tan(90°-ae） .直线方程为x十y士6=0. 8.(1,1)x=1[直线1的方程可化为m(x1 sin(90°-ae2- c08a2= cos(90°-a) sin ax tan a2 >tan a 若1在两坐标轴上的截距互为相反数，不： -1)+(y-1)=0, ·tana=1, 妨设在x轴上的截距为a,则在y轴上的· 令{二1=0得x1 戴距为一a(a≠0)， Qy-1=0, y=1. :-子×3k=1→k=-1.综上所述，k的 故直线1过定，点(1,1). 故直线方程为工+义=1，即x-y-a! 值为士1.] 当倾斜角为受时，直线垂直于x轴，所以4解（①）证明将直线么的方程化为m(口 =0. 其方程为x=1. -2y-3)+2.x+y+4=0, -a·a=18,即a2三36，a=19,解(1)由题意知直线1的方程为y 解方程组 x一2y一3=0，解得 8(x-2),即3x+2y-12=0. 2x+y+4=0, 士6，.直线方程为x一y士6=0. 综上所述，直线I的方程为x十y士6=0或： x=一故直线1恒过定点M一1， -y士6=0. (2)设所求直线的方程为3x十2y十m一0 y=-2, 5.解(1)①当直线1在两坐标轴上的裁距！ (m≠一12)，因为所求直线过点（一3,1）， 所以一9十2十m=0,解得n=7,故所求直！ 2 2 均为0时，直线1的方程为y=了1，即2x 线的一殷式方程为3x十2y十7=0. (3)设所求直线的方程为2x一3y十n=0, (2)由题意可知，直线，的斜率存在且不 -3y=0: 为零， 227 设直线12的方程为y十2=kx十1， !5.ABC[A.若方程组无解，则两条直线无； 一5=0，解得k=一7或一2（舍去）.即三条 红.®影直孩箋☒4en颳s羡財國脾，氦n真蹄归鬨 直线交于一点时k=一7.若11与L,平行 令x=0,可得y=k-2,令y=0,可得x= 3重腾髏.耩↓刘晷人萇‰l二-酸人重'W襲4 或重合，则1×（一2）一k×1=0,k=一2. 2 溢网密㎡.人L莲壓蔆<咳季®鼘猫籁x菊精羡g赣装【韩棒 若11与13平行或重合，则1×[一(k十1)] -1, 说明两条直线有无数多个交点，则两直线 -1×1=0,k=一2.若12与1平行或重 k-20, 重合，正确；D显然错误.故选A、B、C.门 合，则k×[一(k十1)]一1×（一2）=0，k= 由已知可得 2 -1<0,解得k<0, 義萇λ人耍，整k薯、人【 一2或1.综上可知，当三条直线可图成三 y将(0，）代入x-y+12=0, 角形时，k≠一7且k≠一2且k≠1.] 所以三角形面积为S- (2-)( 3.0[由条件设两直线的交点为(1，-f) 解得k=土6.] (t≠0)， ≥7-1 [由{x十3y=10·解得{x=42 则子 1 1 y=-2, 又1 {2x-y=10, sin a+sin B sin a+cos [:建瑊[✉越乏盞段ij6溪尾两gww,| 1 4a+2×(-2)+8=0,解得a=-1.] =4,当且8.(-1,0) t cosa十sin3cosa十cos3 [当直线AB和直线x十y十1= 1 仅当k=一2时，等号成立，此时直线12的 0互相垂直时，线段AB的距离最短， 所以sina sin cos a+cos 慰片r蓼✉圍輒墨髻鹜☒騎！袭烤人文声吊财 方程为y十2= 2x+1）,即2x+y+4 线AB的方程为y=x十1. cos a+sin B'sin a+cos B' 即(sina+cosa十sin3+cos =0. 联立{红士士二0解得{红二。1， {x-y+1=0,1 1y=0, 1 5.解(1)由已知得kAB=1, 即B(-1,0).] (sin a+sin B)(cos a+cos B) 直线AB的方程为y-4=x一3，即x一：9.解(1)当a=0时，直线11：y十1=0，l2:! 1 y+1=0, 2.x-y+3=0,联立y+1=0, =0, 由{二10。解得{=)A的坐 12x-y+3=0, 解得 (cos a++sin B)(sin a+cos B) x+3y-7=0, y=2, x=一 若(sina十sin)(cosa+cos3)=(cosa+ 标为(1,2) 2故直线4与2的交点坐标为 sin B)(sin a-+-cos B), {y=- (sin a-cos a)(sin B-cos )=0. (2)设E(xw),则C(2x-3,2y-4), (-2,-1). 则 (2-3)+(2y-4)-3=0, 当sina一cosa=0时，两直线重合（不合题 (2)图为1∥12， 1十3y-7=0, 解 所以∫a(a-1)-2-0, 意)， 号坚唇系，释，中凰壓含(2，屙目目、.内、tyw风n殘其 舞 3一(a-1)(a+1)≠0. 意) 即{a-2》(a+1)=0解得a=-1. 故sina+cosa十sin3+cos3=0.] :直线1在x轴、y轴上的截距相等， 4一a≠0， ·当直线1经过原点时，设直线1的方程10.解设A(%),由中点公式，有B(一西，4 (号【由8—+ 为y一kx, 2-), 1 A在L1上，B在12上， x=2a+3 2a+30, 把点E(4,1)代入，得1=4k,解得k= 4 22. 得 71 由 7 此时直线1的方程为x一4y=0: -2 7 2∠0， (7 当直线L不经过原点时，设直线1的方程 1-2 1 解得工0二一4，kAP二0十4一4， 3 为工十义=1， 1yo=2, 得>1-<<2.] a 故所求直线1的方程为y=一 1 把点E(4,1)代入，得4+1=1，解得a x+1, (a<2. !5.解(1)由BH所在的直线的方程为x a a 即x十4y-4=0. 1 =5, :能力提升练 2y-5=0,知k期=2，由题意知BH山 此时直线1的方程为x十y-5=0, AC,得kAc=一2. 二直线1的方程为一4y-0或十y-51C [解方程组 x+2y-60,得 1x-y-3=0, 所以AC所在直线方程为一2(.x一5)=y =0. 1,即2x+y11=0, 课时分层检测（十四） 工二4即直线1，l2的交点坐标为(4， y=1 又CM所在的直线的方程为2x-y-5 基础达标练 1):直线11：x十2y一6=0与x轴、y轴的 =0, 交点坐标分别为(6,0)，(0,3)；直线12：x 1.Bg方权担得{ 由 一y一3=0与x轴、y轴的交点坐标分别 ，郎得即c y-3, 2.B[:直线3x+ny-1=0与4x十3y-n 为(3,0)，(0，一3).如图所示， 3) (2)设B(a,b),由CM是AB边上的中线， g喜践.。苹X人箋、题车，恃5就交5罩 入3.x+my-1=0得3×2+m×(-1)-1 x+2y-6=03 =0,即m=5,将点(2，-1)代入4.x+3y xy-3=0 得M, .代入2x-y-5=0, 济e【看人【戴n戮襞式☑斐数4 1 (4,1) 得2×5十a_1 2 -5=0,即2a-b-1 2 .m+n=10.] -10 123456元 0,① 3.A[lc:受+号=1，即3x+2-6=0 又BH所在的直线的方程为x一2y一5 可得所求四边形的面积为2X6X3 =0, 1x=a, 由{3x+2-6=0得 则a-2b-5=0,② 6-3a x=a, v=2, 2 联立①②，解得二'即B-1,-3. 1b=-3, 9 因为S△AB=2’ ,兵人喜减3燃内韃圈人晶慧.N无术↓肤 解方程组 (x+y-1-0, 由两点式得直线BC的方程为3 得 -3-3- 1k.x-2y十3=0， -1-4,即6x-5y-9=0. x一4 得a=√3或a=一3（舍去）.] k+21 稿の百飜基，瑟國专g【橇 3+k 即4与4的交点为！6.证明由题意知a≠1， x-3y=0,由{+2210，解得 y一k+21 解方程组 +1=0，得 1x+y-a=0, 1-x-3y=0, 3+k a+1 ,-3直线1恒过定点(-3,1).故 k+2'k+2 即两条直线的交，点坐标为 y=1, 代入山的方程得一2一（十1） 3十k a2+1 选C. k+2 228班级 姓名 得分 课时分层检测（十三）」 直线的一般式方程 基础达标练0… 3 :9.已知直线l经过点P(2,3),且斜率为一 1.过点(-3,0)和(0,4)的直线的一般式方： (1)求直线1的一般式方程； 程为 ( (2)求与直线1平行，且过点(-3,1)的直线 A.4.x+3y+12=0 B.4x+3y-12=0 的一般式方程； C.4x-3y+12=0 D.4x-3y-12=0 (3)求与直线1垂直，且过点（一3,1）的直线 2.过点(5,0)且与x十2y-2=0平行的直线方 的一般式方程， 程是 A.2x+y+5=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.x+2y+5=0 3.直线l1:ax-y十b=0,l2:bx-y十a=0(a≠ 0,b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是 4.若直线ax十by十6=0在x轴、y轴上的截距 分别是一2和3，则a,b的值分别为( ) A.3,2 B.-3,-2 :10.设直线l的方程为(a-1)x十y-2-a=0 C.-3,2 D.3,-2 (a∈R) 5.若直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y (1)若直线1不过第二象限，求a的取值 十4=0平行，则m的值为 范围； A.1 B.-2 (2)若直线l不过第三象限，求a的取值 范围 C.1或-2 6.已知直线1：(m2+1)x-2y+1=0(m为常 数)，若直线1的斜率为7，则m一 若m=一1，则直线l的倾斜角为 7.若直线(2a2-4ax+(a2-4）y+5a2=0的 倾斜角是不，则实数a的值是 8.直线l:m.x+y-1-m=0过定点 过此定点，且倾斜角为)的直线方程为 135 班级 姓名 得分 :5.已知△ABC的顶点B(3,4),AB边上的高所 …0 能力提升练 0 在的直线方程为x十y一3=0，E为BC的中 1.(多选)对于直线1：x=my十1，下列说法正 点，且AE所在的直线方程为x十3y一7=0， 确的是 ( (1)求顶点A的坐标； A.直线1恒过定点(1,0) (2)求过E点且在x轴、y轴上的截距相等 B.直线I斜率必定存在 的直线l的方程. C.m=√3时直线1的倾斜角为60° D.m=2时直线1与两坐标轴围成的三角形 面积为 2.直线2 rcos a-y-3=o(a∈[，])的倾斜 角的取值范围是 3.已知直线11：x+3y-5=0,l2:3kx-y+1= 0.若11,2与两坐标轴围成的四边形有一个 外接圆，则= 4.已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m =0. (1)求证：无论m为何实数，直线11恒过一定 点M; (2)若直线12过点M,且与x轴负半轴、y轴 负半轴围成三角形面积最小，求直线12的 方程. 136