2.2.3 直线的一般式方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 直线的一般式方程课时同步练习，分基础巩固、更上层楼、探究发现三层，覆盖截距、倾斜角、斜率及位置关系等核心知识点，通过概念辨析到综合应用的递进设计，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一概念（截距、倾斜角计算）|选择填空为主，如第1题直接考查y轴截距，强化概念理解| |更上层楼|综合应用（平行垂直判定、图形中直线方程）|含多选题（第4题）及解答题（第14题含定点证明与面积计算），提升推理能力| |探究发现|复杂情境（三角形角平分线等）|如第15题结合三角形顶点坐标求角平分线方程，发展创新意识与模型观念|

2.2.3　直线的一般式方程课时作业(十九) 1．若直线l的方程为2x＋y＋3＝0，则直线l在y轴上的截距为(　　) A.　　　　　　　　　 B．－ C．3 D．－3 2．若直线l：x＋my＋1＝0的倾斜角为，则实数m的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 3．若直线l的方程为xsin 50°＋ycos 50°＋2 024＝0，则直线l的倾斜角为(　　) A．50° B．130° C．40° D．140° 4．【多选题】下列说法正确的是(　　) A．直线y＝ax－2a＋1必过定点(2，1) B．直线3x－2y＋4＝0在y轴上的截距为－2 C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为120° D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－ 5．【多选题】已知直线l1：3x＋y－3＝0，直线l2：6x＋my＋1＝0，则下列说法正确的是(　　) A．直线l2的斜率为 B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝－18 C．直线l1倾斜角的正切值为3 D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2 6．已知△ABC的顶点A(5，5)，AC边上的高所在直线方程为3x＋2y－7＝0，则AC所在直线的方程为(　　) A．x－2y＋5＝0 B．2x－3y＋3＝0 C．x＋2y－15＝0 D．2x－3y＋5＝0 7．已知直线ax＋by＋c＝0(a≠0，b≠0)的图象如图，则(　　) A．若c>0，则a>0，b>0 B．若c>0，则a<0，b>0 C．若c<0，则a>0，b<0 D．若c<0，则a>0，b>0 8．点M(1，2)在直线l上的射影是H(－1，4)，则直线l的方程为________，线段MH的垂直平分线的方程为________． 9．已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0.求△ABC各边所在直线的方程． 10．菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4，7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(4，－1)． (1)求BC，AD边所在直线的一般式方程； (2)求对角线BD所在直线的一般式方程． 11．已知平行四边形ABCD的顶点A(0，1)，边AB所在直线方程是x－y＋1＝0，对角线的交点为M(2，2)，边CD所在直线方程为(　　) A．x－y－1＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y－3＝0 12．已知直线l1的方向向量为a＝(1，3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是(　　) A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0 13．【多选题】已知直线l1：x＋ay＋1＝0，l2：(a－1)x＋y＋a＝0，则下列说法正确的是(　　) A．当a＝1时，直线l1的倾斜角为135° B．当l1⊥l2时，a＝ C．若l1∥l2，则a＝－1 D．直线l1恒过(－1，0) 14．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0. (1)求证：直线l经过定点； (2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为原点，△AOB的面积为4，求直线l的方程； (3)若直线l不经过第三象限，求实数k的取值范围． 15．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(2，3)，B(1，－2)，C(－8，1)． (1)求AB边的垂直平分线的一般式方程； (2)求∠BAC的平分线所在直线的一般式方程． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3　直线的一般式方程课时作业(十九) 1．若直线l的方程为2x＋y＋3＝0，则直线l在y轴上的截距为(　　) A.　　　　　　　　　 B．－ C．3 D．－3 答案　D 解析　在2x＋y＋3＝0中，令x＝0，得y＝－3，故直线l在y轴上的截距为－3.故选D. 2．若直线l：x＋my＋1＝0的倾斜角为，则实数m的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　易知直线l的斜率存在且斜率k＝－，由题意可得tan ＝－＝－，解得m＝. 3．若直线l的方程为xsin 50°＋ycos 50°＋2 024＝0，则直线l的倾斜角为(　　) A．50° B．130° C．40° D．140° 答案　B 解析　由题意可知直线xsin 50°＋ycos 50°＋2 024＝0的斜率为k＝－＝－tan 50°＝tan 130°，则其倾斜角为130°. 4．【多选题】下列说法正确的是(　　) A．直线y＝ax－2a＋1必过定点(2，1) B．直线3x－2y＋4＝0在y轴上的截距为－2 C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为120° D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－ 答案　ACD 解析　直线y＝ax－2a＋1可化为y－1＝a(x－2)，易知直线过定点(2，1)，A正确；对3x－2y＋4＝0，令x＝0，得y＝2，则直线3x－2y＋4＝0在y轴上的截距为2，B错误；直线x＋y＋1＝0的斜率为－，则倾斜角为120°，C正确；设直线l的方程为ax＋by＋c＝0(a，b不同时为0)，沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后得直线a(x＋3)＋b(y－2)＋c＝0，即ax＋by＋c＋3a－2b＝0，又ax＋by＋c＝0，所以3a－2b＝0，所以k＝－＝－，D正确． 5．【多选题】已知直线l1：3x＋y－3＝0，直线l2：6x＋my＋1＝0，则下列说法正确的是(　　) A．直线l2的斜率为 B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝－18 C．直线l1倾斜角的正切值为3 D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2 答案　BD 解析　直线l1：3x＋y－3＝0，直线l2：6x＋my＋1＝0，当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故A错误；若直线l1垂直于直线l2，则有3×6＋1×m＝0，解得m＝－18，故B正确；直线l1的斜率为－3，故倾斜角的正切值为－3，故C错误；若直线l1平行于直线l2，则解得m＝2，故D正确．故选BD. 6．已知△ABC的顶点A(5，5)，AC边上的高所在直线方程为3x＋2y－7＝0，则AC所在直线的方程为(　　) A．x－2y＋5＝0 B．2x－3y＋3＝0 C．x＋2y－15＝0 D．2x－3y＋5＝0 答案　D 解析　设AC边上的高所在直线的斜率为k1，则k1＝－.所以AC边所在直线的斜率存在，设为k2，因为AC边上的高与AC垂直，所以k1k2＝－1，所以k2＝.又A(5，5)，所以AC所在直线方程为y＝(x－5)＋5，整理为一般式得2x－3y＋5＝0.故选D. 7．已知直线ax＋by＋c＝0(a≠0，b≠0)的图象如图，则(　　) A．若c>0，则a>0，b>0 B．若c>0，则a<0，b>0 C．若c<0，则a>0，b<0 D．若c<0，则a>0，b>0 答案　D 解析　由ax＋by＋c＝0，知斜率k＝－， 直线在x轴、y轴上的截距分别为－，－. 由题图，得k<0，即－<0，∴ab>0. 又∵－>0，－>0，∴ac<0，bc<0. 若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0.故选D. 8．点M(1，2)在直线l上的射影是H(－1，4)，则直线l的方程为________，线段MH的垂直平分线的方程为________． 答案　x－y＋5＝0　x－y＋3＝0 解析　kMH＝＝－1，所以直线l的斜率为k＝1，方程为y－4＝x＋1，即x－y＋5＝0.由于线段MH的垂直平分线过MH的中点(0，3)，且斜率等于直线l的斜率，所以其方程为y－3＝x，即x－y＋3＝0. 9．已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0.求△ABC各边所在直线的方程． 解析　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE所在的直线y－1＝0上， ∴设B点坐标为(x，1)． 又∵A点坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得D点坐标为. 又∵点D在中线CD所在的直线x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， ∴B点坐标为(5，1)． 同理可求出C点的坐标是(－3，－1)． 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 10．菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4，7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(4，－1)． (1)求BC，AD边所在直线的一般式方程； (2)求对角线BD所在直线的一般式方程． 解析　(1)由菱形的性质可知BC∥AD，则kAD＝kBC＝kCP＝＝－2， 所以BC边所在直线的方程为y＋5＝－2(x－6)，即2x＋y－7＝0； AD边所在直线的方程为y－7＝－2(x＋4)，即2x＋y＋1＝0. (2)连接AC，设线段AC的中点为E，则E(1，1)，kAC＝＝－， 由菱形的几何性质，可知BD⊥AC且E为BD的中点，则kBD＝－＝， 所以对角线BD所在直线的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0. 11．已知平行四边形ABCD的顶点A(0，1)，边AB所在直线方程是x－y＋1＝0，对角线的交点为M(2，2)，边CD所在直线方程为(　　) A．x－y－1＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y－3＝0 答案　A 解析　由题意知AB∥CD，可设CD：x－y＋m＝0，m≠1，又对角线的交点为M(2，2)，A，C关于M对称，则C(4，3)，故4－3＋m＝0⇒m＝－1，所以CD：x－y－1＝0. 12．已知直线l1的方向向量为a＝(1，3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是(　　) A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0 答案　B 解析　易知直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为－k，又l1⊥l2，∴3×(－k)＝－1，∴k＝，∴l2的斜率为－，∴l2：x＋3y－15＝0. 13．【多选题】已知直线l1：x＋ay＋1＝0，l2：(a－1)x＋y＋a＝0，则下列说法正确的是(　　) A．当a＝1时，直线l1的倾斜角为135° B．当l1⊥l2时，a＝ C．若l1∥l2，则a＝－1 D．直线l1恒过(－1，0) 答案　ABD 解析　当a＝1时，直线l1：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，则倾斜角为135°，故A正确；l1⊥l2等价于a－1＋a＝0，解得a＝，故B正确；若l1∥l2，则a(a－1)－1＝0且a≠a－1，故a＝，故C错误；l1：x＋ay＋1＝0，当y＝0时，x＝－1，所以直线l1恒过(－1，0)，故D正确． 14．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0. (1)求证：直线l经过定点； (2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为原点，△AOB的面积为4，求直线l的方程； (3)若直线l不经过第三象限，求实数k的取值范围． 解析　(1)证明：直线方程可化为y－1＝k(x＋2)， 当x＝－2，y＝1时，方程对任意实数k恒成立， ∴直线l过定点(－2，1)． (2)由题意，知k≠0. 由直线l的方程，得A，B(0，1＋2k)， 由题意，知－<0，且1＋2k>0，∴k>0. ∵S△AOB＝|OA|·|OB|＝··(1＋2k)＝＝4， ∴k＝， ∴直线l的方程是x－2y＋4＝0. (3)当k＝0时，直线l：y＝1，满足条件； 当k≠0时，由(2)知直线l在x轴、y轴上的截距分别为－，1＋2k. 由直线l不经过第三象限，得－≥0，且1＋2k≥0， 解得－≤k<0. 综上所述，实数k的取值范围是. 15．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(2，3)，B(1，－2)，C(－8，1)． (1)求AB边的垂直平分线的一般式方程； (2)求∠BAC的平分线所在直线的一般式方程． 解析　(1)易知AB的中点为，∵kAB＝5， ∴AB边的垂直平分线的斜率为－， 由点斜式可知AB边的垂直平分线的方程为y－＝－， 变为一般式方程得x＋5y－4＝0. (2)∵＝(－1，－5)，＝(－10，－2)， ∴＝，＝， ∴＋＝， 即∠BAC的平分线所在直线的一个方向向量为n＝， 故∠BAC的平分线所在直线的斜率为1，由点斜式可知∠BAC的平分线所在直线的方程为y－3＝x－2，整理可得一般式方程为x－y＋1＝0. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $