2.1.2　两条直线平行和垂直的判定同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-更上层楼-探究发现”三级分层设计，实现从单一概念到综合应用再到实际探究的知识进阶，强化数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线平行/垂直判定、斜率计算|多选题辨析概念（如第1题），填空题强化运算（如第7题），夯实基础| |更上层楼|三角形垂直判断、直线与圆关系|结合几何图形综合考查推理（如第11题判断直角三角形），提升逻辑思维| |探究发现|平行四边形顶点坐标、矩形小路设计|实际情境问题（如第16题花园小路设计），培养模型意识与应用能力|

课时作业(十六) 1．【多选题】下列说法中正确的是(　　) A．若两条不重合直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2 B．若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等 C．若两条不重合直线l1，l2的斜率均不存在，则l1∥l2 D．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 2．经过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是(　　) A．4　　　　　　　　　 B．1 C．1或3 D．1或4 3．直线l1，l2的斜率分别为－，－，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 4．过点E(1，1)和点F(－1，0)的直线与过点M和点N的直线的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．相交或重合 5．【多选题】在满足下列条件的直线l1与l2中，l1⊥l2的是(　　) A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B．l1的斜率为－，l2经过点A(2，0)，B(3，) C．l1经过点P(2，1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1，2)，N(1，0) D．l1的方向向量为(1，m)，l2的方向向量为 6．【多选题】已知点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，那么下面四个结论中正确的是(　　) A．AB∥CD B．AB⊥CD C．AC∥BD D．AC⊥BD 7．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(－1，1)，C(0，2)，则BC边上的高所在直线的斜率为________，倾斜角为________． 8．已知点A(－2，－5)，B(6，6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则P点坐标为________． 9．在平面直角坐标系Oxy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状． 10．已知A(m，4)，B(－2，m)，C(1，1)，D(m＋2，3)四点． (1)若直线AB与直线CD平行，求m的值； (2)求证：无论m取何值，总有∠ACB＝90°. 11．【多选题】已知△ABC的顶点为A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)，则下列结论正确的有(　　) A．kAB＝－ B．kBC＝－ C．△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形 D．△ABC是以B点为直角顶点的直角三角形 12．过点与点(7，0)的直线l1和过点(2，1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为(　　) A．3 B．－3 C．－6 D．6 13．若不同两点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为(　　) A．135° B．45° C．30° D．60° 14．已知两条直线的斜率分别为和－，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为________． 15．已知▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)，则点D的坐标为________；试判断平行四边形ABCD是否为菱形________(填“是”或“否”)． 16．某矩形花园ABCD内需要铺两条笔直的小路，已知AD＝50 m，AB＝30 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，在线段BC上找一点M，使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(十六) 1．【多选题】下列说法中正确的是(　　) A．若两条不重合直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2 B．若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等 C．若两条不重合直线l1，l2的斜率均不存在，则l1∥l2 D．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 答案　ACD 解析　不重合直线的斜率相等，两条直线一定平行，A正确；l1，l2的斜率不一定存在，B不正确；当两条不重合直线斜率均不存在时，两条直线平行，C正确；D显然正确． 2．经过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是(　　) A．4　　　　　　　　　 B．1 C．1或3 D．1或4 答案　B 解析　由题意，知m≠－2，且＝1，解得m＝1. 3．直线l1，l2的斜率分别为－，－，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　由l1⊥l2⇔k1·k2＝－1， ∴·＝－1，∴a＝－，选A. 4．过点E(1，1)和点F(－1，0)的直线与过点M和点N的直线的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．相交或重合 答案　C 解析　易知k≠0，∵kEF＝，kMN＝＝，∴kEF＝kMN.又当k≠2时，EF与MN无公共点，∴EF∥MN；当k＝2时，点M与点F重合，∴EF与MN重合．故选C. 5．【多选题】在满足下列条件的直线l1与l2中，l1⊥l2的是(　　) A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B．l1的斜率为－，l2经过点A(2，0)，B(3，) C．l1经过点P(2，1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1，2)，N(1，0) D．l1的方向向量为(1，m)，l2的方向向量为 答案　BCD 解析　l1的倾斜角为45°，则其斜率为tan 45°＝1，所以l1∥l2或l1与l2重合，所以A不符合题意；l2经过点A(2，0)，B(3，)，则其斜率为kl2＝＝，因为－×＝－1，所以l1⊥l2，所以B符合题意；l1经过点P(2，1)，Q(－4，－5)，则有kPQ＝＝1，l2经过点M(－1，2)，N(1，0)，则有kMN＝＝－1，所以kPQ·kMN＝－1，所以l1⊥l2，所以C符合题意；l1的方向向量为(1，m)，则kl1＝m，l2的方向向量为，则kl2＝－，所以kl1·kl2＝－1，所以l1⊥l2，所以D符合题意．故选BCD. 6．【多选题】已知点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，那么下面四个结论中正确的是(　　) A．AB∥CD B．AB⊥CD C．AC∥BD D．AC⊥BD 答案　AD 解析　易知A，B，C，D四点不共线．∵kAB＝＝－，kAC＝＝，kCD＝＝－，kBD＝＝－4，∴kAB＝kCD，kAC·kBD＝－1，∴AB∥CD，AC⊥BD.故选AD. 7．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(－1，1)，C(0，2)，则BC边上的高所在直线的斜率为________，倾斜角为________． 答案　－1　135° 解析　设BC边上的高所在直线的斜率为k， 则有k·kBC＝－1.因为kBC＝＝1，所以k＝－1. 所以BC边上的高所在直线的倾斜角为135°. 8．已知点A(－2，－5)，B(6，6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则P点坐标为________． 答案　(0，－6)或(0，7) 解析　由∠APB＝90°，可知AP⊥PB，由题意知AP与PB的斜率都存在． 设P(0，y)，则有kAP＝，kBP＝. 由kAP·kBP＝－1，得·＝－1. 解得y＝－6或y＝7.即点P的坐标为(0，－6)或(0，7)． 9．在平面直角坐标系Oxy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状． 解析　由斜率公式，得kOP＝＝t， kQR＝＝＝t， kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－. ∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ， ∴OP∥QR，OR∥PQ， ∴四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR， ∴四边形OPQR为矩形． 10．已知A(m，4)，B(－2，m)，C(1，1)，D(m＋2，3)四点． (1)若直线AB与直线CD平行，求m的值； (2)求证：无论m取何值，总有∠ACB＝90°. 解析　(1)当直线AB的斜率不存在时，m＝－2，此时C(1，1)，D(0，3)， 则直线CD的斜率存在，故直线AB与直线CD不平行，故m≠－2； 同理可得m≠－1，所以直线AB与直线CD的斜率都存在． 直线AB的斜率为kAB＝，直线CD的斜率为kCD＝. 因为直线AB与直线CD平行，所以kAB＝kCD，即＝， 整理可得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1， 检验可知，当m＝0或m＝1时，直线AB与直线CD平行，故m＝0或m＝1. (2)证明：＝(1－m，－3)，＝(3，1－m)，则·＝3(1－m)－3(1－m)＝0， 所以无论m取何值，总有∠ACB＝90°. 11．【多选题】已知△ABC的顶点为A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)，则下列结论正确的有(　　) A．kAB＝－ B．kBC＝－ C．△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形 D．△ABC是以B点为直角顶点的直角三角形 答案　AC 解析　因为A(－1，1)，B(2，－1)，所以kAB＝＝－，所以A正确；因为B(2，－1)，C(1，4)，所以kBC＝＝－5≠－，所以B错误；因为kAB＝－，kAC＝＝，所以kAB·kAC＝－×＝－1，所以AB⊥AC，所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，D错误． 12．过点与点(7，0)的直线l1和过点(2，1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为(　　) A．3 B．－3 C．－6 D．6 答案　A 解析　由题意知l1⊥l2，即kl1·kl2＝×＝－1，解得k＝3.故选A. 13．若不同两点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为(　　) A．135° B．45° C．30° D．60° 答案　B 解析　若a＝b－1，则b＝a＋1，此时P，Q重合，不符合题意，连接PQ，则PQ的斜率存在且不为0.由题意知kl·kPQ＝－1，kPQ＝＝－1，∴kl＝1，即l的倾斜角为45°.故选B. 14．已知两条直线的斜率分别为和－，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为________． 答案　 解析　因为两条直线互相平行，所以＝－，所以a＝－b4＋b2＝－＋≤，当b2＝时取等号，故实数a的最大值为. 15．已知▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)，则点D的坐标为________；试判断平行四边形ABCD是否为菱形________(填“是”或“否”)． 答案　(－1，6)　是 解析　设D(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，易知四条边所在的直线斜率均存在，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以解得所以D(－1，6)．连接AC，BD，因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． 16．某矩形花园ABCD内需要铺两条笔直的小路，已知AD＝50 m，AB＝30 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，在线段BC上找一点M，使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直． 解析　如图所示，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系． 由AD＝50 m，AB＝30 m，可得C(50，0)，D(50，30)，A(0，30)． 设点M的坐标为(x，0)(0≤x≤50)，因为AC⊥DM，且直线AC的斜率存在，所以直线DM的斜率存在，且kAC·kDM＝－1，所以·＝－1，解得x＝32∈[0，50]，即当BM＝32 m时，两条小路所在直线AC与DM相互垂直． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $