精品解析：甘肃兰州市永登县第六中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学

2025～2026学年度第二学期期末考试 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设为坐标原点， ， 所以点的坐标为. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的运算性质化简已知等式，再通过复数的除法运算法则求出. 【详解】由可得， 可得. 故选：D. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 4. 已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则进行求解计算即可. 【详解】由斜二测画法规则可知，其水平放置的直观图是底为4，高为的平行四边形， 所以直观图的面积为. 5. 已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件定义判断可得答案. 【详解】若，则存在，使得，又，所以，可得， 故“”是“”的充分条件； 若，且，则可能在平面内，得不到， 故“”不是“”的必要条件． 综上，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 6. 如图，在正方体中，P是的中点，则异面直线与CP所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取AB的中点Q，则或其补角是异面直线与CP所成角，设，由余弦定理可得答案. 【详解】如图，取AB的中点Q，连接PQ，CQ，因为， 所以四边形是平行四边形，则， 所以或其补角是异面直线与CP所成角， 设，则， 在中，由余弦定理得. 故选：A. 7. 一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D. 【详解】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为， 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点， 由题意共3个样本点，共9个样本点， 共14个样本点，共6个样本点， 所以，故A与D不互斥，故A错误； ，故B与C不互斥，故B错误； 因为，一个样本点， 所以，即，故C错误； ，故D正确. 故选：D 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式化简可得，由余弦函数性质可得，再利用正弦定理及二倍角公式化简计算即可求解. 【详解】由题意得， 即， 因为，，则，且余弦函数在上单调递减， 所以，即， 又，所以， 又，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的加减、乘法运算及复数的几何意义求解判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，， ，所以，故D正确． 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则为等腰的三角形 【答案】AC 【解析】 【详解】若，则，由正弦定理得，故A正确； 因为，满足这组条件的三角形不存在，故B错误； 若，由正弦定理得， 由余弦定理得，则角为钝角，则是钝角三角形，故C正确； 若，而为三角形内角， 则或，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，D错误． 11. 已知正方体的棱长为1，分别为的中点，动点在侧面内运动（包含边界），且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 正方体的内切球的体积为 B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 动点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题设可得内切球半径，据此可判断选项正误；对于B，注意到，与平面相交，据此可判断选项正误；对于CD，由面面平行判定及性质定理可作出轨迹，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，因正方体棱长为1，则正方体内切球半径为， 则内切球体积为，故A正确； 对于B，注意到，与平面相交，从而与平面相交，故B错误； 对于CD，如图，取中点为，连接，由题设可得， 又平面，平面，则平面平面. 由题可得平面平面，则平面与平面的交线平行于平面与平面的交线， 注意到且过点，则平面与平面的交线为， 则当时，平面， 则轨迹为线段，长度为，故D正确. 因平面平面，平面，则平面， 则到平面距离为定值，从而为定值，故C正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】 因为圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形， 所以圆锥的母线长为， 则该圆锥的侧面积为． 13. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间共10个基本事件，即 用表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，则共4个基本事件，即 所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率． 故答案为：. 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行坐标表示可得，然后由向量的模计算公式可得答案； （2）由向量加减法坐标运算结合向量垂直坐标表示可得，然后由向量夹角坐标计算公式可得答案. 【小问1详解】 因，， 则， 从而； 【小问2详解】 ，因， 则，从而. 则向量与的夹角的余弦值为 . 16. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） , （3） 【解析】 【小问1详解】 由得. 【小问2详解】 由得. 代入得. 又，则，故，. 【小问3详解】 ，，则. 由知， . . 又，故. 17. 小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； （2）求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的内涵进行求解即可. （2）分别求出在两轮比赛中，小张、小胡答对题目个数为的概率，然后概率之积求得结果. 【小问1详解】 记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件， 所以，即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为． 【小问2详解】 记“小张在两轮比赛中答对题”为事件， “小胡在两轮比赛中答对题”为事件， “在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件， 所以，， ，， 所以， 即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为． 18. 若，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求，； （3）若的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合辅助角公式整理，求解角； （2）利用三角形面积公式得到的值，再结合余弦定理建立方程求解和； （3）利用向量中线公式和向量数量积公式得到关于、的等式， 再利用求解. 【小问1详解】 由题意知中，，由正弦定理边角关系得： ， ， ，，， ，， 又，，所以，即. 【小问2详解】 由，，得. 由余弦定理得， 则，所以， 解得. 【小问3详解】 在中，为中线，， ，. ，，， ， ， ， . 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长. 【答案】（1）证明：取AB的中点F，连接PF，因为是边长为2的等边三角形， 所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求证平面即可得证； （2）取BF的中点O，连接EO， 过点E作，垂足为G，连接OG，求证平面得到为二面角的平面角，求出即可得解； （3）先求证平面得到点M不同于点C，过点M作，垂足为H，进而求证平面得直线EM与平面所成的角为，设，由得到，再由即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取BF的中点O，连接EO，因为E为线段PB的中点， 所以，， 由（1）知，平面，又平面，所以，所以. 过点E作，垂足为G，连接OG，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为平面，又平面，所以， 又，所以， 所以，即，解得. 因为平面，平面，所以， 又，所以，所以， 所以， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 因为平面，平面，所以， 又是边长为2的等边三角形，点E是棱PB的中点，所以， 又，平面，所以平面. 显然点M不同于点C，过点M作，垂足为H，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，所以直线EM与平面所成的角为. 设，所以，， 在中，， 所以，即， 所以，所以， 解得或（舍），即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末考试 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 如图，在正方体中，P是的中点，则异面直线与CP所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则为等腰的三角形 11. 已知正方体的棱长为1，分别为的中点，动点在侧面内运动（包含边界），且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 正方体的内切球的体积为 B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 动点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______． 13. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______． 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值． 16. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）若，且，求的值． 17. 小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； （2）求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 18. 若，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求，； （3）若的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $