甘肃临夏回族自治州2025-2026学年高一下学期7月期末质量监测数学试题

2025-2026学年度春季学期期末质量监测 高一 数学 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A D A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）因为，，与的夹角， 所以． 3分 又， 4分 所以． 6分 （2）因为向量与向量互相垂直，所以， 8分 所以， 10分 由（1）知，又，，所以，， 12分 所以． 13分 16．【解析】（1）由正弦定理可知，，得． 2分 已知，所以， 4分 得，又，， 5分 所以，故． 6分 （另：因为，则当，此时（舍去）；当时，．） （2）因为，，，由余弦定理， 7分 得， 8分 整理得，解得或． 10分 由三角形面积公式，， 12分 当时，； 13分 当时，． 14分 综上所述，的面积为或． 15分 17．【解析】（1）根据频率分布直方图可知， ， 3分 解得． 5分 （2）设样本容量为，因为内的模型频数为20，频率为0.2， 7分 所以，解得． 9分 （3）由题意知，和两组的模型频数比为，共抽取6个模型， 所以中应抽取模型4个，记为，，，；中应抽取模型2个，记为甲，乙． 11分 对应的样本空间：,， 共15个样本点． 12分 设事件“2个模型来自同一组”， 则， 共7个样本点． 13分 所以． 15分 18．【解析】（1）． 2分 （2），． 所以 3分 ． 4分 所以最小正周期． 5分 由，，得，． 7分 所以的单调递增区间为，． 9分 （3）由，得，即， 因为，所以，所以，解得． 11分 解法一：在中，由正弦定理得，， 则，， 12分 因为，所以，，其中． 13分 ． 14分 因为，所以，所以， 16分 所以，所以的取值范围为． 17分 解法二：由余弦定理得，，所以， 12分 即，． 因为，即，， 13分 即，当且仅当时取等号． 14分 又在中，， 16分 所以的取值范围为． 17分 19．【解析】（1）在矩形中，可得， 所以，所以． 2分 因为平面平面，平面， 3分 平面平面，所以平面． 4分 （2）如图，取的中点，连接，． 因为为等腰直角三角形，所以． 5分 又平面平面，平面平面， 所以平面． 7分 所以即为直线与平面所成的角． 8分 在等腰直角中，． 在梯形中，． 在中，由余弦定理得， ． 9分 在中，． 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 10分 （3）（i）存在，．证明如下： 如图，连接交于点，因为，，所以． 11分 取为的三等分点，使得， 连接，则． 12分 又平面，平面，所以平面．此时，， 所以存在使得平面． 13分 （ii）由（2）知，点到平面的距离为， 因为点在上，且， 所以点到平面的距离为． 14分 又． ． 15分 由题意，即， 16分 得．因为，所以，所以，解得． 综上，的取值范围为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度春季学期期末质量监测 高一 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，在某智能仓储的方格导航系统中，取水平向右、竖直向上分别为单位向量，的方向．某自动导引车的两次移动路径对应向量，，则（ ） A． B． C． D． 5．某航空制造企业对发动机精密配件开展两次探伤质检，配件首次探伤合格的概率为，首次探伤不合格的配件使用高精仪器复测，复测合格的概率为．配件只有两次检验都不合格才做报废处理，任意一次检验合格即可装机使用，则该配件可正常装机的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知，，则（ ） A． B． C． D． 7．如图是一个正四棱台形的石墩，已知它的上底面面积为，下底面面积为，侧棱长为，则这个石墩的体积为（ ） A． B． C． D． 8．某快递站智能分拣系统，统计3条分拣线的包裹状态如下： 项目 分拣线① 分拣线② 分拣线③ 总计 标准件包裹 18件 12件 10件 40件 特殊件包裹 8件 6件 6件 20件 总计 26件 18件 16件 60件 若从中任意抽取一件包裹，则该包裹是特殊件包裹或是分拣线③的包裹的概率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ） A． B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 10．在中，若，，，则（ ） A． B．的外接圆半径 C． D．若点为上一动点，则为定值 11．已知是棱长为的正方体，则（ ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，是方程的两根，则__________． 13．某长方体零件的所有顶点都在球形保护罩内壁上，该长方体同一顶点处的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________． 14．如图所示，，，三点在同一水平地面上，已知平面，测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，，且与的夹角． （1）求的值； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 16．（15分）在中，，，分别是角，，所对的边，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17．（15分）某AI训练平台对一批智能对话模型进行性能测试，随机抽取部分模型的响应流畅度指标值作为样本，指标值范围为，将所得数据分成6组：，，，，，并绘制出如下频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知样本中，响应流畅度指标值在内的模型频数为20，求该样本的容量； （3）平台计划从响应流畅度指标值在和的模型中，采用按比例分配的分层抽样方法抽取6个模型，再从这6个模型中随机选取2个进行深度优化，求这2个模型恰好来自同一组的概率． 18．（17分）已知为坐标原点，定点，动点，函数． （1）求； （2）求的最小正周期和单调递增区间； （3）记的内角，，的对边分别为，，，若，，求的取值范围． 19．（17分）如图（1），在矩形中，，为的中点，将沿折起，使折起后的平面与平面垂直，如图（2）．在图（2）所示的几何体中： （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点在上，且． （i）是否存在，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （ii）若三棱锥的体积，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $