13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（导学练）2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学导学案聚焦三角形中线、角平分线、高的概念、画法及性质，通过自主预习（定义填空、几何语言表述）与课堂探究（动手画图、分层追问）衔接，预习奠定基础，探究针对钝角三角形高的画法等难点，构建从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于注重概念辨析培养抽象能力，通过画图操作和问题推理发展几何直观与推理意识，习题分层且结合生活实例提升应用意识，助力学生理解知识本质，培养数学思维与实践能力。

13.2.2三角形的中线、角平分线、高 【学习重、难点】 1.三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。 2.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对边，这是学生认知的难点。 3.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三角形的高”（线段）与“点到直线的距离”。 【自主预习】阅读教材P7-P8，完成以下问题： 1.三角形的中线 定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。三角形的中线是线段 几何语言： ∵是中边上的中线(已知) ∴ (三角形中线的定义) 三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 2.三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.角平分线是射线，三角形的角平分线是线段 几何语言： ∵是中的平分线(已知) ∴， (三角形角平分线的定义) 3.三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。三角形的高是线段，而垂线是直线 几何语言： ∵是中边上的高(已知) ∴或或 (三角形高的定义) 【课堂探究】阅读教材P7--P8，完成以下问题： 自主探究一、三角形的中线 1.画一画：分别画出下列三角形的所有中线 【归纳总结】：三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 2.中线分周长问题 追问1：观察图形与之差与,之间有怎样的数量关系 ∵, , ∴ 规律与方法： 三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外边之差. 3.中线分面积问题 追问2：观察图形与之间有怎样的数量关系 ∵,, ∴ 规律与方法: 三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分 自主探究二、三角形的角平分线 1.画一画：分别画出下列三角形的所有角平分线 归纳总结：三角形的三条角平分线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心 自主探究三、三角形的高 1.锐角三角形的高 追问3：请画出锐角三角形的三条高 边BC边上的高是 AD ; 边AB边上的高是 CF ; 边AC边上的高是 BE ; 追问4：锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 追问5：这三条高之间有怎样的位置关系 锐角三角形的三条高交于三角形内部一点； 2.直角三角形的高 追问6：请画出直角三角形的三条高 边BC边上的高是 AB ; 边AB边上的高是 BC ; 边AC边上的高是 BD ; 追问7：直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 直角三角形的两条高在三角形的两直角边上,另一条高在三角形内部 追问8：这三条高之间有怎样的位置关系 直角三角形的三条高交于直角三角形直角顶点处； 3.钝角三角形的高 追问9：请画出钝角三角形的三条高 边BC边上的高是 AD ; 边AB边上的高是 CE ; 边AC边上的高是 BF ; 追问10：钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 钝三角形的两条高在三角形的外部，另一条高在三角形内部 追问11：这三条高之间有怎样的位置关系 钝角三角形的三条高不交于某一点； 钝角三角形的三条高的延长线交于三角形外部一点 【归纳总结】：三角形的三条高的特性 三角形的三条高所在直线的交点叫作三角形的 垂心 . 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的中线和重心 1.如图所示,分别是的边,的中点,则下列说法不正确的是( C ) A.是的中线 B.是的中线 C., D. 2.如图，有一个厚薄均匀的三角 形硬纸板， 在硬纸板上选一点，并钻一个小孔，穿过小 孔系一条线将硬纸板吊起，若三角形硬纸板 处于平衡状态，则这一点可能是( B ) A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 3.已知、分别是的边、上的中线 ,，则= 3 ,= 5 . （3题图） （4题图） 4.如图,AD是△ABC 的中线. (1)若AB=8 cm,AC=5 cm,则△ABD与△ACD的周长之差为_3__ (2)若△ABC的面积为24 cm²,则△ACD的面积为 12 . 知识点2：三角形的角平分线 5.如图，在△ABC中，AD,CE是△ABC的角平分线，∠BAC=60°,∠ACE=40°,则∠DAC= 30 °,∠BCE= 40 °,∠ACB= 80 ° （5题图） （6题图） 6.如图，若AD是△ABC的角平分线，则下列结论不正确的是( C ) A.AD平分∠BAC B.∠BAD=∠CAD C.BD=CD D.∠BAC=2∠BAD 7.三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的( A ) A.内部 B.外部 C.一边上 D.不确定 知识点3：三角形的高 8.如图,在△ABC中，AC边上的高是( A ) A. BE B. AF C. CD D. CF 9.如图,用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是( C ) A B C D 10.如图,线段BE是△ABC的高的是( D ) A B C D 11.如图，已知△ABC,试作出△ABC的三条高 (1)从图中可以看出，钝角三角形有 2 条高在三角形的外部 1 条高在三角形的内部. (2)延长△ABC 的三条高，发现三条高所在的直线 交于 (填“交”或“不交”)于一点. （11题图） （12题图） 12如图，在△ABC中，∠ACB=90°, (1)图中边BC上的高为 AC ,边AC上的高为 BC (2)画出边AB上的高CD (3)若BC=3,AC=4,AB=5,求边AB上的高CD的长. 解： ∵ BC=3,AC=4,AB=5 ∴ ∴ ∴=2.4 13.如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6 cm, AC=8 cm,BC=10 cm, ∠CAB=90°.试求； (1)AD的长；(2)△ABE的面积；(3)△ACE 和△ABE的周长的差. 解：（1） ∵ AB=6 cm, AC=8 cm,BC=10 cm ∴ ∴ ∴A （2） ∵ AE是中线，BE= BC=5cm,中线平分三角形面积 ∴= = （3）∵, ,,CE=BE（中线） ∴ 【变式训练】 14.如图，在中，边上的中线把的周长分成和两部分，,则= 。 15.在中,，是的中线，把的周长分成两部分，若其差为，则AB的长为 或 规律与方法：无图时，注意分类讨论 16.在△ABC中，∠B= 45°,三角形的高AD与高BE所在直线交于点H,点H在△ABC的外部，以下对∠C的描述正确的是( C ) A.∠C是锐角 B.∠C 是直角 C.∠C 是钝角 D.∠C 是锐角或钝角 17.下列说法正确的是 ②④ . (填序号) ①三角形的角平分线是射线 ②三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且相交于一 点 ③三角形的三条高都在三角形的内部 ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分. 18.(教材习题P10·T7变式)如图，AD，BE是△ABC的高，AC=5，BC=4，AD=4，求BE的长. 解:（等面积法） = ∵AC=5，BC=4，AD=4 ∴ ∴ 19.(教材习题P10·T8变式)如图，D是△ABC中边BC上的一点，DE//AC交AB于点E.若∠EDA=∠EAD,求证：AD是△ABC的角平分线. 证明:∵DE∥AC（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵∠EDA=∠EAD（已知） ∴（等量代换） ∴AD是的角平分线（角平分线定义） 20.如图，已知分别是的中线，，，，．试求： (1)求作边的高，并求的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． (4)，，求的度数． 解:（1）作图如下高线即为所求， ∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴ ． ∵是边上的高，， ∴， ∴，即， 即的长度为 （2）∵是中线，∴， ∴根据高相同，面积之比等于底之比， 有； （3）∵是中线，∴， ∵的周长与的周长的差为： ∵，， ∴． （4）：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【课堂总结】 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 【学习重、难点】 1.三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。 2.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对边，这是学生认知的难点。 3.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三角形的高”（线段）与“点到直线的距离”. 【自主预习】阅读教材P7-P8，完成以下问题： 1.三角形的中线 定义：三角形中，连结一个 和它对边 的线段叫三角形的中线。三角形的中线是 几何语言： ∵ (已知) ∴ (三角形中线的定义) 三角形的三条中线会 ,交点在三角形的 三角形三条中线的交点叫作三角形的 2.三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的 与 之间的线段叫三角形的角平分线.角平分线是 ，三角形的角平分线是 几何语言： ∵ (已知) ∴ (三角形角平分线的定义) 3.三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作 ， 和 之间的线段叫三角形的高。三角形的高是 ，而垂线是 几何语言： ∵ (已知) ∴ (三角形高的定义) 【课堂探究】阅读教材P7--P8，完成以下问题： 自主探究一、三角形的中线 1.画一画：分别画出下列三角形的所有中线 【归纳总结】：三角形的三条中线会 ,交点在三角形的 .三角形三条中线的交点叫作三角形的 2.中线分周长问题 追问1：观察图形与之差与,之间有怎样的数量关系 ∵, , ∴ 规律与方法： 三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外边之 . 3.中线分面积问题 追问2：观察图形与之间有怎样的数量关系 ∵,, ∴ 规律与方法: 三角形的任意一条中线将三角形分成 的两部分 自主探究二、三角形的角平分线 1.画一画：分别画出下列三角形的所有角平分线 归纳总结：三角形的三条角平分线会 ,交点在三角形的 .三角形三条角平分线的交点叫作三角形的 自主探究三、三角形的高 1.锐角三角形的高 追问3：请画出锐角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 追问4：锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 追问5：这三条高之间有怎样的位置关系 2.直角三角形的高 追问6：请画出直角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 追问7：直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 追问8：这三条高之间有怎样的位置关系 3.钝角三角形的高 追问9：请画出钝角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 追问10：钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 追问11：这三条高之间有怎样的位置关系 【归纳总结】：三角形的三条高的特性 三角形的三条高所在直线的交点叫作三角形的 . 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的中线和重心 1.如图所示,分别是的边,的中点,则下列说法不正确的是( ) A.是的中线 B.是的中线 C., D. 2.如图，有一个厚薄均匀的三角 形硬纸板， 在硬纸板上选一点，并钻一个小孔，穿过小 孔系一条线将硬纸板吊起，若三角形硬纸板 处于平衡状态，则这一点可能是( ) A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 3.已知、分别是的边、上的中线 ,，则= ,= . （3题图） （4题图） 4.如图,AD是△ABC 的中线. (1)若AB=8 cm,AC=5 cm,则△ABD与△ACD的周长之差为____ (2)若△ABC的面积为24 cm²,则△ACD的面积为 . 知识点2：三角形的角平分线 5.如图，在△ABC中，AD,CE是△ABC的角平分线，∠BAC=60°,∠ACE=40°,则∠DAC= °,∠BCE= °,∠ACB= ° （5题图） （6题图） 6.如图，若AD是△ABC的角平分线，则下列结论不正确的是( ) A.AD平分∠BAC B.∠BAD=∠CAD C.BD=CD D.∠BAC=2∠BAD 7.三角形的三条角平分线 的交点一定在三角形的( ) A.内部 B.外部 C.一边上 D.不确定 知识点3：三角形的高 8.如图,在△ABC中，AC边上的高是( ) A. BE B. AF C. CD D. CF 9.如图,用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是( ) A B C D 10.如图，已知△ABC,试作出△ABC的三条高 (1)从图中可以看出，钝角三角形有 条高在三角形的外部 条高在三角形的内部. (2)延长△ABC 的三条高，发现三条高所在的直线 (填“交”或“不交”)于一点. （10题图） （11题图） 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°, (1)图中边BC上的高为 ,边AC上的高为 (2)画出边AB上的高CD (3)若BC=3,AC=4,AB=5,求边AB上的高CD的长. 【变式训练】 12.在△ABC中，∠B= 45°,三角形的高AD与高BE所在直线交于点H,点H在△ABC的外部，以下对∠C的描述正确的是( ) A.∠C是锐角 B.∠C 是直角 C.∠C 是钝角 D.∠C 是锐角或钝角 13.下列说法正确的是 . (填序号) ①三角形的角平分线是射线 ②三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且相交于一 点 ③三角形的三条高都在三角形的内部 ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分. 14.(教材习题P10·T7变式)如图，AD，BE是△ABC的高，AC=5，BC=4，AD=4，求BE的长. 15.(教材习题P10·T8变式)如图，D是△ABC中边BC上的一点，DE//AC交AB于点E.若∠EDA=∠EAD,求证：AD是△ABC的角平分线. 16.如图，已知分别是的中线，，，，．试求： (1)求作边的高，并求的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． (4)，，求的度数． 【课堂总结】 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 【学习重、难点】 1.三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。 2.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对边，这是学生认知的难点。 3.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三角形的高”（线段）与“点到直线的距离”. 【自主预习】阅读教材P7-P8，完成以下问题： 1.三角形的中线 定义：三角形中，连结一个 和它对边 的线段叫三角形的中线。三角形的中线是 几何语言： ∵ (已知) ∴ (三角形中线的定义) 三角形的三条中线会 ,交点在三角形的 三角形三条中线的交点叫作三角形的 2.三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的 与 之间的线段叫三角形的角平分线.角平分线是 ，三角形的角平分线是 几何语言： ∵ (已知) ∴ (三角形角平分线的定义) 3.三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作 ， 和 之间的线段叫三角形的高。三角形的高是 ，而垂线是 几何语言： ∵ (已知) ∴ (三角形高的定义) 【课堂探究】阅读教材P7--P8，完成以下问题： 自主探究一、三角形的中线 1.画一画：分别画出下列三角形的所有中线 【归纳总结】：三角形的三条中线会 ,交点在三角形的 .三角形三条中线的交点叫作三角形的 2.中线分周长问题 追问1：观察图形与之差与,之间有怎样的数量关系 ∵, , ∴ 规律与方法： 三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外边之 . 3.中线分面积问题 追问2：观察图形与之间有怎样的数量关系 ∵,, ∴ 规律与方法: 三角形的任意一条中线将三角形分成 的两部分 自主探究二、三角形的角平分线 1.画一画：分别画出下列三角形的所有角平分线 归纳总结：三角形的三条角平分线会 ,交点在三角形的 .三角形三条角平分线的交点叫作三角形的 自主探究三、三角形的高 1.锐角三角形的高 追问3：请画出锐角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 追问4：锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 追问5：这三条高之间有怎样的位置关系 2.直角三角形的高 追问6：请画出直角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 追问7：直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 追问8：这三条高之间有怎样的位置关系 3.钝角三角形的高 追问9：请画出钝角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 追问10：钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 追问11：这三条高之间有怎样的位置关系 【归纳总结】：三角形的三条高的特性 三角形的三条高所在直线的交点叫作三角形的 . 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的中线和重心 1.如图所示,分别是的边,的中点,则下列说法不正确的是( ) A.是的中线 B.是的中线 C., D. 2.如图，有一个厚薄均匀的三角 形硬纸板， 在硬纸板上选一点，并钻一个小孔，穿过小 孔系一条线将硬纸板吊起，若三角形硬纸板 处于平衡状态，则这一点可能是( ) A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 3.已知、分别是的边、上的中线 ,，则= ,= . （3题图） （4题图） 4.如图,AD是△ABC 的中线. (1)若AB=8 cm,AC=5 cm,则△ABD与△ACD的周长之差为____ (2)若△ABC的面积为24 cm²,则△ACD的面积为 . 知识点2：三角形的角平分线 5.如图，在△ABC中，AD,CE是△ABC的角平分线，∠BAC=60°,∠ACE=40°,则∠DAC= °,∠BCE= °,∠ACB= ° （5题图） （6题图） 6.如图，若AD是△ABC的角平分线，则下列结论不正确的是( ) A.AD平分∠BAC B.∠BAD=∠CAD C.BD=CD D.∠BAC=2∠BAD 7.三角形的三条角平分线 的交点一定在三角形的( ) A.内部 B.外部 C.一边上 D.不确定 知识点3：三角形的高 8.如图,在△ABC中，AC边上的高是( ) A. BE B. AF C. CD D. CF 9.如图,用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是( ) A B C D 10.如图，已知△ABC,试作出△ABC的三条高 (1)从图中可以看出，钝角三角形有 条高在三角形的外部 条高在三角形的内部. (2)延长△ABC 的三条高，发现三条高所在的直线 (填“交”或“不交”)于一点. （10题图） （11题图） 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°, (1)图中边BC上的高为 ,边AC上的高为 (2)画出边AB上的高CD (3)若BC=3,AC=4,AB=5,求边AB上的高CD的长. 【课堂总结】 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $