25.2.3因式分解法解一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，课堂导入先复习直接开平方法、配方法、公式法等已学解法，再回顾提取公因式、公式法、十字相乘法等因式分解知识，通过物体竖直上抛问题引导学生思考，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际问题驱动探究，体现数学眼光从现实世界发现数量关系，通过对比配方法、公式法与因式分解法的解题过程培养推理意识和运算能力，典例及练习覆盖多种因式分解类型并以表格总结方法特点，帮助学生理解解法本质、学会选择合适方法，教师可据此高效开展教学。

第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 25.2 降次-----解一元二次方程 学习目标 1.了解因式分解法，会用因式分解法解一元二次方程. 2.能根据具体一元二次方程的特征，选择合适的解法，体会解决问题的多样性． 复习引入 思考1：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 1.直接开平方法： 2.配方法： 3.公式法： =a(a≥0)或(m+n)2=a(a≥0) (+n)2=p(p≥0) = （b2–4ac≥0） 复习引入 思考2：因式分解的方法有哪些？ （1）提取公因式法： am+bm+cm = m(a+b+c) （2）公式法： a2−b2 = (a+b)(a−b) a2 ± 2ab +b2 = (a±b)2 （3）十字相乘法： x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q) 探究新知 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）约为： 10x − 5x2 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 分析：设物体经过 s落回地面，这时它离地面的高度为0 m. 即 10–5=0. 你能试着用学过的方法解这个方程吗？ 探究新知 配方法解方程 10–5=0. 公式法解方程 10–50. 解：移项，二次项系数化为1，得 配方，得 –2+12=12， (–1)2=1. –1=1或 = 0，= 2. 解：因为a= – 5，b=10，c=0， Δ=b2–4ac=102–4×(–5)×0=100>0. 方程有两个不相等的实数根 = = =， 即= 0，= 2. 你还有更简便的方法解这个方程吗？ 探究新知 10x–5x2=0. 因式分解 5x(2–x)=0. 降次，化为两个一次方程 x=0或2–x=0. 解方程 x1=0，x2=2. 如果 ab=0. 那么a=0，或b=0. 对于这两个根，x1=表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而表示物体在抛离地面2 s时落回地面. 探究新知 思考： 解方程10x − 5x2 = 0 时，二次方程是如何降为一次的？ 解方程10x − 5x2 = 0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 探究新知 用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)移项：将方程的右边化为0； (2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解. 例4 解下列方程： （1）–2)+–2 = 0； （2）5–2– = –2 + . 解：左边分解因式，得 – 2=0，或 +1=0， 即 =2，= – 1. 解：移项、合并同类项，得 4–1=0. 左边分解因式，得 (2+1)(2–1)=0. 2+1=0，或2–1=0， 即 = – ，= . 典例解析 思考： 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的意义 x2=n (n≥0) 或(ax+b)2=n (a≠0，n≥0) 型方程. 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程. 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程. 配方 解法烦琐，当二次项系数为 1 或常数项较大时，用此法较简单. 公式法 配方 所有一元二次方程. 代入求根公式 对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误. 因式分解法 若 ab=0， 则 a=0 或 b=0 能化为一边为 0，另一边为两个一次式积的形式的方程. 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围较小. 解一元二次方程的基本思路：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 课堂练习 1、用因式分解法解下列方程． (1)7x(3－x)＝2(x－3)； 解：移项，得 −7x(x－3)−2(x－3) = 0. 因式分解，得(x−3)(−7x−2) = 0. 于是 x−3 =0或−7x−2 =0, 即 x1= 3x2= . 课堂练习 (2)16(x－7)2－9(x＋2)2＝0. 解：变形为平方差形式：[4(x－7)]2－[3(x+2)]2 = 0 . 得 [4(x－7) + 3(x+2)] [4(x－7)－3(x+2)] = 0 . 于是4(x－7) + 3(x+2) =0 或4(x－7)－3(x+2) =0, 即 x1= x2= . 1.解下列方程： 【选自教材第14页 练习 第1题】 （1） （2）–2 = 0； 解：左边分解因式，得 于是 ，或 即=0，= – 1. 解：左边分解因式，得 (–2)=0. 于是 0，或 –2=0， 即=0，= 2. 课堂练习 （3）3– 6 = –3； （4）4 – 81 = 0； 解：方程变形，得 3(–2+1)=0. 左边分解因式，得 3(–1)2=0. 于是 –1=0，即 =1. 解：左边分解因式，得 (2+9)(2–9)=0. 于是 2+9=0，或 2–9=0， 即 = – ，= . 课堂练习 （5） （6）(–4)2 = (5–)2 . 解：方程变形，得 6–2=0. 左边分解因式，得 (2+1)(3–2)=0. 于是2+1=0，或 3–2=0， 即 = – ，= . 解：左边分解因式，得 [(–4)+(5–2)][(–4)–(5–2)]=0， (1–)(3–9)=0. 于是1–0，或 3–9=0， 即 =1，=3. 课堂练习 2.如图，把圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4 .求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为 x m，则大圆形场地的半径为 (+5) m. 由题意，得π(5)2=π. 可化为(+5)2=，(+5)2 – ()2=0， [(+5)+][(+5)–]=0，即(+5)(5–)=0. 所以 = –2（不合题意，舍去），=10. 答：小圆形场地的半径为10 m. 课堂练习 课堂小结 因式分解法解一元二次方程 解法步骤 (1)移项：将方程的右边化为0； (2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解. 先对方程ax²+bx+c=0（a≠0）的左边分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 定义 $