第7板块 数列 考前必背知识清单及解题技巧 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了数列板块四大核心模块，包括数列的概念、等差数列及其前n项和、等比数列及其前n项和、数列求和，涵盖定义、公式、性质、递推关系及求和方法等知识范畴，构建完整的数列知识体系。 清单采用“必背知识+解题技巧”双栏设计，必背知识部分以表格形式清晰呈现核心概念，如数列的表示方法、aₙ与Sₙ的关系公式；解题技巧部分分类提炼14类递推数列构造方法和33个裂项技巧，如累加法、不动点法，并标注高频考点如等差数列“m+n=p+q则aₘ+aₙ=aₚ+a_q”性质，培养学生的数学思维与推理能力。特设易错点警示，如等比数列求和需讨论q=1的情况，配例题解析与应用提示，帮助学生用数学语言精准表达问题，教师可据此优化复习策略，提升学生自主复习效率。

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 考前必背知识及解题技巧 第7板块 数 列 第31讲　数列的概念 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 2. 数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 通项公式法 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 递推 公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4. 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中 n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 5. 斐波那契数列 1.定义:若一个数列,首两项等于1,而从第三项起,每一项是之前两项之和,则称该数列为斐波那契数列.例:1,1,2,3,5,8,13,…. 2.斐波那契数列的递推公式 3.斐波那契数列的通项公式an=. 4.斐波那契数列的性质 (1)++…+=Fn×Fn+1; (2)a1+a3+a5+…+a2n-1=a2n; (3)a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1-1; (4)a1+a2+a3+a4+…+an=Sn=an+2-1. (Sn为斐波那契数列的前n项和) ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 在数列{an}中,若an最大,则，若an最小,则 2. 由数列的前几项求数列通项公式的策略 (1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 3. 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列求解；当出现an＋1＝时，构造等差数列求解． 4. Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． ②利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 5. 应用公式an＝求数列通项公式时应注意验证a1是否符合一般规律． 6. 形如an+1=an+f(n)的递推关系式,可利用累加法求和,特别注意能消去多少项,保留多少项. 7. 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为=f(n)的形式,可用累乘法,也可用an=··…··a1代入求出通项. 8. 解决数列单调性问题的三种方法 (1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列. (2)用作商比较法,根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断. (3)结合相应函数的图象直观判断. 9. 求数列的最大项或最小项的常用方法 (1)函数法,利用函数的单调性求最值. (2)利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项. 10. 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. 第32讲　等差数列及其前n项和 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 等差数列的概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*,d为常数). (2)等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时A叫做a与b的等差中项,根据等差数列的定义可知2A=a+b. 2. 等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d. (2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p. (3)等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列. (4)前n项和公式:Sn=na1+=. 或Sn＝na中． (5)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数，n∈N*)． (6)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值； 若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值． 3. 等差数列的性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为等差数列. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． 2. 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 3. 等差数列的常用性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 4. 等差数列的判定与证明方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2. (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列． (4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列． 5. 等差数列前n项和Sn＝An2＋Bn，可以从二次函数的角度求最值，对于含有(－1)n结构的数列问题一般要进行奇偶性讨论． 第33讲　等比数列及其前n项和 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 等比数列的概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(显然q≠0). 数学语言表达式:=q(n≥2,q为非零常数). (2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,则G2=ab. 2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1; 通项公式的推广:an=amqn-m. (2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==. 3. 等比数列的性质 已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm. (3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn. (4)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{},,{an·bn},也是等比数列. 2. 数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和. (1)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列. (2)若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q,或=q. 3. 由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0. 4. 等比数列{an}的前n项和Sn,可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0). 5. 三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为,,xq,xq3. 6. 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 7. 等比数列求和公式中，用Sn＝时，注意前提是q≠1. 8. 在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，可以减少运算量． 9. 等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk(q≠－1)． 10. 等比数列的四种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列． 其中，(1)，(2)是判定等比数列的常用方法，常用于证明，(3)，(4)常用于选择题、填空题中的判定． 若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． 11. 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==. 12. 等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 13. 涉及等比数列的单调性与最值的问题,一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 14. 相邻两项的数列常见构造： 形式 构造方法 an+1=pan+q 引入参数c,构造新的等比数列{an-c} an+1=pan+qn+c 引入参数x,y,构造新的等比数列{an+xn+y} an+1=pan+qn 两边同除以qn+1,构造新的数列 15. 相邻三项的数列(形如an+1=pan+qan-1)型：以化为an+1-x1an=x2(an-x1an-1),其中x1,x2是方程x2-px-q=0的两个根,若1是方程的根,则直接构造数列{an-an-1},若1不是方程的根,则需要构造两个数列,采取消元的方法求数列{an}. 16. 倒数为特殊数列(形如an+1=型)：两边同时取倒数转化为=·+的形式,化归为bn+1=pbn+q型,求出的表达式,再求an. 第34讲　数列求和 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n项和公式:Sn==na1+d. (2)等比数列的前n项和公式:Sn= 2. 数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 裂项求和常用的三种变形： ① =-. ② =. ③ =-. ④ ＝, ⑤ ＝(－)． ⑥ C＝C－C. ⑦ n·n！＝(n＋1)！－n！. ⑧ an＝Sn－Sn－1(n≥2)． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法：如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解. (5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和法．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050. 用并项法求和时，要注意可能要分类讨论． ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 1+2+3+4+…+n=. 12+22+…+n2=. 2. 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列构成可以用分组求和法，分别求和再相加减． 3. 用错位相减法求和时应注意的问题 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 4. 新定义数列问题的特点 通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的． 5. 新定义问题的解题思路 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． 6. 数列与不等式综合问题的两个方面 (1)数列型不等式恒成立或存在性问题，先参变分离，转化为最值问题，数列的最值常选择用作差或者作商来处理； (2)数列不等式有时候需要用放缩法来证明，将通项的分母放大或缩小成可以求和的形式再证明． 7. 数列与函数的综合的两个方面 (1)以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系； (2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题． 解数列应用题的建模思路： 从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为： 8. 分组求和法常见题型 (1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. (2)若数列{cn}的通项公式为cn= 其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 9. 并项求和法常见题型 (1)数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),求数列{an}的前n项和. (2)数列{an}是周期数列或ak+ak+1(k∈N*)为定值,求数列{an}的前n项和. 10. 裂项是通分的逆变形,裂项时需要注意两点:一是要注意裂项时对系数的调整;二是裂项后,要注意从哪里开始相互抵消,前面留下哪些项,后面对应留下哪些项,应做好处理. 11. 常见的几种裂项结构: (1)等差型:=(an≠0,d≠0). (2)指数型:=-. (3)对数型:loga=logaan+1-logaan(a>0且a≠1,an>0). (4)无理型:=(-)({an}为等差数列,公差d≠0且an>0). 12. 数列奇偶项问题： (1)含有(-1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和; (2)对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以先求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k,求S2k-1. 13. 数列的放缩问题： (1)先放缩再求和方法的使用 ①使用情景:数列结构复杂,不方便直接求和,通项比较方便放缩(通常放缩成等差数列、等比数列、差比数列或裂项相消数列). ②解题步骤:先放缩数列的通项,再求和,完成解题目标. (2)放缩的常见技巧 ①添加或舍去一些项,如:>=|a|,>=n,<=n. ②将分子或分母放大或缩小,如:<=-,>=-. ③利用基本不等式等,如:<. 14. 对于数列增项问题注意两点:(1)新的数列是如何构成的、与原数列有什么关系;(2)新数列的项数是多少,其中有多少项是原数列中的项,有多少项是新增加的. 15. 解决数列减项问题的关键是明确被减掉的项是以何种规律去掉的,共多少项,保留的数列有多少项. 16. 两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列,且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数;一个等差与一个等比数列的公共项,则要通过其项数之间的关系来确定. 17. 区间取值数列问题一般的条件为限定数列的项或其前n项和的范围,需要利用该范围判定n的范围,从而确定数列项数,进而解决求和等问题. 18. 数列中的创新问题往往以压轴题的形式出现于高考题中,以新定义、新性质的形式出现,有时与函数、不等式、集合等交汇命题,难度较大. 19. 数列综合问题中应用的数学思想 (1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数． (2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程． (3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究． (4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等． 20. 解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 21. 数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系． 22. 14类递推数列通解构造方法 (1) ：累加法 构造： (2) ：累乘法 构造： (3) ：与关系式：构造： 时 ，消化为仅含递推 (4) ：一阶线性常系数：构造等比数列： (5) ：带指数项一阶线性： ①若：构造 ，解得 ②若：两边同除，令，得（累加型） (6) ：二阶齐次线性常系数：特征方程： ①两不等根： ②二重根： (7) ：带一次多项式一阶线性：构造 ，对比系数解，化为等比 (8) ：幂型非线性：两边取对数：，令，转为第 4 类一阶线性 (9) ：简单分式倒数型：取倒数：，令，转为第 4 类 (10) ：分式线性（不动点）：不动点方程： ①两不等不动点：构造（等比） ②二重不动点：构造（等差） (11) 乘积交叉型：两边同除：，令，化为一阶线性 (12) 相邻和带一次式：分奇偶构造： 奇：（等差）；偶：（等差），奇偶分开求通项 (13) 相邻积带指数：替换下标得，两式相除：，奇偶各自等比 (14) 二次递推（配完全平方）：配顶点式：，解，取对数转为第 8 类幂型. 23. 33个裂项技巧： (1) (2) (3) 三连续一次因式： (4) 平方分母裂项： (5) 分子一次、三一次分母： (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) ， (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) 组合数： (22) 排列数： (23) 组合分式： (24) 通项，拆分形式：，待定系数求k,t即可 (25) (26) 为等差数列， (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $