4.1 导数的概念及其意义、导数的运算 学案-2025届高三数学一轮复习

第四章 一元函数的导数及其应用 4.1　导数的概念及其意义、导数的运算 【课程标准】 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象,理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数. 【考情分析】 考点考法:高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容,考查形式以选择题、填空题为主,属于中档题. 核心素养:数学抽象、数学运算、直观想象 第1课时　导数的概念及其意义 【回归教材】 1．（教习改编）火箭发射后，其高度（单位：m）为．求： （1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）如何定义火箭在发射第时的速度？如何求这个速度？ 2．（教习改编）你认为应该怎样定义抛物线+1在点处的切线？试求抛物线在点处切线的斜率,并求在该点处的切线方程． 3.判断下列结论的正误. (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　　) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　　) (3)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.(　　　) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. （　　　） 4. 设函数f(x)可导,则 = _______________. 5. （多选题）已知函数f(x)的图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是(　　) A.f'(3)>f'(2) B.f'(3)<f'(2) C.f(3)-f(2)>f'(3) D.f(3)-f(2)<f'(2) 【知识梳理】 1. 导数的概念 ①设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝_____________________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作____________________________________________________________． ②若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作________________________________________________ ． 2. 导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________________，过点P的切线方程为 ________________________________________． 【微点拨】1、求曲线的切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者点P是切点,只有一条切线,而后者点P可以不是切点包括了前者. 2、奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 3、函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 考点一　导数的概念 [例1](1)已知函数f(x)可导,则 = (　　) A. f'(2) B. f'(2) C.3 f'(2) D.f'(3) 变式1：已知函数f(x)可导,则 = (　　) A. f'(2) B. f'(2) C.3 f'(2) D.f'(3) 变式2：若f′(x0)＝1，则 ＝_______________. (2)函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为______________,在x=2处的导数为_____________.  (3)(多选题)环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示. 下列四个结论正确的是(　　) A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强 B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强 C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标 D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强 【解题技法】 求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率=; (3)得导数f'(x0)=,简记作:一差、二比、三极限. 【对点训练】 1.(多选题)某市开始全面实施垃圾分类,家庭厨余垃圾的分出量不断增加.已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示.下列四个结论正确的是(　　) A.在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大 B.在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大 C.在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢 D.甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大 第2课时　导数的运算 【回归教材】 1、 函数f(x)=sin (-x)的导数为________________. 2.(选择性必修二·P81T6·变形式)已知函数f(x)满足f(x)=f'()cos x-sin x,则f'()= ________________________.  3.(2023·全国甲卷)曲线y=在点(1,)处的切线方程为(　　) A.y=x B.y=x　 C.y=x+ D.y=x+ 4.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a的值为___________;b的值为___________.  【知识梳理】 1、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 f(x)=c (c为常数) f'(x)=________________________ f(x)=ax (a>0,且a≠1) f'(x)=________________________ f(x)=xα (α∈Q,且α≠0) f'(x)________________________ f(x)=ex f'(x)=________________________ f(x)=sin x f'(x)________________________ f(x)=logax (a>0,且a≠1) f'(x)=________________________ f(x)=cos x f'(x)________________________ f(x)=ln x f'(x)=________________________ 2、导数的运算法则 [f(x)±g(x)]'=__________________________________; [f(x)g(x)]'=__________________________________; []'=_____________________________________; [cf(x)]'=____________________________________. 3、.复合函数的定义及其导数 (1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=____________. (2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=________________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 考点二　导数的运算 [例2](1)(多选题)下列求导正确的是(　　) A. [(3x+5)3]'=9(3x+5)2 B. (x3ln x)'=3x2ln x+x2 C. ()'= D. (2x+cos x)'=2xln 2-sin x (2)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=x3+x2f'(1)+2x-1,则f'(2)=(　　) A.1 B.-9 C.-6 D.4 (3)求下列函数的导数: ①y=(3x3-4x)(2x+1); ②y=; ③y=; ④y=cos(3x2-). ⑤y＝ln . 考点三　导数的几何意义 角度1 求切线方程 [例3](1)已知曲线f(x)=x3-4x2+5x-4. ①曲线在点(2,f(2))处的切线方程为________________________________;  ②曲线过点(2,f(2))的切线方程为____________________________________.  【解题技法】求曲线过点P的切线方程的方法: (1)当点P(x0,y0)是切点时, 切线方程为______________________________________________________; (2)当点P(x0,y0)不是切点时: 【对点训练】 1、 函数f(x)=xln(-x),则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为__________________.  2、(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln |x|过坐标原点的切线的方程为___________________________.  角度2 求切点坐标 [例4]已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为(　　) A.3 B.2 C.1 D. 【解题技法】求切点坐标的思路: 【对点训练】 1、设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,且曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P(x0,f(x0))的坐标为_________.  角度3 求参数的值(范围) [例5](1)已知a为非零实数,直线y=x+1与曲线y=aln(x+1)相切,则a= __________________.  (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是___________________________.  【解题技法】利用导数的几何意义求参数的方法： 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围. 提醒:(1)注意曲线上横坐标的取值范围; (2)谨记切点既在切线上又在曲线上. 【课后练习】 1. 如图,函数f(x)的图象是折线段f(x),其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则=____________.  2.(2023·大同模拟)已知函数f(x)=2e2ln x+x2,则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为(　　) A.4ex-y+e2=0 B.4ex-y-e2=0 C.4ex+y+e2=0 D.4ex+y-e2=0 3.已知曲线y=在点(π,-)处的切线方程为y=x+b,则a的值是(　　) A. B.-2 C.- D.2 4.已知函数f(x)满足以下三个条件:①f(x)的导函数f'(x)为奇函数;②f(0)≠0;③在区间[-2,-1]上单调递增,则f(x)的一个解析式为_________________________________________(答案不唯一).  5、 已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝ 6、.求下列函数的导数: (1)y=x(x2++); 　 (2) y=x2sin x; (3) y=x;　　　　　 (4)y=. 7.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1) (e为自然对数的底数)，则点A的坐标是____________________. 8.已知曲线S：y＝－x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为 _． 9. 已知函数f(x)＝xlnx，过点A(－，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为 . 10.在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　) A．26　 　B．29 C．215　　 D．212 - 19 - 学科网（北京）股份有限公司 $$