第3板块 幂函数、指数函数与对数函数 考前必背知识清单及解题技巧 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了幂函数、指数函数、对数函数、函数与方程及函数模型应用五大核心内容，分讲次整合必背知识与解题技巧，涵盖定义、性质、图象、运算及实际应用等知识范畴。 清单采用分类对比与技巧提炼相结合的方式，如幂函数按指数正负分类对比单调性，指数对数函数结合运算性质与单调性应用培养推理意识，设易错点提示如对数真数为正的警示，必背知识与技巧分离便于学生自主复习，辅助教师精准规划复习重点。

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 考前必背知识及解题技巧 第3板块 幂函数、指数函数与对数函数 第11讲　幂函数与几类特殊函数 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 幂函数 (1)定义:一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0,＋∞)上都有定义. ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增. ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减. 2. 一次分式函数 (1)定义:我们把形如y＝(a≠0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数. (2)图象 (3)性质 ①定义域:;值域:. ②对称中心:. ③渐近线方程:x＝－和y＝. ④单调性:当ad>bc时,函数在区间和上分别单调递减;当ad<bc时,函数在区间和上分别单调递增. 3. 对勾函数y＝ax＋(a>0,b>0) (1)性质 ①奇偶性:奇函数. ②单调性:在,上单调递增; 在,上单调递减. ③渐近线方程:y＝ax和x＝0. (2)图象 4. 飘带函数y＝ax－(a>0,b>0) (1)性质 ①奇偶性:奇函数; ②单调性:在(－∞,0),(0,＋∞)上单调递增; ③渐近线方程:x＝0. (2)图象 5. 高斯函数y＝[x] (1)定义:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如,[3.4]＝3,[－2.1]＝－3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y＝[x]称为高斯函数,又称取整函数. (2)性质 ①定义域:R;值域:Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. (3)图象 6. 狄利克雷函数D(x)＝的性质 (1)定义域R;值域{0,1}. (2)奇偶性:偶函数. (3)周期性:以任何一个非零有理数为其周期,无最小正周期. (4)无法画出函数的图象,但其图象客观存在. 7. 最值函数的概念 设min{a,b}＝max{a,b}＝ 直观上来说min{a,b}的作用就是求a,b的最小值,我们将其称为最小值函数,同样,max{a,b}用来表示a,b的最大值,称作最大值函数. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. (1)幂函数y＝xα中,α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质; (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限. 2. 对勾函数y＝ax＋(ab>0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得. 3. 幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 4. 在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． 5. 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 6. 这几类特殊的函数问题都属于新定义问题,其解题思想围绕着知识迁移,就是利用新、旧知识之间的联系,由旧知识的思考方式领会新知识的思考过程,而产生迁移的关键是正确概括两种知识之间包含的共同因素,并与函数的性质相结合. 第12讲　指数与指数函数 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 根式 (1)概念:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0,记作＝0. ③()n＝a(n∈N*,且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2. 有理数指数幂 规定:正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1); 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 3. 实数指数幂的运算性质 aras＝ar＋s;(ar)s＝ars;(ab)r＝arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R. 4. 指数函数的概念、图象与性质 (1)概念:函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. (2)图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,＋∞) 性质 过定点(0,1),即x＝0时,y＝1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 在(－∞,＋∞)上是增函数 在(－∞,＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. 2. 指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. 3. 如图所示是指数函数 (1)y＝ax,(2)y＝bx, (3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0. 4. 指数幂运算的一般原则： (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数． 5. 已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． 6. 对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 7. 有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． 8. 判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较． 9. 有关指数函数性质的问题类型及解题思路 (1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)． (2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 10. 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论． 第13讲　对数与对数函数 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 对数的概念 如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 2. 对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①＝N;②logaab＝b(a>0,且a≠1). (2)对数的运算性质：如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN; ②loga＝logaM－logaN; ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)换底公式:logab＝(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1). 3. 对数函数的概念、图象与性质 (1)概念:函数y＝logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:(0,＋∞) 值域:R 当x＝1时,y＝0,即过定点(1,0) 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,＋∞)上是增函数 在(0,＋∞)上是减函数 4. 反函数 指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1). (2)lobn＝logab(a>0,且a≠1;b>0;且m≠0). 2. 对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),. 3. 对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y＝1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b. 即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 4. 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 5. 易错提醒 (1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误． (2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 6. y＝logax的底数变化，其图象具有如下变化规律：①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，底大图低(靠近x轴)；0<a<1时，底小图高(靠近x轴)． ②左右比较(比较图象与y＝1的交点)：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 7. 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． 8. 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 9. 确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． 10. 如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． 11. 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件． 12. 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系,要熟练运用指数、对数公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式. 13. 如果要比较大小的数或式子,或题目中所给的条件具有相同的结构特征,则可根据这种结构特征构造函数,然后利用该函数的单调性或其他性质比较大小. 第14讲　函数与方程 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有__零点__． 2. 零点存在性定理： 如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不一定成立． 3. 二分法 对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值． 4. 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 __(x1，0)，(x2，0)__ __(x1，0)__ 无交点 零点个数 __2__ __1__ __0__ 6. 概念辨析 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)＝0的实根. 2. 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 3. 周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点. 4. 函数零点的判定方法： (1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点． (2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数． (3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数． 在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断． 5. 利用函数零点存在性定理解题的步骤 6. 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 7. 函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 8. 利用函数零点求参数范围的思路方法及步骤 (1)常规思路 已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题． (2)常用方法 (3)一般步骤 第15讲　函数模型及其应用 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 　 2. 三种函数模型的性质 　　　函数 性质　　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调__递增__ 单调__递增__ 单调__递增__ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对稳定 图象的变化 随x增大逐渐表现为与____y__轴平行 随x增大逐渐表现为与__x__轴平行 随n值变化而不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 3. 解函数应用题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型； (3)解模：求解函数模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 以上过程用框图表示如下： ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制． 2. 谨记解决这类问题的2个关键 (1)准确理解题意(有时为了叙述背景的需要，这类问题的题干有点长，因而认真审题，准确理解题意显得尤为重要)． (2)根据具体情境确定相关解题策略(如给出函数图象的实际应用问题，关键在于准确识图；而指数函数、对数函数模型的实际应用问题，关键在于充分利用幂与对数的运算，以及指数函数、对数函数的图象与性质分析来解决问题)． 3. 掌握2种函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． 4. 函数图象可以全面地反映函数的性质，其中画图、识图、用图是考查数学素质和数学能力的重要途径，为此，必须掌握画图的基本方法(描点法与变换法)，熟悉基本初等函数的图象，并会灵活应用． 5. 函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)中，单调性是重中之重，也是高考考查的重点和热点． 6. 熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数的性质、图象和特点，是应用函数思想解题的基础，善于挖掘隐含条件，构造出恰当的函数解析式并能合理地运用函数图象和性质是应用函数思想解题的关键． 7. 分段函数应用题是近几年高考的热点问题，凡是自变量取值有限制条件，而且在不同的区间上函数取值方法不同时，一般要使用分段函数．使用分段函数必须注意区间端点值，要注意凡定义域内的点要做到“不重不漏”．端点放在哪个区间要视实际问题而定，若在相邻区间上均可定义时，一般放在左端点． 8. 解决含有参数的函数的常见方法有： (1)参变分离，转化成固定函数在固定区间上的最值问题； (2)对参数的讨论，与恒成立问题，根的分布问题相结合； (3)零点的情况，与零点存在，唯一性相结合； (4)掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练掌握等价转化和准确表述； (5)数形结合思想． 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $