第25章一元二次方程单元测试2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为九年级数学一元二次方程单元测试，覆盖定义、解法、根的判别式及实际应用等核心知识，通过基础题与创新题梯度设计，培养运算能力、模型意识和创新思维，适配单元复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|一元二次方程定义、根的判别式、实际情境应用（如冬奥会冰壶比赛）|结合社会热点，考查概念辨析与基础运算| |填空题|6题/18分|方程构造、配方、根与系数关系、新定义运算|注重逆向思维与知识迁移，如“特征数”问题| |解答题|8题/72分|解方程、证明、利润问题、面积问题、“邻根方程”创新题型|分层设计，从基础解法到综合应用，融入生活实际与创新定义，培养数学建模与推理能力|

第25章 一元二次方程 单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若方程化为一元二次方程的一般形式后不含一次项，则的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 3．（本题3分）若m是关于x的一元二次方程的根，且，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 4．（本题3分）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（本题3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A． B．且 C．且 D．且 6．（本题3分）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B．10 C．7 D．9 7．（本题3分）点在线段上，且，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 9．（本题3分）满足方程的所有正整数解有：（    ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 10．（本题3分）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 评卷人 得分 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 12．（本题3分）把方程化成的形式，则的值是________． 13．（本题3分）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值______． 14．（本题3分）若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 15．（本题3分）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数_______． 16．（本题3分）如图，在中，，，点是边的中点，在上取一点，使，连接、，若平分，则______． 评卷人 得分 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解下列方程 (1) (2) 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． 19．（本题8分）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个． (1)商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？ (2)商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由． 20．（本题8分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否为“邻根方程”． (2)已知关于的方程是“邻根方程”，求的值． (3)若关于的方程是“邻根方程”，令，试求的最大值． 21．（本题9分）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 22．（本题9分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，求的值． 23．（本题10分）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 24．（本题12分）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第25章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B B B B A C C 1．B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，根据一元二次方程的定义即可得出结果． 【详解】解：A．方程中含有两个未知数x和y，故不是一元方程． B．方程中只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，故是一元二次方程． C．方程化简后为，最高次数为1，故不是一元二次方程． D．方程中含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：B． 2．C 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的一般形式，将一元二次方程化为一般式，根据不含一次项可得一次项系数为0，求解即可． 【详解】解：方程化为一般形式为： 由题意可得： 解得 故选：C 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．根据一元二次方程的解的定义把代入得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的根， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：A 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于的方程，求解方程即可． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：B． 6．B 【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可． 【详解】设有x支队伍，根据题意，得， 解方程，得x1=10，x2=-9（舍去）， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 7．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 9．C 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，二元一次方程的正整数解，将原方程变形为关于x的一元二次方程，通过求根公式和判别式分析可能的正整数解，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：原方程变形为： 将其视为关于x的一元二次方程，判别式为： ， ∵方程有正整数解， 即判别式为非负完全平方数， 即，且y为正整数， 解得y的可能取值为,,,： 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ （舍去）， 即方程组的正整数解为； 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ ， 即方程组的正整数解为 或 ； 综上，共有三组正整数解， 故选：C 10．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上公式是解题的关键． 根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出的值． 【详解】解：∵特征数为， ∴方程为， 设两实数根为，，则， ， ， ∵， ∴， 化简得：， 解得或， 又∵方程有实数根， ∴， 即， ∴（舍去）， ∴， 故选C． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为一元二次方程的一个解为， 所以方程可以构造为（为常数）的形式． 例如，取，则方程为，即． 验证：当时，左边，右边，左边等于右边，所以是该方程的解． 故答案为：（答案不唯一） 12．11 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出的值． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即， ∴， 故答案为：11． 13．1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 14．， 【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 【详解】解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 15．4 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：4，（舍去）， ∴， 综上，， 故答案为：4． 16． 【分析】本题主要考查了角平分线性质，勾股定理，等面积法，过作于点，则，由角平分线性质可得，又点是边的中点，得出，设，，则，由，即，所以，结合勾股定理得，解得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 设，，则， ∵， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 或， ，． 18．(1) 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴，，， ∴． ∵无论m为任意实数，， ∴原方程总有两个实数根． (2)，方程的另一个根为1. 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）把方程的一个根为代入关于x的一元二次方程求出m，然后利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵是方程的一个根，代入方程得： ∴， 解得：． 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为1． 19．(1)售价应定为65元 (2)不能获得10000元的利润，理由见详解 【分析】（1）设每个售价提高x元，根据题意列出一元二次方程求解； （2）根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断． 【详解】（1）解：设每个售价提高x元， 由题意得， 解得， ∵尽量兼顾顾客的利益 ∴ ∴（元） ∴售价应定为65元； （2）解：不能，理由如下： 根据题意得， 整理得， ∵ ∴该一元二次方程没有实数根 ∴商场不能获得10000元的利润． 20．(1)是“邻根方程” (2)或 (3) 【分析】（1）先解一元二次方程得到两个根，结合“邻根方程”的定义进行判断； （2）先解一元二次方程得到两个根，根据定义列方程求解； （3）根据“邻根方程”定义得到两根差为，利用完全平方公式变形结合根的和与积推导得到与的关系，代入后配方求最大值. 【详解】（1）解方程， 因式分解得， 解得，， ，符合“邻根方程”的定义 ， 是“邻根方程”； （2）解方程， 因式分解得， 解得，， 方程是“邻根方程” ， ， 当时，得； 当时，得， 的值为或； （3）设方程的两根为，， 方程是“邻根方程” ， ，两边平方得，变形得， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 代入得， 整理得， 代入， 得 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 21．(1) (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，解高次方程和一元二次方程的方法，学会整体代入思想是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算解方程即可； （3）把看成一个整体，利用完全平方公式计算解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：令， 原方程变形为：， ， ， ， ， ． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程（）的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）由根与系数的关系韦达定理可知，，再利用整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得 ， 解得； （2）解：由韦达定理可知，， ∵， ， 解得． 23．(1) (2)的值为8 (3) 苗圃的面积不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【详解】（1）解：依据题意，， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； （3）略 24．【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $