第25章 一元二次方程 单元测试卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程，覆盖方程求解、根与系数关系、实际应用等核心知识点，通过增长率（如共享电动车用户增长）、几何面积（如矩形道路问题）等真实情境题，培养运算能力与模型意识，适配初中数学单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|方程求解（如x²-x=0）、根与系数关系（如a+b计算）、几何应用（矩形阴影面积）|结合共享电动车用户增长（题10）等时代情境，基础与能力题梯度分布| |填空题|6/24|方程解（如x(x-5)-7(x-5)=0）、代数式求值（a-2b+3=0）、几何面积（靠墙围场地）|融入三角形边长取舍（题16）等逻辑推理，考查知识迁移能力| |解答题|6/56|解方程（x²-4x-3=0）、根的判别式（|x₁|+|x₂|=x₁x₂）、实际应用（销售利润、增长率）|以家居清洁器材销售（题20）等生活问题为载体，综合考查模型构建与运算能力|

第25章 一元二次方程 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）一元二次方程x2﹣x＝0的一个根是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3 2．（4分）一个等腰三角形的两边是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则三角形的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 3．（4分）设a，b是方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根，则a+b的值为（　　） A．1 B．2026 C．﹣1 D．﹣2026 4．（4分）如图，由5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为20，且每个小矩形的宽为1，则每个小矩形的长为（　　） A．4 B． C． D．3 5．（4分）若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别是x1，x2，则的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 6．（4分）某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 7．（4分）某机械厂七月份生产零件50万个，七、八、九月共生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x2）＝196 B．50+50（1+x2）＝196 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196 8．（4分）如图，在长为20m，宽为10m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植花草，使种植花草区域的面积为160m2．设道路的宽为xm，则根据题意所列的方程是（　　） A．20x+10x﹣2x2＝160 B．20x+10x＝20×10﹣160 C．（20﹣x）（10﹣x）＝160 D．（20﹣x）（10﹣x）＝20×10﹣160 9．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动当△PBQ的面积为5cm2时，点P，Q运动的时间为（　　） A．0.5s B．1s C．5s D．1或5s 10．（4分）宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户，2025年预计增长至80万户．设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（　　） A．50（1+x）＝80 B．50（1+x）2＝80 C．80（1﹣x）2＝50 D．50（1+x）+50（1+x）2＝80 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）方程的解为 　 　 ． 12．（4分）以墙为一边（墙足够长），用11m长的绳子作为另外三边围成一个面积为15m2的场地，那么这个场地的长和宽分别为　 　 ． 13．（4分）若a﹣2b+3＝0，则代数式﹣2a+4b﹣4的值为　 　 ． 14．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0的两根为x1、x2，x1+x2＝　 　 ． 15．（4分）如图是一张长54cm的矩形铁皮，将其按如图方式分别剪去两个全等的矩形和两个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）可制成表面积为1458cm2的长方体铁盒．若设剪去的小正方形的边长为xcm，则根据题意，可列方程为　 　 ． 16．（4分）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边的长是一元二次方程x（x﹣5）﹣7（x﹣5）＝0的一个根，则这个三角形的周长是 　 　 ． 三．解答题（共6小题，满分56分） 17．（10分）解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）2x2﹣5x+2＝0． 18.（10分）计算： （1）； （2）解方程：x2﹣6x+8＝0． 19．（12分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值 20．（8分）为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：10月份售出300套，12月份售出432套． （1）若月增长率相同，求该品牌边刷套装11、12两个月销售量的月均增长率； （2）该品牌边刷套装每套进货价为30元．调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600套；而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10套．为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 21．（8分）将一个正方形的场地扩建，一边加长5m，一边加长2m后变成矩形，且矩形的面积是54cm2，求原来正方形的边长． 22．（8分）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每盒盈利10元，每天可售出500盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少20盒，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝0，x2＝1． 故选：B． 2．【解答】解：方程x2﹣6x+8＝0的解是x＝2或4， （1）当2为腰，4为底时，2+2＝4，不能构成三角形； （2）当4为腰，2为底时，4，4，2，能构成等腰三角形，周长＝4+4+2＝10． 故选：B． 3．【解答】解：由条件可得： ． 故选：A． 4．【解答】解：设小矩形的长为x， 根据题意，得（2x+1）（x+2）﹣5x＝20， 解得x1＝3，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）， 故选：D． 5．【解答】解：由条件可知x1+x2＝3，x1x2＝1， ∴． 故选：A． 6．【解答】解：设亲友团人数为n，则集体照冲印张数为 n（每位成员一张），合影数量为 ， ∴总冲印照片数 ； ∵给定总冲印照片数为 256， ∴n2＝256， ∴n＝16； 故选：C． 7．【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196． 故选：C． 8．【解答】解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为（20﹣x）m，宽为（10﹣x）m， 则可列方程为：（20﹣x）（10﹣x）＝160． 故选：C． 9．【解答】解：设P，Q的运动时间为t， 由题意列一元二次方程得：， 整理得，t2﹣6t+5＝0， 解得：t1＝5，t2＝1 ∵Q点运动到C点所需时间为8÷2＝4s，点P运动到B点需要6s， ∴t≤4， ∴t＝1； 故选：B． 10．【解答】解：依题意，得：50（1+x）2＝80． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．【解答】解：x2+x＝0， x（x+1）＝0， ∴x1＝0，x2． 12．【解答】解：设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（11﹣2x）m， 根据题意得：x（11﹣2x）＝15， 整理得：2x2﹣11x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝2.5， 当x＝3时，11﹣2x＝11﹣2×3＝5，符合题意； 当x＝2.5时，11﹣2x＝11﹣2×2.5＝6，符合题意； 即这个场地的长为5m，宽为3m或长为6m，宽为2.5m， 故答案为：5m，3m或6m，2.5m． 13．【解答】解：∵a﹣2b+3＝0， ∴a﹣2b＝﹣3， ∴原式＝﹣2（a﹣2b）﹣4 ＝﹣2×（﹣3）﹣4 ＝6﹣4 ＝2． 故答案为：2． 14．【解答】解：由题意可得：x1+x2＝3， 故答案为：3． 15．【解答】解：若设剪去的小正方形的边长为xcm， 四个长方形的长为（54﹣2x）cm，宽为xcm，两个小正方形的边长均为xcm， ∵可列方程为4x（54﹣2x）+2x2＝1458． 故答案为：4x（54﹣2x）+2x2＝1458． 16．【解答】解：x（x﹣5）﹣7（x﹣5）＝0， （x﹣5）（x﹣7）＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣7＝0， 解得：x1＝5，x2＝7， 当x＝5时，三角形的三边分别为：3，8，5， ∵3+5＝8， ∴构不成三角形，舍去； 当x＝7时，三角形的三边分别为：3，8，7， ∵3+7＝10＞8， ∴这个三角形的周长为3+8+7＝18， 故答案为：18． 三．解答题（共6小题，满分56分） 17．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， （x﹣2）2＝7， x﹣2＝±， x1＝2，x2＝2； （2）2x2﹣5x+2＝0， （x﹣2）（2x﹣1）＝0， x﹣2＝0或2x﹣1＝0， x1＝2，x2． 18．【解答】解：（1）原式； （2）∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 19．【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0， 解得：k＞； （2）∵k＞， ∴x1+x2=-（2k+1）＜0， 又∵x1•x2=k2+1＞0， ∴x1＜0，x2＜0， ∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1， ∵|x1|+|x2|=x1•x2， ∴2k+1=k2+1， ∴k1=0，k2=2， 又∵k＞， ∴k=2 20．【解答】解：（1）设该品牌边刷套装11、12两个月销售量的月均增长率为x， 根据题意得：300（1+x）2＝432， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该品牌边刷套装11、12两个月销售量的月均增长率为20%； （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为y元，则每套的销售利润为（y﹣30）元，月均销售量为600﹣10（y﹣40）＝（1000﹣10y）套， 根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000， 整理得：y2﹣130y+4000＝0， 解得：y1＝50，y2＝80， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝50． 答：该品牌边刷套装的销售价应定为50元． 21．【解答】解：设原来的正方形的边长为xm， 则（x+5）（x+2）＝54． 解得：x1＝﹣11（不合题意，舍去），x2＝4． 答：原来的正方形的边长为4m． 22．【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x， 根据题意，得75（1﹣x）2＝48． 解得x1＝0.2，x2＝1.8（舍）． 答：每次下降的百分率为20%． （2）设每盒涨价y元， 根据题意，得（10+y）（500﹣20y）＝6000， 解得y1＝5，y2＝10， 因为要尽快减少库存，所以y＝5符合题意． 答：涨价5元 学科网（北京）股份有限公司 $