精品解析：宁夏师范大学附属中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学卷

宁师大银川附中2025-2026学年度第二学期期末考试 高一年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 第一部分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 复数z = 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，异面直线，所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件与事件相互独立，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.58 D. 0.7 6. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ） A. 对应矩形的高度为0.016 B. 样本众数估计值为75 C. 样本平均数估计值为77.4 D. 样本成绩的第70百分位数落在内 8. 中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. B. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限 C. D. 是纯虚数 10. 设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（ ） A. 与平面平行 B. 与直线垂直 C. 与直线所成角为 D. 与平面的距离为 第二部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是______． 13. 在正四棱台中，，，正四棱台的表面积是__________. 14. 已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． （1）求的值； （2）若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数； 16. 如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线到平面的距离． 17. 校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. （1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率. 18. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的周长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且． （1）求证： （2）当时，求直线与直线所成角的余弦值 （3）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁师大银川附中2025-2026学年度第二学期期末考试 高一年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 第一部分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 复数z = 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】复数z = ，所以虚部是. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由向量的数量积的坐标运算及向量垂直的条件可得. 【详解】因为向量，，且，由数量积的坐标运算， 所以，即，解得. 3. 在正方体中，异面直线，所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，所以为异面直线与所成角，再求解即可. 【详解】因为，所以为异面直线与所成角， 因为△为正三角形， 所以， 即异面直线，所成角的大小为． 4. 如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： . 5. 已知事件与事件相互独立，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.58 D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及概率的基本性质计算得解. 【详解】由事件与事件相互独立，，得， 所以. 故选：C 6. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状. 【详解】在中，由正弦定理得，而， ∴ ，即， 又∵、为的内角，∴， 又∵，∴， ∴由余弦定理得：，∴， ∴为等边三角形. 故选：B. 7. 为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ） A. 对应矩形的高度为0.016 B. 样本众数估计值为75 C. 样本平均数估计值为77.4 D. 样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【解析】 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 8. 中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用圆柱和圆台的体积公式直接求解即可 【详解】因为圆柱的高为，底面直径，底面直径，且两圆台的高都为， 所以该瓷器的容积为 ， 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. B. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限 C. D. 是纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法计算求解判断A，根据复数的乘方计算判断D，应用几何意义判断象限判断B，应用模长公式计算判断C. 【详解】复数， 则，A选项正确； 在复平面内，复数对应的点位于第二象限，B选项错误； ，C选项正确； 是纯虚数，D选项正确； 故选：ACD. 10. 设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】用空间几何中线、面平行与垂直的判定定理与性质，构造反例来排除错误选项即可. 【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，选项A错误; 若，，则，选项B正确; 若，，则或α与β相交，选项C错误; 若，，则或，又，则，选项D正确. 11. 在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（ ） A. 与平面平行 B. 与直线垂直 C. 与直线所成角为 D. 与平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过证明平面平面，即可判断A，通过证明平面，即可判断B，由，所以与所成角就是直线与直线所成角，利用余弦定理求出，即可判断C，利用等体积法求出点到平面的距离，即可判断D. 【详解】因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面，而平面，故平面，选项A正确； 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，而平面，故，选项B正确； 由于，所以与所成角就是直线与直线所成角， 因为，，， 所以， 所以，即与直线所成角为，选项C不正确； 由选项A可知，与平面的距离就是点到平面的距离． 设点到平面的距离为，由，得， 即，解得，即与平面的距离为，选项D正确. 故选：ABD． 第二部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】第50百分位数为数据的中位数，即得. 【详解】数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是3. 故答案为：3 13. 在正四棱台中，，，正四棱台的表面积是__________. 【答案】 【解析】 【详解】 由题意得，下底面边长，故下底面面积； 上底面边长，故上底面面积， 设侧面等腰梯形的斜高为， ，侧棱长，由勾股定理得斜高, 单个侧面等腰梯形的面积是， 四个侧面总面积， 因此正四棱台的表面积. 14. 已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求圆锥底面半径和高，再代入圆锥体积公式求解. 【详解】设圆锥底面半径为，则，则， 圆锥的母线长为，则圆锥的高为， 所以该圆锥的体积. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． （1）求的值； （2）若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得答案. （2）先求出成绩小于70分的频率，根据总人数，即可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1， 可得，解得. 【小问2详解】 由图象可得，成绩小于70分的频率为， 则成绩小于70分的人数为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1） 在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 17. 校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. （1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率. 【答案】（1）设3名男队员为，2名女队员为， 所有等可能的基本事件分别为：， 抽取到的2人全是男队员的概率为； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）用列举法列出所有可能结果之后直接由古典概型概率公式计算即可； （2）①两人发球相互独立，直接利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可； ②采用逆向思考，先计算对立事件“两人都失败”的概率，再用减去这个结果即可． 【小问1详解】 设3名男队员为，2名女队员为， 从5人中不放回抽取2人，所有等可能的基本事件共有个， 分别为：， 记事件为“抽到的2人都是男队员”，则包含的基本事件有，共3个， 所以 【小问2详解】 ①因甲乙两人发球相互独立， 所以甲、乙两人全部发球成功的概率：； ②甲乙两人都失败的概率为： 所以甲乙至少一人成功的概率为： 18. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的周长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用余弦定理解得，即可得周长； （3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而可得取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以解得. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 因为，所以解得， 因此的周长为. 【小问3详解】 由正弦定理可得， 所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 解得，即， 所以，即， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 19. 如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且． （1）求证： （2）当时，求直线与直线所成角的余弦值 （3）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为在平面内，所以 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直判定定理得出平面，平面 进而得出线面垂直； （2）应用异面直线所成角结合余弦定理计算求解； （3）先根据线面垂直得出点到平面的距离，进而结合基本不等式得出正弦值为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，所以 又因为为等腰直角三角形，为的中点，所以 取的中点为，连接，则，且， 所以为异面直线，所成的角或其补角 在直角中，，所以， 在中，， 所以， 直线与直线所成角的余弦值为． 【小问3详解】 设，则， 设，则． 过点作的垂线，垂足为， 由于是确定的， 所以当三棱锥的体积最大时， 即为点到平面的距离最大， 即点到平面的距离最大． 过点向作垂线，垂足为，又因为平面， 所以，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离． 故， ， 当，即时等号成立 此时，，则点到平面的距离为 ， 故直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $