1.5相似三角形的性质第2课时 教学设计 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的核心知识，通过复习对应线段性质与面积公式引导猜想，搭建从局部线段到整体性质的思维支架，梳理知识脉络。 此资料以严谨推导突破面积比平方关系难点，结合“A型图”等模型设计例题与分层练习，培养逻辑推理与几何直观素养。学生通过推导与应用提升运算能力，教师可依托清晰流程与分层作业高效教学，助力夯实相似图形基础。

1.5相似三角形的性质第2课时教学设计 学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 一 课题 1.5相似三角形的性质第2课时 课时 1 课标要求 依据 2022 版义务教育数学课程标准,本节课属于图形与几何领域图形的相似主题,要求学生掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方；经历推导、归纳、应用的完整过程,发展逻辑推理、数学运算与几何建模素养；能灵活运用周长与面积性质解决综合计算问题,区分线段比、周长比与面积比的数量关系；体会从线段到整体、从线性到平方的数量变化规律,提升几何直观与代数转化能力。 教材分析 本节是相似三角形性质的第二课时,承接上一课时 “对应线段比等于相似比”,进一步研究周长与面积两类整体性质。教材由面积公式推导得出面积比等于相似比平方,结合比例性质得出周长比等于相似比,搭配 “A 型图”、周长面积和差问题等例题,强化计算与应用。内容由局部到整体、由线性到平方量,完善相似性质知识体系,既是对相似判定与线段性质的综合运用,也是相似图形实际应用、位似图形学习的重要基础,突出数形结合与方程思想。 学情分析 九年级学生已掌握相似三角形对应线段性质、比例运算与面积公式,但易混淆周长比与面积比,常把面积比直接等同于相似比；对周长比的推导不熟练,在图形分割、面积和差问题中不会建立方程。学生具备一定归纳能力,适合公式推导 + 题型训练,需通过对比辨析、阶梯变式、错题纠正,突破 “平方关系” 这一易错点,提升综合计算与模型识别能力。 教学目标 1.理解并掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方,能准确区分并规范应用。 2.经历性质推导过程,提升逻辑推理、比例运算与代数转化能力,体会数形结合思想。 3.能解决相似三角形中周长、面积的计算、和差与比值问题,提升综合解题能力。 4.构建完整相似性质体系,强化性质选择意识,培养严谨计算与规范表达习惯。 教学重点 1.相似三角形周长比、面积比与相似比的数量关系。 2.运用性质进行周长、面积的综合计算。 教学难点 面积比等于相似比平方的理解与应用,以及复杂图形中面积与线段的转化。 教学过程 教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图 环节一:依标靠本,独立研学 复习回顾 1.相似三角形对应线段的比等于什么？ 2.三角形面积公式是什么？ 探究问题 若两个相似三角形相似比为 k,它们的周长比是多少？面积比又会是多少？请大胆猜想。 答案 1.相似三角形对应线段的比等于相似比。 2.面积＝底×高÷2。 3.猜想:周长比等于k；面积比等于k²。 提问相似三角形对应线段性质与三角形面积公式,引导猜想周长、面积与相似比的关系。 回忆旧知,回答对应线段比等于相似比,根据公式进行合理猜想。 以旧引新,搭建从线段性质到整体性质的思维桥梁。 探究活动一:相似三角形的性质定理2 思考:如图,已知,相似比为,则 的值是多少呢？ 解:,相似比为, . 如图,分别作边上的高,则. 因此, . 由此得到相似三角形的性质定理2:相似三角形的面积比等于相似比的平方. 总结归纳: 1.推导依据:利用三角形面积公式与对应高的比等于相似比。 2.核心结论:相似三角形面积比等于相似比的平方。 3.推理关键:将面积比转化为底的比与高的比的乘积,体现转化思想。 引导作高、利用对应高的性质,推导面积比与相似比的数量关系。 动手推导面积比算式,理解平方关系的由来,规范推导过程。 经历严谨推理,突破 “面积比是相似比平方” 的核心难点。 环节二:同伴分享,互助研学 探究活动二: 相似三角形的性质定理2的应用 例3:如图,在 中,, ,求. 解:, . 又, . ,即. , . . 例4:已知与的相似比为,且, 求的面积. 解:与的相似比为 , ,即. 又, , . 总结归纳: 1.解题步骤:先定相似比→再判比类型→周长用相似比、面积用平方比→列方程求解。 2.常用模型:A 型图、8 型图中利用面积差求总面积。 3.技巧:已知面积比先开方得相似比,已知相似比先平方得面积比。 精讲例题,引导区分周长比与面积比,规范列方程解题步骤。 运用性质解决面积差、周长和等问题,梳理解题思路。 强化性质综合运用,提升模型识别与方程建模能力。 环节三:巩固内化,拓展延伸 课堂练习 1.如图AC与BD相交于点E,AD∥BC.若AE∶AC=1∶3,则S△AED∶S△CEB为( ) A.1∶9 　 B.1∶4 C.1∶ 　D.1∶ 2.两个相似三角形面积比是4∶9,其中一个三角形的周长为18,则另一个三角形的周长是( ) A.12 B.12或24 C.27 D.12或27 3.若△ABC∽△A'B'C',且=,若△ABC的面积为27 cm2,则△A'B'C'的面积为 　 　.  4.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且==. (1)若DE=6,求BC的长; (2)若△ABC的面积为18,求△ADE的面积. 5.如图,△ABC∽△A'B'C',下列说法正确的是( ) A.∠B=∠C' B.S△ABC=2S△A'B'C' C.AC=4A'C' D.A'B'=6 6.已知△ABC∽△DEF,且△ABC的三边长分别为4,5,6,△DEF的一边长为2,则△DEF的周长为( ) A.7.5 B.6 C.5或6 D.5或6或7.5 7.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若△ADE的面积是3 cm2,则四边形BDEC的面积为( ) A.12 cm2 B.9 cm2 C.6 cm2 D.3 cm2 8.如图,在▱ABCD中,点E是CD的中点,AE,BC的延长线交于点F.若△ECF的面积为1.则四边形ABCE的面积为　 　.  9.如图,在△ABC中,点F,G在BC上,点E,H分别在AB,AC上,四边形EFGH是矩形,EH=2EF,AD是△ABC的高,BC=8,AD=6,那么EH的长为　.  10.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连接EF. (1)求证:EF∥BC; (2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积. 1.B;2.D;3.48cm2; 4.解: (1)∵==,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC, ∴==, ∵DE=6, ∴BC=9; (2)∵△ADE∽△ABC, ∴=()2=, ∵△ABC的面积为18, ∴△ADE的面积为8. 5.D;6.D;7.B;8.3;9.; 10. (1)∵DC=AC,CF平分∠ACB, ∴AF=DF. 又∵点E是AB的中点, ∴EF是△ABD的中位线. ∴EF∥BD,即EF∥BC. (2)由(1)知,EF∥BD, ∴△AEF∽△ABD. ∴=. 又∵点E是AB的中点, ∴=. ∴=. ∴S△AEF=S△ABD. ∴S△ABD-6=S△ABD. ∴S△ABD=8. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的 课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.相似三角形周长的比等于相似比。 2.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.由面积比求相似比:将面积比开平方。 4.由相似比求面积比:将相似比平方。 5.解题时先判断所求为周长比还是面积比,再选择对应性质。 6.综合问题中常用方程思想解决面积和、面积差、周长和差问题。 7.所有性质均以对应为前提,必须找准对应边与对应图形。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。 板书设计 1.5 相似三角形的性质（第 2 课时） 1. 周长比 = 相似比（线性关系） 2. 面积比 = 相似比²（平方关系） 3. 互化:面积比开方→相似比；相似比平方→面积比 4. 解题口诀:周长相,面积方 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。 作业设计 基础达标: 1.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC＝3∶2,△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2,周长分别是C1与C2,则下列说法正确的是( ) A. B.＝ C.＝ D.＝ 2.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若△ADE的面积是3 cm2,则四边形BDEC的面积为( ) A.12 cm2 B.9 cm2 C.6 cm2 D.3 cm2 3.如图,在△ABC中,D是AB中点,DE∥BC,若△ADE的周长为6,则△ABC的周长为____. 4.已知△ABC∽△DEF,＝,△ABC的周长是12 cm,面积是30 cm2. (1)求△DEF的周长； (2)求△DEF的面积. 能力提升: 5.如图,在△ABC中,AC＝2,BC＝4,D为BC边上的一点,且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为( ) A.2a B.a C.3a D.a 6.一个三角形三边长分别为5,5,6,与它相似的三角形最长边为9,则后一个三角形面积是( ) A.18 B.28 C.27 D.24 7.已知△ABC∽△DEF,S△ABC＝5S△DEF,C△ABC∶C△DEF＝m∶1(注:S表示面积,C表示周长),则的值是( ) A.1 B. C. D.5 8.如图,四边形AOEF是平行四边形,点B为OE的中点,延长FO至点C,使FO＝3OC,连接AB,AC,BC,则S△ABO∶S△AOC∶S△BOC ＝( ) A.6∶2∶1 B.3∶2∶1 C.6∶3∶2 D.4∶3∶2 9.如果两个相似三角形的面积比为k2,周长比为(1－k),那么k＝__ __. 10.如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若＝,则＝__ __. 11.如图,在△ABC和△DEC中,∠A＝∠D,∠BCE＝∠ACD. (1)求证:△ABC∽△DEC； (2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9,BC＝6,求EC的长. 拓展迁移: 12.如图,在▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,且AF＝2FD. (1)求证:△ABF∽△CEB. (2)若△CEB的面积为9,求▱ABCD的面积. 13.如图,已知G,H分别是▱ABCD对边AD,BC上的点,直线GH分别交BA和DC的延长线于点E,F. (1)当＝时,求的值. (2)连接BD交EF于点M,求证:MG·ME＝MF·MH. 1.A;2.B;3.12; 4.解:(1)∵＝, ∴△DEF的周长＝12×＝8(cm). (2)∵＝, ∴△DEF的面积＝30×（）2＝(cm2). 5.C;6.C;7.C;8.B;9.1/2; 10.1/4; 11. 【解析】(1)∵∠BCE＝∠ACD, ∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE, ∴∠DCE＝∠ACB, 又∵∠A＝∠D,∴△ABC∽△DEC； (2)∵△ABC∽△DEC, ∴＝（）2＝, 又∵BC＝6,∴CE＝9.∴EC的长为9. 12. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A＝∠C,AB∥CD,∴∠ABF＝∠E, 　∴△ABF∽△CEB. (2)∵AF＝2FD,∴AD＝3FD, ∴DF∶BC＝1∶3, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AD∥BC,AD＝BC, ∴△ABF∽△DEF,△CEB∽△DEF, ∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2,S△BCE∶S△FDE＝BC2∶FD2, ∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1, ∴△ABF的面积为4, ∴▱ABCD的面积＝9-1＋4＝12. 13. 【解析】(1)∵＝,∴＝. ∵在▱ABCD中,AD∥BC, ∴△CFH∽△DFG,∴＝()2＝. ∴＝. (2)∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴＝. ∵在▱ABCD中,AB∥CD, ∴＝,∴＝. ∴MG·ME＝MF·MH. 教学反思 本节课以旧知迁移引入,聚焦周长与面积性质推导与应用,紧扣 2022 新课标落实运算与推理素养。教学中强化线性比与平方比对比,通过阶梯例题突破易错点。但部分学生仍将面积比直接用相似比计算,周长比推导不规范,在图形分割问题中不会设元列方程。后续应加强对比辨析与口诀记忆,增加错题归因训练；优化实际问题建模过程,设计分层任务兼顾差异,提升学生性质选择、精准计算与综合转化能力,完善相似性质体系。 学科网（北京）股份有限公司 $