1.5相似三角形的性质 第1课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，核心讲解对应高、中线、角平分线的比等于相似比，并归纳对应线段的比等于相似比。课堂导入通过复习相似三角形对应角相等、对应边成比例及相似比定义，提出关于对应线段比的猜想，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以“猜想-证明-归纳-应用”为主线，通过探究对应高、角平分线、中线的比，发展学生逻辑推理能力（数学思维），结合例题中几何图形分析（如AB与PQ距离问题）培养几何直观（数学眼光）。课堂小结梳理知识并提炼类比、转化思想，帮助学生构建知识体系。学生能提升知识迁移能力，教师可利用分层练习和规范证明过程提高教学效果。

1.5相似三角形的性质第1课时 第一章 图形的相似 初中数学 1 学习目标 经历性质的猜想、证明、归纳过程,提升逻辑推理、几何表达与知识迁移能力。 02 理解并掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比,归纳得出对应线段的比等于相似比的核心性质,能规范表述与应用。 01 能在几何图形与实际问题中识别对应线段,运用性质进行计算与证明。 03 体会从特殊到一般、转化与类比的数学思想,完善相似三角形知识体系。 04 2 复习回顾 1.相似三角形最核心的两个性质是什么？ 2.相似比指的是哪两组线段的比？ 3.相似三角形对应边成比例,那么三角形中三条重要线段——高、中线、角平分线,它们的比是否也等于相似比？请提出你的猜想。 1.对应角相等,对应边成比例。 2.相似三角形对应边的比叫做相似比。 3.猜想:相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。 3 探究新知 探究一：相似三角形对应高的比 前面已经知道,相似三角形对应边的比等于相似比,那么相似三角形对应边上的高(中线)、对应的角平分线等对应线段的比是否也等于相似比？相似三角形面积的比与相似比之间又有什么关系呢？下面我们来分别进行研究. 思考:如图,已知,分别为对应边上的高,那么吗？ 4 探究新知 探究一：相似三角形对应高的比 因为,所以. 又, 因此. 所以. 类似地,我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 由此得到,相似三角形对应边上的高的比等于相似比. 5 探究新知 探究一：相似三角形对应高的比 例1:如图,已知,,.点在一条直线上,点也在一条直线上.若与的距离是,求点到直线的距离. 解:因为,所以. 如图,过点作,交的延长线于点. 设交的延长线于点, 因此. 由“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”可得,. 6 探究新知 探究一：相似三角形对应高的比 例1:如图,已知,,.点在一条直线上,点也在一条直线上.若与的距离是,求点到直线的距离. 解:又, 于是, 因此. 即点到直线的距离为. 7 探究新知 方法总结： 1.证明思路:利用相似得角相等，结合直角条件，再证小三角形相似，推出对应高成比例。 2.核心结论:相似三角形对应高的比等于相似比。 3.应用要点:找准对应边与对应高，依据性质列比例式求解长度。 8 探究新知 探究二：相似三角形对应角平分线的比 证明:因为, 所以. 又分别为对应角的平分线, 于是, 因此, 所以. 例2如图,已知,分别为,的角平分线.求证:. 9 探究新知 总结归纳： 类似地,我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比. 由此得到,相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 10 探究新知 方法总结： 1.证明思路:由原三角形相似得角相等，结合角平分线分得等角，证小三角形相似。 2.核心结论:相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 3.关键技巧:抓住角平分线分得的角为原角一半，构造相似条件。 11 探究新知 探究三：相似三角形对应角中线的比 议一议:已知,若分别为的中线,则成立吗？由此你能得出什么结论？ 如图,由可得,. 又,则,于是, 从而,所以. 12 探究新知 总结归纳： 类似地,我们可以得到另外两组对应边上的中线的比也等于相似比. 由此得到,相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 综上所述,可得相似三角形的性质定理1:相似三角形对应线段的比等于相似比. 13 探究新知 方法总结： 1.证明思路:利用中线将边平分，结合相似比例，证含中线的小三角形相似。 2.核心结论:相似三角形对应中线的比等于相似比。 3.统一归纳:相似三角形所有对应线段的比都等于相似比。 14 课堂练习 1.下列有关相似三角形的性质,正确的是( ) A.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们对应角平分线的比为16:81 B.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们的对应高的比为4:9 C.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们的面积的比为2:3 D.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们对应中线的比为2:3 2.如果两个相似三角形对应角平分线之比是2:3,那么它们的对应边之比是( ) A.2:3 B.4:9 C.16:81 D. B A 15 课堂练习 3.如图,在菱形中,分别是边的中点,连接交对角线于点,连接,则=( ) A.1:1 B.1:2 C.2:3 D.3:2 4.已知且相似比为,且相似比为,则与的对应角平分线比为(　) A. B. C. D. 5.已知,顶点分别与对应,,,的高为,那么的高为____. C B 4 16 课堂练习 6.如图,已知,点分别是的中点,则=　 　.  7.如图,某校宣传栏后面处种了一排树,每隔一棵,共种了棵,小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离处,正好看到这排树两端的树干,其余的棵均被挡住,那么宣传栏的长为　 　.(不计宣传栏的厚度)  17 课堂练习 解:于点, , , ,, 于点,于点, . 8.如图,在中,于点 ,于点,于点.若,求的值. 18 课堂练习 解:, , , ,即, 解得:, . 9.如图,已知,,求和的长. 19 课堂小结 知识点： 1.相似三角形对应高的比等于相似比。 2.相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 3.相似三角形对应中线的比等于相似比。 4.统一性质:相似三角形对应线段的比等于相似比。 5.证明方法:通过 “相似→角相等→再证小三角形相似” 推导。 6.应用步骤:确定相似关系→找准对应线段→依据性质列比例→计算求解。 7.思想方法:类比思想、转化思想、从特殊到一般。 知识梳理 20 课后提升 1.如图,,若,则边上的高与边上的高之比是(　 ) A. B. C. D. 2.已知,若与的相似比为,则与对应中线的比为(　 ) A. B. C. D. 3.若两个相似三角形对应边上的高线之比为,则对应角平分线之比为(　 ) A. B. C. D. 基础作业： B A C 21 课后提升 4.如图,在中,,高,正方形的一边在上,点分别在上,交于点,则的长为(　) A.15 B.20 C.25 D.30 5.(1)相似三角形对应高的比等于________. (2)相似三角形对应的角平分线的比等于________. (3)相似三角形对应边上的中线的比等于________. 6.如图,已知在与中,, 分别平分,.若,,则的长为________. 基础作业： B 相似比 相似比 相似比 9 22 课后提升 7.如图,在中,分别是边上的中线,且,垂足为点,设,则下列表达式中成立的是(　 　)　 A.B.C.D. 8.如图,在矩形中,,点在边上,和交于点,若,则图中阴影部分的面积为(　 　) A.25 B.30 C.35 D.40 9.顺次连接三角形三边的中点,所成的三角形与原三角形对应高的比是( ) A.1:4 B.1:3 C.2:1 D.1:2 能力提升： C A D 23 课后提升 能力提升： 15或9.6 D 10.已知分别是中的边上的点,,且,那么与对应高的比是( ) A. B. C. D. 11.如果两个相似三角形的两条对应边长分别是和,其中一个三角形最大内角的平分线长是,那么另一个三角形对应角的平分线长是____________. 12.如图,矩形内接于,且边落在上, 若,则的长为___________. 24 课后提升 拓展作业： 解:,. 又,. 分别是与的中线, ,, . 13.如图,在中,分别是的边上的点,分别是的中线.已知,求的长. 25 课后提升 拓展作业： 证明: . 又分别是边上的中线, . . 又,. . 14.如图,相似比为,分别是边上的中线,求证:. 26 课后提升 拓展作业： 证明: . 又分别是边上的中线, . . 又,. . 14.如图,相似比为,分别是边上的中线,求证:. 27 二一教育 二一教育 $