广东汕头市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

2025一2026学年度第二学期期末考试 高二级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题有且只有一项是符合题目要求的。 1.己知集合A={x|0<x<1},B={x|2x∈A},则A∩B= A(0,2) B.(分1 C.(0,1) D.(-o,3) 2.观察下列散点图，其中图1两个变量的相关系数为1，图2两个变量的相关系数为2，则判断一定正确的 是() 87 6 5 32- 2 1 01234567t012345673 图1 图2 A.1+r2>0 B.1->0 C.1r2>0 >1 D. 3.已知平面向量，满足a=2,=1,a+=√7，则a·6= () A.-1 B.0 C.1 D.2 1在等比数列a},a-西=1，%-a=g,则数列{a}的前5项之和为( A号 B号 c.- D.头 5.形状各异的4片磁力片，分给甲乙丙3个小朋友，每个小朋友至少1片，其中正方形磁力片只能给甲.共 有多少种分法 () A.6 B.15 C.9 D.12 6已知方程m十”m=1表示焦点在轴上的双曲线，则该双由线浙近线的方程可以是 () A.y=±2x B.y=士√3x C.y=士x D.y=±√5x 7.已知f(x+1)-1是定义在R上的奇函数，且f(2十x)=f(2-x),当1≤x≤2时，f(x)=3-2x,则 (-)= () A B. c-号 D.- 第1页（共4页） 8.某抽奖游戏规则如下：抽奖箱有大小、形状均相同的4个球.其中有3个新球和1个旧球.每次从中随机抽 取1个球，若抽到新球，则此球变为旧球，抽奖者再将此球放回到抽奖箱：若抽到旧球，则直接丢弃.游戏持续 进行，直到抽奖箱中剩余球全部为新球时中奖，若抽奖箱为空，则没有中奖，中奖或抽奖箱为空时，游戏结 束.设X为游戏结束时抽取的次数，则X的期望为 () 5 A. B.23 8 c.是 D.223 48 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.若复数z满足zi=3+4i(i为虚数单位)，则 A.z=4-3i B.z=5 C.z·z=7-24i D.z2=7-24i 10.已知一组样本数据x1,x2,x3的方差为3，则 () A.x1,3,x3不可能都相等 B.x1+k,x2十k,x3十k的方差也为3 C.该组样本数据的平均数有最值 D.x好十号十x的最小值为9 1.已知抛物线Ex=子的焦点为F,准线为1,1与x轴的交点为M,过P的直线与B分别交于A,B两点，则 以下选项正确的是 () A.F坐标为(1,0) B.当MA⊥MB时，AB|=4 C.若AF·BF=16,则SM4B=8√2 D.过点F作与AB垂直的直线与E交于C,D两点，则四边形ACBD面积的最小值为32 三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知cosa=-号，a是第二象限角，则12 sin2a 13.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M,N分别为A1B和B1C1的中点，则三棱锥A1一MNC与三棱柱ABC -A1B1C1的体积之比为 B 14.己知6个数为：1,2,4,8,16,29.将这6个数分为3组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项 数为3且公差为d(d>0)的等差数列，则公差d的值可以为 第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(4+9=13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC, ∠BAD=60°，BC=1. (1)在图中作出平面PAB与平面PCD的交线为1（保留作图痕迹）： (2)若AB⊥PB,求证：平面PBD⊥平面ABCD. 16.(6+9=15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2 acosC=2b+c. (1)求A: (2)若D为BC边上一点，且AD=BD=2,CD=3,求cosB的值. 17.(4+6+5=15分) 许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，一轮“套娃娃”游戏规则是：①规定小朋友 套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，即中途不放弃，直到成功一次为止或套4次结束：②每次套娃娃费用 是10元，例如第一、二次末成功，第三次成功，费用30元.。每次套娃娃成功的概率为号且相互独立. (1)求小朋友一轮套娃娃成功的概率； (2)记随机变量X为小朋友一轮套娃娃的次数，求X的分布列和数学期望： (3)假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩一轮套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望， 第3页（共4页） 18.(6+11=17分) 定义：如果函数y=f(x)在定义域内存在实数x,使f(十k)=f()+f(k)成立，其中k为大于0的常 数，则称点(x,k)为函数f(x)的k级“平移点”.己知函数h(x)=ax2+xlnx. (1)若a=1,求曲线y=h(x)在x=1处的切线方程； (2)若h(x)在[1，+o∞)上存在1级“平移点”，求a的取值范围 19.(4+7+6=17分) 已知椭圆cx 2 烂罩女衅匿学明丁画黜学4兩O立（率☒明(0≤9≤D)【二 和为4 (1)求C的方程： (2)过点F(1,0)的直线交椭圆C于M,N两点，过点M作直线x=4的垂线，垂足为E. ①若△OFN的面积是△OFM的面积的两倍，求直线MN的方程； ②证明直线EN过定点. 第4页（共4页）2025一2026学年度第二学期期末考试 高二级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题有且只有一项是符合题目要求的。 1.己知集合A={x|0<x<1},B={x|2x∈A},则A∩B= A(o,2) B(31 C.(0,1) D.(-o,3) 【答案】A 【详解】由2x∈A即0<2x<1,得0<x<, 所以B={0<x<号}故AnB=(0号) 2.观察下列散点图，其中图1两个变量的相关系数为1，图2两个变量的相关系数为2，则判断一定正确的 是() 味 87 引 3 2 32 … 1 ·。 0123456701234567 图1 图2 A.r+2>0 B.1-2>0 C.r2>0 D片1 【答案】A 【详解】观察图像，可以发现图1整体从左往右递减，图2整体从左往右递增，所以<0<n, 同时图2整体排列比图1更为紧密，所以<，+=一+>0，A正确： 因为<0<，所以n-<0,<0,号<0：故BCD都错误 3.已知平面向量，满足d=2,=1,a+=√7，则a. A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】C 【详解】因团=2，=1，a+=7, 则a+=武++2a, 代入可得即7=4+1+2a·.解得d·=1. 4在等比数列{a,4-=1,4-=号，则数列{a}的前5项之和为( A B当 c.-9 D.-31 4 第1页（共10页） 【答案】D 【详解】设等比数列{a}公比为q,首项为a1,根据通项公式a,=ad”-1, 4-6=4q(q-1)=1① 由已知条件得： 6-6=a44g-1)=8② ②÷①消去公共项得 分=日，解得q= 将g=号代入①，得a·(-)=1,解得a=4, 则= 4[1-(3] 31 1- 4 5.形状各异的4片磁力片，分给甲乙丙3个小朋友，每个小朋友至少1片，其中正方形磁力片只能给甲，共 有多少种分法 () A.6 B.15 C.9 D.12 【答案】D 【详解】若甲分得两个磁力片，共有CA号=6种分法， 若甲只分得一个磁力片，共有C4=6种分法， 由分类加法计数原理，可得共有6+6=12种分法 故选：D 6.已知方程，， v2 m1+3m =1表示焦点在x轴上的双曲线，则该双曲线渐近线的方程可以是 () A=号： B.y=士√3x C.y=士x D.y=士√5x 【答案】A 3-0解得m>3, 【详解】由题意，可得m-1>0 而2=-1，b2=m-3,则a=√m-I,b=√m-3, 所以该双曲线渐近线的方程为y=士x=士m3 a Vmx, 结合选项，令阳二=宁解得m=号>3满足题意： m-1-2 令Vm-3 √-1 =√3，解得m=0<3,不满足题意： 令Vm-3 √m-1 =1,无解，不满足题意； 令0二=5，解得m=号<3，不满足题意 √WL-1 综上所述，该双曲线渐近线的方程可以是y=士号x 故选：A 7.己知f(x+1)-1是定义在R上的奇函数，且f(2+x)=f(2-x),当1≤x≤2时，f(x)=3-2x,则 -)= () A多 B.2 c.- D.- 【答案】A 第2页（共10页） 【详解】由f(x+1)-1是定义在R上的奇函数，得f(-x+1)-1=-[f(x+1)-1], 则f-x+1)+fx+1)=2,即f(x)关于(1,1)对称： 则f(x+2)=-f-x)+2,f(2-x)=一f(x)+2, 由f(2+x)=f(2-x),得f(-x)=f(x): 所以f-圣)=f子)=2--子+2)=2-f)=2-(3-2x)=多 故选：A 8.某抽奖游戏规则如下：抽奖箱有大小、形状均相同的4个球.其中有3个新球和1个旧球.每次从中随机抽 取1个球，若抽到新球，则此球变为旧球，抽奖者再将此球放回到抽奖箱：若抽到旧球，则直接丢弃.游戏持续 进行，直到抽奖箱中剩余球全部为新球时中奖，若抽奖箱为空，则没有中奖，中奖或抽奖箱为空时，游戏结 束.设X为游戏结束时抽取的次数，则X的期望为 () A昌 B c最 D.223 48 【答案】D 【详解】设X为游戏结束时抽取的次数，中奖情况：若只抽到初始的1个旧球即中奖，此时X=1,P(X=1)= : 抽到过1个新球，则共需王弃2个旧球，此时x=3,P心X=3)-子×导×号=日 若抽到过2个新球，则需丢弃3个旧球，此时X=5,路径有（新，新，旧，旧，旧）和（新，旧，新，旧，旧），则 不中奖情况：若不中奖，则箱子为空，意味着3个新球都被抽过且4个旧球最终都被丢弃.每个新球需抽两次 (一次变旧一次丢弃)，初始旧球抽一次，故总次数必为X=3×2+1=7 其概率PX-7)-1-Px=1)-P(X=)-PX=5列-1-（号+日+6）-8 综上，X的数学期望5(=1×子+3xg+5x品+7×是=袋故选D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.若复数z满足zi=3+4ii为虚数单位)，则 A.z=4-3i B.z=5 C.z·z=7-24i D.z2=7-24i 【答案】BD 【详解因为五=3+，所以z=3+4-3+4切1=4-31 i (-i训 对于A项，z=4+3i,故A项错误： 对于B项，=√4+(-3=5，故B项正确： 对于C项，zz=(4-3i)(4+3i)=16-92=25,故C项错误； 对于D项，z2=(4-3i)2=16+91-24i=7-24i,故D项正确」 故选：BD 10.己知一组样本数据x1,x2,x3的方差为3，则 A.x1,x2,x3不可能都相等 B.x1+k,x2十k,x3十k的方差也为3 C.该组样本数据的平均数有最值 D.+号+x的最小值为9 【答案】ABD 【详解1由题意，=号(x++),52=}[0x-+(-+-]=3 第3页（共10页） 对于A,若x1=x2=3,则x=X1=为=， 所以=}[-+(G-+(:-]=0,不满足题意， 则x1,2,x3不可能都相等，故A正确： 对于B,十，名十k,+k的平均数为号（出十k+++为+)=号（国十+）+k=式+， 则方差为3{[+-+订+[x+k-(+)产+[+k-(宝+ =}x-+(3-+(飞-]=3，故B正确： 对于C,由方差的性质可知，样本数据x1,,x3的方差为3， x1十k,x3十k,x3+k的的方差也为3， 由k具有任意性，可知该组样本数据的平均数没有最值，故C错误： 对于D,因为x-=立-， 所以好+号+x=】 -含x-+3=9+玩， 当x=0时，好+x号+号取得最小值9，故D正确 山.已知抛物线Bx=子y~的焦点为F,准线为11与x轴的交点为M,过F的直线与正分别交于AB两点，则 以下选项正确的是 () A.F坐标为(1,0) B.当MA⊥MB时，AB|=4 C.若AF·BF=16,则SMaB=8√2 D.过点F作与AB垂直的直线与E交于C,D两点，则四边形ACBD面积的最小值为32 【答案】ABD 【详解】对于A,抛物线：y2=4x,焦点坐标F(1,0),故A正确； 对于B,设A(x1,y1),B(x2,),M(-1,0), 由题意知，直线AB斜率不为零，设直线ABx=w+1, {=4今-4圳-4=03+=4m /x=y+1 (y12=-4, 可推出：x1+为3=y1+1+%+1=42+2,x1x2=(0y+1)(%+1)=1, MA⊥MB→M1·MB=0→(x1+1)(3+1)+y2=0, 所以1+42+2+1-4=0，解得m=0, 所以AB=x1十x2十p=2十2=4，故B正确： 对于C,SwB=Sm+Sw=MFM-=√G+-4=4Wm+i, 因为AF·BF=(x1+1)(x3+1)=42+4=16 所以m2+1=4,S△MaB=8,故C错误； 对于D,设Cs均.D),设直线CDx=六y+1,同理推出+= 4+2 Se=48cD=号出++2+%+2)=8m++2≥2， 当且仅当2=1时等号成立，故D正确： 故选：ABD. 第4页（共10页） D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知cos三-÷，a是第三象限角，则1二c0s2C= sin2a 【答案1-号 【详解】由cosa=一号a是第二象限角，得s血a=V小coa-√受=专： 所以sm2a=2 o=2×号×(-号)=咎 con2a-2c06a-1-2x( 7 所以1-cos2a= 1+25= 4 sin2a 3 25 13.如图，直三棱柱ABC-A1BC1中，点M,N分别为A1B和B1C1的中点，则三棱锥A1一MNC与三棱柱ABC 一A1B1C1的体积之比为· 【答案】1：6 14.已知6个数为：1,2,4,8,16,29.将这6个数分为3组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项 数为3且公差为d(d>0)的等差数列，则公差d的值可以为 【答案】10或11或17 【详解】6个数的和为S=1+2+4+8+16+29=60, 设新数列首项为b,公差为d,项数为3. 则新数列的和为8=3弘+32d=36+3d=60,化简得：6+d=20 所以可设新数列为：20-d,20,20+d. 所以原6个数中必须有两个数之和为20，观察发现：4+16=20 剩下：1,2,8,29分成两组，一组和为20-d,另一组和为20+d. 由20+d=1+29,20-d=2+8,解得d=10,经检验符合题意」 由20+d=2+29,20-d=1+8,解得d=11,经检验符合题意 由20+d=8+29,20-d=1+2,解得d=17,经检验符合题意， 第5页（共10页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(4+9=13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC, ∠BAD=60°，BC=1. (1)在图中作出平面PAB与平面PCD的交线为1（保留作图痕迹）： (2)若AB⊥PB,求证：平面PBD⊥平面ABCD. 【详解】(1)如图所示： (4分) (2)在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,过点B作BG⊥AD交AD于点G, -1分 (1 D B 由AD=2,BC=1,∠BMD=60,所以4G=号(AD-BC)=号 2分 在直角三角形ABG中，4G=号，∠B4D=60,得AB=1 -3分 在△ABD中，由余弦定理BD=AD+AB2-2AD·ABcos∠BAD, -4分 1 得BD=√2+12-2x2X1×7=V3, -5分 所以AD=AB2+BDP,所以AB⊥BD, -6分 又因为AB⊥PB,PB∩BD=B,PB,BDC平面PBD, （条件不齐不给分)-7分 因此AB⊥平面PBD, -8分 而ABC平面ABCD, 所以平面PBD⊥平面ABCD (9分) 16.(6+9=15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为ab,c.己知2 acosC=2b+c. (1)求A: (2)若D为BC边上一点，且AD=BD=2,CD=3,求cosB的值. 第6页（共10页） 【答案11A-受（②coB= 14 【详解】(1)由2 acosC=2b+c及正弦定理得：2 sinAcosC=2sinB+sinC, -- -1分 因为A+B+C=π，所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, -2分 所以2sin4cosC=2(sin4cosC+cosAsinC)+sinC 3分 化简得2 cosAsinC+sinC=0,而sinC≠0，所以cosA=- 2 4分 又A∈(0，元)， -5分 所以A=2 (6分) (2) B 因为AD=BD=2,CD=3,所以BC=BD十CD=5,即a=BC=5,----------1分 在△ADB中，AD=BD=2,所以∠BAD=B,∠ADC=2B, 2分 在△ADC中，AC=b,AD=2,CD=3,∠ADC=2B, 由余弦定理得：AC2=AD+CD2-2AD·CD·cos∠ADC, -3分 所以b2=22+32-2×2×3×c0s2B,即b=13-12c0s2B①， 4分 在A4BC中，由sima二snB,将m2元-sinB,即b=10sinB②. 5分 将②代入O中，得100simB=13-12c0s2B, 3 即100sin2B =13-121-2sim2B),解得sinB=28 6分 3 所以cowB=1-8mB=1-8-2瓷 -7分 因为A=受，所以B∈(0.晋) 3 -8分 所以cosB= 5√7 14 -(9分) 17.(4+6+5=15分) 许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，一轮“套娃娃”游戏规则是：①规定小朋友 套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，即中途不放弃，直到成功一次为止或套4次结束：②每次套娃娃费用 是10元，例如第一、二次末成功，第三次成功，费用30元.每次套娃娃成功的概率为号且相互独立。 (1)求小朋友一轮套娃娃成功的概率； (2)记随机变量X为小朋友一轮套娃娃的次数，求X的分布列和数学期望： (3)假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩一轮套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望 【答案】1) 81 (2)X的分布列为： X 1 2 3 1 2 8 27 27 X)= 65 第7页（共10页） (3)2600 9 【详解】①)由慰意可知，小明友套娃姓未成功的概奉为（学广=“， -2分 则小明友套娃娃成功的概率为1一。一8： (4分) (2)由题意知随机变量X的可能取值为1,2,3,4， -1分 则Px=4=(学=Px=)=(号×=寺 PX=2=号x 子，P(X=)= 1 4分 所以X的分布列为：- 5分 2 3 4 3 9 27 27 0=1x号+2x号+3×号+4×号-% (6分) (3)法1：记每位小朋友套娃娃摊主获得的利润为Z元，摊主每天利润为Y元， Z可取-8,2,12,22,40 -1分 P2=2=(号x号=景，P2=40=(号=9 2分 由(2)可知，Z的分布列为： -8 2 12 22 40 1 2 16 3 27 8 81 2-8×号+2×号+12×号 8 +22×8+40×8=200, 27 -3分 则每天30位小朋友套娃娃摊主获得的总利润Y的期望为： B(T)=30×E(Z)=2600 9 -4分 故摊主每天利润的期望为2600 元 (5分) 法2：由1)可知，小用友套娃娃成功的概率为1一兰-需 -1分 记每位小朋友套娃娃摊主获得的利润为Z元，摊主每天利润为Y元， -2分 则B2)=(X)×10-x18=×106×18=% -3分 则每天30位小朋友套娃娃摊主获得的总利润Y的期望为： B(Y)=30×E(Z)=2600 4分 9 故摊主每天利润的期望为2600 9 元 (5分) 18.(6+11=17分) 定义：如果函数y=f(x)在定义域内存在实数x,使f(十)=f()+f(k)成立，其中k为大于0的常 数，则称点(xo,k)为函数f(x)的k级“平移点”.已知函数h(x)=a2+xlnx. (1)若a=1,求曲线y=h(x)在x=1处的切线方程； (2)若h(x)在[1，十∞)上存在1级“平移点”，求a的取值范围 【答案】(1)y=3x-2(2)[-n2,0) 第8页（共10页） 【详解】(1)当a=1时，(x)=x2+xlnx,h(1)=1. -1分 h(x)=2x+Inx+1, -3分 t(1)=3.- 4分 故曲线y=h(x)在x=1处的切线方程为y=3x-2 (6分) (2)因为h(x)在[1，+o∞)上存在1级“平移点”， 所以存在∈[1，+∞)，使h(x+1)=h(xo)+h(1) -1分 由a(x+12+(x+1)h(十1)=ax+xlnx+a, 2axo=xolnxo-(xo+1)In(xo+1), 2分 即2a=n6-1+h(6+1, 3分 即=2a与y=-（1+品)血o+1)图象有公共点， 4分 令p(x)=nx-（1+)hx+10(s≥1， 5分 则r)=-( n(x+1)+1】 6分 n(x+1之0， x2 一7分 所以p(x)在[1，+o∞)上单调递增， -8分 所以p(x)≥p(1)=-2ln2, 9分 因为x≥1，所以1nx<nx+1),x+1>1 所以px)=nx-+1nx+1）<0,- -10分 所以p(x)∈[-2n2,0),所以a∈[-n2,0). (11分) 19.(4+7+6=17分) 已知椭圈C兰+茶-1ab>0)的度心率为，0为坐标原点：帮四c上的点到背个生高的距疼之 和为4. (1)求C的方程： (2)过点F(1,0)的直线交椭圆C于M,N两点，过点M作直线x=4的垂线，垂足为E. ①若△OFN的面积是△OFM的面积的两倍，求直线MN的方程； ②证明直线EN过定点， 【答案1n学+号-1：205x-2y-5=0或5x+y-5=0闭号 【详解】(1)由题意得2a=4,所以a=2,- -1分 又因为e=合-号，所以c=1, -2分 b=2-c2=3,- -3分 所以C的方程为号+号-1 -(4分) (2)①当直线N与y轴垂直时，此时O,F,M,N四点共线，不合题意； -1分 当直线MN与y轴不垂直时，设MN:x=y+1,M(x1y),N(x2), 不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，即>0，为<0，-- 2分 第9页（共10页） M 联等+号-1，清去并整得心y+6m-9=0。 x=w+1 △>0,4+y2= 6nL 9 3那+4h= -3分 3e2+4 因为S0a=2Saw,即号oF(-)=2·号10F4,所以=-2， 4分 所以川十为=一h=一 6nL 9 9 4%=-2好= 3+4片=23m+4' -5分 所以(2B解特-专a9 9 6分 5 所以w=25y+1或x=25 y+1, 即直线MW的方程为√5x-2y-√5=0或5x+2y-√5=0 (7分) ②若直线EN过定点，由对称性可知定点必在x轴上，设为H=(x,0) 设M(x1),N(x3,为)，所以E(4,),-- -1分 所以-子，所以BNy-为=名骨(x-到 x2-4 2分 令y=0得x=4-,-4=4-+1二4=4- 41y2-3y -3分 y2-y 2-y1 2一V1 因为为=-。 用中g=所以=子+ 91L -4分 3 3 所以x=4-m=4-20+为)一-3别 =4- =43=5 一y 为一乃 为一y1 22-5分 所以多，O)为直线N所过定点。 (6分) 第10页（共10页）