精品解析：广东梅州市兴宁市齐昌中学等2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

2025—2026学年第二学期高二期末试题（数学） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，故． 又因为，所以． 2. “兴宁鸽”是兴宁市标志性特色农产品，有近400年养殖史，获“全国名特优新农产品”“国家地理标志”等认证，亮相广州塔、大湾区推广，是兴宁乡村振兴支柱产业．肉鸽在0～25日龄快速生长期内，体重W（单位：g）与日龄t（单位：天）的函数关系为，则鸽子在日龄时的瞬时生长率为（ ） A. 16g/天 B. 18g/天 C. 20g/天 D. 22g/天 【答案】B 【解析】 【详解】瞬时生长率为，代入得（g/天）． 3. 某风景区有5个出入口，如果甲同学从其中的任意一个门进入景区，并要求从其它的门出去，那么共有多少种不同的进出景区的方式？（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】进景区有5种选择，出景区不能与进的门相同，有4种选择，总方式数为． 4. 下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于 A，，为偶函数，，最小正周期，符合； 对于B，是奇函数，最小正周期，排除； 对于C，非奇非偶，且不是周期函数，排除； 对于D，是奇函数，排除． 5. 梅州市被评为“中国金柚之乡”，梅州金柚为国家地理标志产品．设梅州金柚（把梅州金柚近似看成球体）的直径（单位：cm）服从正态分布，若直径在内为优质果，则在随机抽取的10000个梅州金柚中，优质果的个数约为（ ） 附：若，则，， A. 6827 B. 9545 C. 9973 D. 3173 【答案】B 【解析】 【详解】直径，，，，优质果的概率，故优质果个数约为． 6. 已知角的始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】终边过，故，． ． 7. 某学习小组6名学生在一次数学测验中的得分（单位：分）如下．这6人成绩的第百分位数是n．若在该小组随机选取两名学生，则得分都比n低的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】6个数据排序为，第百分位数， 向上取整为4，故， 比n低的数为， 随机选2人的总组合数为， 均低于n的组合数为，概率为． 8. 如图，过原点斜率为k的直线与曲线交于两点， ①的取值范围是． ②． ③当时，先减后增且恒为负． 以上结论中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，构造，，求导，结合函数有两个不同的零点，得到，并求出的单调性和极值，最值情况，由得到①正确；对于②，在①的基础上，得到，即，从而得到②正确；对于③，由①②，结合图象得到③正确. 【详解】对于①，令，则， 由已知有两个不同的零点， 当时，恒成立，故在上单调递减，不满足有两个不同的零点，舍去；则， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值， 又时，时，， 如图：所以只需，则，故①正确； 对于②，由①可知，所以，故②正确； 对于③，结合图象可知，当时，先减后增且恒为负，故③正确. 所以所有正确结论的序号是①②③. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法， 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的中位数为5.5 B. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 C. 若，则 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则数m的值是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据中位数的概念可得A；根据二项分布均值的计算方法以及均值的性质计算n的值可得B；根据方差的性质可得C，根据线性回归方程必然过样本中心，代入即可计算m的值，即可得D． 【详解】A，排序后5，6，6，7，8，10，中位数为，错误； B，，，正确； C，，故C错误； D，样本中心代入回归方程得，正确． 10. 函数的图象与直线（a为常数）的交点可能有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【详解】画出函数的图象如下图所示 观察图象可得： 当或时，0个交点； 当或时，1个交点； 或时，2个交点． 综上，交点可能为0、1、2个． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 有三个零点 C. 若在上单调递增，则a的范围为 D. 函数有两个极值点 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，利用已知条件求出，进而求出，判断选项A；利用零点的性质判断选项B；求导，结合函数在区间内的单调性构造不等式，解不等式判断选项C；结合选项C的分析判断选项D． 【详解】， 求导得， 选项A：，，故A正确； 选项B：，当或1时，零点重合， 函数仅有2个零点，故B错误； 选项C：， 求导得，已知在单调递增， 则在上恒成立，是开口向上的二次函数，对称轴为， ，故有两个不同实根， 记为，则， 则需满足，即，解得， 或，此时无解，故，而非，故C错误； 选项D:由C知，恒成立， 即有2个变号零点， 故有两个极值点，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 求函数的图象在点处的切线的方程______． 【答案】 【解析】 【详解】求导得， 则切线斜率， 切线方程为，即． 13. 已知，的二项展开式中各项系数和为64，则展开式中项的系数是______． 【答案】15 【解析】 【详解】令，得． 所以展开式通项为，令， 所以展开式中项的系数为． 14. 已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合A，B中随机抽取2个不同的元素各构成最大的两位数X和Y，若，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】甲的最大两位数：所有2元子集对应21，31，41，32，42，43，（共6种）； 乙的最大两位数Y：21，31，32（共3种）． 甲获胜的情况共12种，总情况，概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在现实生活中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升人们的工作效率和准确率．某学校为了解教师使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男教师 40 10 女教师 30 20 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关关系？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该学校的男教师中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取2人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）不能认为性别与使用AI熟练度有关． （2）分布列为 0 1 2 ，期望． 【解析】 【分析】（1）由列联表数据求卡方值，再由独立性检验的基本思想得到结论； （2）由题设X的可能取值为0，1，2，并求出对应概率，写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 列联表如下： 能熟练使用 不能熟练使用 合计 男教师 40 10 50 女教师 30 20 50 合计 70 30 100 所以，故不能认为性别与使用AI熟练度有关； 【小问2详解】 分层抽样抽取15名男教师，其中能熟练使用人，不能熟练使用3人， 所以X的可能取值为0，1，2，且，，， 分布列如下： 0 1 2 期望. 16. 已知函数，． （1）若，讨论的单调性； （2）若函数在为增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导数的区间符号确定区间单调性； （2）问题化为在上恒成立，即可得. 【小问1详解】 时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． 【小问2详解】 ，要使在为增函数， 只需在上恒成立，即， 当时，，故. 17. 设常数，，． （1）若是奇函数，求实数k的值； （2）求函数的值域； （3）设，中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义结合诱导公式运算求解即可； （2）利用三角恒等变换可得，结合正弦函数有界性求函数的值域； （3）由题意可得，利用余弦定理可得或，进而可得面积. 【小问1详解】 若为奇函数，则对任意x成立， 即， 可得， 化简得对所有x成立，故． 【小问2详解】 由题意可得：， 其中，， 因为，可得， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 若，则， 因为，即， 且，则，可得，即， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或， 所以的面积为或. 18. 已知盒子中共有N个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）若，，求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是X的数学期望，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由题意可知，随机变量的取值为， 所以随机变量的分布列为， 所以期望： ； 得证． 【解析】 【分析】、（1）第二次取出的是黄球包含了第一次取的不是黄球和第一次取黄球两种情况，根据古典概型概率公式代入计算即可；也可以理解为第二次取黄球的概率等于黄球占比，即（对称性：每个位置取黄球概率相等）． （2）根据已知条件求出红球和黑球的个数，再根据排列组合知识求出黄球最先被全部取出的概率． （3）根据第k个确定是黄球的情况下，讨论前个球中黄球的个数，根据古典概型公式，计算符合条件的样本点个数即可计算概率，代入数学期望计算公式即可得到证明． 【小问1详解】 第一次取出的不是黄球的概率为：； 第一次取出的是黄球的概率为：； 则第二次取黄球的概率为． 【小问2详解】 由题意知，20个球里面，5个黄球，红球和黑球的比是，故红球有5个，黑球有10个； 记“最后一个取出的球是红球”为事件B，“最后一个取出的球是黑球”为事件C； “黄球最先被全部取出取出”记为事件A；则； 当事件B发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时，最后取出的是黑球， 则； 当事件C发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时，最后取出的是红球， ； 则． 【小问3详解】 略． 19. 对于定义在R上的连续函数，若存在常数，使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． （1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数的取值范围； （3）若回旋函数在上恰有个零点，求的取值范围． 【答案】（1）是阶数为的回旋函数；理由如下： ， 故对所有成立． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用回旋函数定义，结合三角函数的性质推出结论； （2）利用回旋函数的定义，结合三角函数的性质化简，分情况讨论求出； （3）利用回旋函数的定义，结合区间内零点个数求的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是回旋函数，需存在t使得对所有x成立． 化简得，故（）． 对任意，取即可； 若，，满足，符合题意； 综上，全体实数均满足题意，即． 【小问3详解】 ，则零点满足，即． 在上恰有个零点，即（）， 则，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期高二期末试题（数学） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “兴宁鸽”是兴宁市标志性特色农产品，有近400年养殖史，获“全国名特优新农产品”“国家地理标志”等认证，亮相广州塔、大湾区推广，是兴宁乡村振兴支柱产业．肉鸽在0～25日龄快速生长期内，体重W（单位：g）与日龄t（单位：天）的函数关系为，则鸽子在日龄时的瞬时生长率为（ ） A. 16g/天 B. 18g/天 C. 20g/天 D. 22g/天 3. 某风景区有5个出入口，如果甲同学从其中的任意一个门进入景区，并要求从其它的门出去，那么共有多少种不同的进出景区的方式？（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 4. 下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 5. 梅州市被评为“中国金柚之乡”，梅州金柚为国家地理标志产品．设梅州金柚（把梅州金柚近似看成球体）的直径（单位：cm）服从正态分布，若直径在内为优质果，则在随机抽取的10000个梅州金柚中，优质果的个数约为（ ） 附：若，则，， A. 6827 B. 9545 C. 9973 D. 3173 6. 已知角的始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 某学习小组6名学生在一次数学测验中的得分（单位：分）如下．这6人成绩的第百分位数是n．若在该小组随机选取两名学生，则得分都比n低的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过原点斜率为k的直线与曲线交于两点， ①的取值范围是． ②． ③当时，先减后增且恒为负． 以上结论中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的中位数为5.5 B. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 C. 若，则 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则数m的值是 10. 函数的图象与直线（a为常数）的交点可能有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 有三个零点 C. 若在上单调递增，则a的范围为 D. 函数有两个极值点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 求函数的图象在点处的切线的方程______． 13. 已知，的二项展开式中各项系数和为64，则展开式中项的系数是______． 14. 已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合A，B中随机抽取2个不同的元素各构成最大的两位数X和Y，若，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在现实生活中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升人们的工作效率和准确率．某学校为了解教师使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男教师 40 10 女教师 30 20 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关关系？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该学校的男教师中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取2人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数，． （1）若，讨论的单调性； （2）若函数在为增函数，求实数的取值范围． 17. 设常数，，． （1）若是奇函数，求实数k的值； （2）求函数的值域； （3）设，中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，求的面积． 18. 已知盒子中共有N个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）若，，求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是X的数学期望，证明：． 19. 对于定义在R上的连续函数，若存在常数，使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． （1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数的取值范围； （3）若回旋函数在上恰有个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $