精品解析：山东临沂市费县2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025—2026学年度下学期质量监测 八年级数学试题 2026.07 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级、学校填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分）请将唯一正确答案代号填涂在答题卡上） 1. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 2. 下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 邻角互补 D. 对角线相等 3. 已知函数y＝kx（k≠0），y随x增大而增大，那么函数y＝kx+k的图象是（　　） A. B. C. D. 4. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 5. 如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2025年3月有重度污染天气 B. 该地区2025年3月的值比2月集中 C. 该地区2025年2月的值比3月集中 D. 从整体上看，该地区2025年2月的空气质量好于3月 6. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论不正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 5 2 … A. y随x的增大而减小 B. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 C. 是方程的解 D. 一次函数的图象与x轴交于点 7. 已知某组数据的方差计算式为，则下列关于这组数据的说法错误的是（ ） A. 这组数据的中位数是3 B. 这组数据的平均数是3 C. 这组数据的众数是3 D. 这组数据的方差是3 8. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与正比例函数相交于点，则关于的不等式是的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例如点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．若从点出发连续移动15次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，则关于的函数解析式正确的为（ ） A. B. C. D. ． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则满足的条件是______． 12. 将一组数据8，10，10，12，19，21按第4个间隔分为两组时，组内离差平方和为__________． 13. 若，那么__________． 14. 已知，，将直线绕原点旋转，当直线与线段有公共点时，则的取值范围是______． 15. 如图①，在四边形中，，，点从点出发，沿运动到点．图②是点运动时，的面积与点运动的路程之间的关系图象，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 观察下列式子的规律，用字母表示这一规律，并给出证明． ；；． 18. 随着经济水平的提升，人们越来越重视身体健康、目前，国际上常用身体质量指数“”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：m）数值标准见下表： 的范围 健康类型 瘦弱（不健康） 偏瘦 正常 偏胖 肥胖（不健康） 某学校为了解中学生的健康情况，随机抽取了部分学生体检结果的身高数据，对身高情况分成4组（每组只包含下边界），绘制了如下两幅的统计图． （1）请补全条形统计图，并填空：_______，样本容量是_______； （2）样本中数据的中位数所在的范围是_______； （3）若取每个组的组中值代表每组中每个学生的身高，那么此次抽取的样本学生的平均身高是多少? （4）小张身高值为29，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉_______．（结果精确到） 19. 如图，一个长方形由5个边长为1的正方形组成，请把它分割后拼成一个大正方形，简要说一说分割方法，画出拼成的正方形. 20. 如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形是矩形． 21. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． （1）求小球到达斜面底端时的速度； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． （3）由（2）的结果和图②可以看出，小球有两次的速度达到，直接写出这两次间隔的时间． 22. 某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． （1）分别写出，关于的函数解析式； （2）若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 23. 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点． （1）观察发现：请直接写出和数量关系__________． （2）探究证明：如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”其余条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明这一结论，若不成立，请你说明理由． （3）综合运用：在（2）条件下，若正方形的边长为4，连接，的面积，请求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期质量监测 八年级数学试题 2026.07 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级、学校填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分）请将唯一正确答案代号填涂在答题卡上） 1. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项错误，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 2. 下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 邻角互补 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、B选项：平行四边形与矩形的对角，对边均相等，不符合题意； C选项：平行四边形对边平行，邻角互补，矩形也具有该性质，不符合题意； D选项： 一般平行四边形对角线仅互相平分， 矩形对角线相等，符合题意． 3. 已知函数y＝kx（k≠0），y随x增大而增大，那么函数y＝kx+k的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数y＝kx（k≠0），当k>0，y随x增大而增大，图象经过原点与一、三象限，则y＝kx+k的图象向上平移，与y轴正半轴有交点，图象过一、二、三象限． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∵b＝k＞0， ∴一次函数y＝kx+k的图象经过一、二、三象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象的基本性质，关键在于判断k值与b值得符号，然后确定图象所在的象限． 4. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 5. 如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2025年3月有重度污染天气 B. 该地区2025年3月的值比2月集中 C. 该地区2025年2月的值比3月集中 D. 从整体上看，该地区2025年2月的空气质量好于3月 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计图表的认识，读懂统计图表是解题基础．属于基础题．根据统计图中数据，结合各选项逐一判断即可得． 【详解】解：A、该地区2025年3月值超过，有重度污染天气，故A正确，不符合题意； B、该地区2025年2月的值比3月集中，故B错误，符合题意； C、该地区2025年2月的值比3月集中，故C正确，不符合题意； D、从整体上看，该地区2025年2月的空气质量好于3月，故D正确，不符合题意． 故选：B． 6. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论不正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 5 2 … A. y随x的增大而减小 B. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 C. 是方程的解 D. 一次函数的图象与x轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得， A、y随x的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、当时，，可知，y随x的增大而减小，可知，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项B正确，不符合题意； C、时，，故方程的解是，故选项C正确，不符合题意； D、∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， 当时，，得， ∴一次函数的图象与x轴交于点，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答． 7. 已知某组数据的方差计算式为，则下列关于这组数据的说法错误的是（ ） A. 这组数据的中位数是3 B. 这组数据的平均数是3 C. 这组数据的众数是3 D. 这组数据的方差是3 【答案】D 【解析】 【分析】从方差计算式中提取原始数据，再计算各统计量判断正误. 【详解】解：A、由方差公式得这组数据为. 将数据从小到大排列为， ∵共5个数据，第3个数据为3， ∴中位数是3； 故A、正确． B、， 故B正确． C、∵3出现的次数最多，共2次， ∴众数是3； 故C正确． D、， 故D错误． 8. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与正比例函数相交于点，则关于的不等式是的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用函数图象解不等式，根据图象得出点横坐标为，观察函数图象得：在点左侧，的函数图象在的函数图象上方，由此得到不等式的解集．本题的关键在于将不等式转化为直线在直线上方的横坐标的范围． 【详解】解：由图象可知：点横坐标为， 由得：， 当时，的函数图象在的函数图象上方， 即，即， ∴关于的不等式是的解集为． 故选：B． 9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明是直角三角形，得到，再证明四边形是矩形，得到，当时，取得最小值，即取得最小值，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∵， ∴，即的最小值为． 10. 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例如点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．若从点出发连续移动15次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，则关于的函数解析式正确的为（ ） A. B. C. D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】设甲方式移动次数为参数，根据移动规则分别表示出和，消去参数即可得到函数解析式． 【详解】解：设15次移动中使用了次甲方式，则使用了次乙方式． ∵起点坐标为，每次甲方式使增加2，增加1，每次乙方式使增加1，增加2． ∴． 整理得． 又∵． 将代入， 得， 化简得． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是掌握：二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于．据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴， 解得：， ∴满足的条件是． 故答案为：． 12. 将一组数据8，10，10，12，19，21按第4个间隔分为两组时，组内离差平方和为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】原数据已排序，6个数据共5个间隔，第4个间隔位于第4个和第5个数据之间，据此分成两组，分别计算两组的离差平方和再求和即可． 【详解】解：原数据已从小到大排序，共6个数据，相邻数据间有个间隔，第4个间隔在第4个数据和第5个数据之间，因此分组为： 第一组：，第二组： 计算第一组的平均值： ， 第一组的离差平方和为： ， 计算第二组的平均值： ， 第二组的离差平方和为： ， 总的组内离差平方和为． 13. 若，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式由，得到，再由，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 已知，，将直线绕原点旋转，当直线与线段有公共点时，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，把点的坐标分别代入求出k的值即可得到答案． 【详解】解：把代入直线得， ， 把代入直线得，， 解得 ∴的取值范围是， 故答案为： 15. 如图①，在四边形中，，，点从点出发，沿运动到点．图②是点运动时，的面积与点运动的路程之间的关系图象，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据面积变化分段确定、总运动路程，利用三角形面积公式求出，再作垂线构造矩形与直角三角形，结合勾股定理建立方程，进而求出的长． 【详解】解：点沿运动： 当时，在上运动，的高随路程增大而升高，面积持续变大； 当时，到达点，面积达到最大值， ， 此时，的高为，底为，面积， ， 解得：， 过点作于点， ，，， 四边形是矩形， ，， 点从到的总路程为，即， 代入， 得：，即， 在中，， ， ， 展开得，， 整理得：， 解得：， 代入． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简各数，然后先算乘法，再算加减法即可； （2）利用平方差公式和二次根式的乘除法计算法则先算乘方和乘除，然后再算加减． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 观察下列式子的规律，用字母表示这一规律，并给出证明． ；；． 【答案】用字母（是正整数，）表示这一规律是： ， 证明： 【解析】 【分析】先观察三个式子中整数部分、分数的分子、分数的分母与根号外系数的对应关系，确定各部分的变化规律，设整数部分为大于等于2的正整数，再结合二次根式的性质（）对左边式子变形，推导和右边式子的关系即可． 【详解】略． 18. 随着经济水平的提升，人们越来越重视身体健康、目前，国际上常用身体质量指数“”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：m）数值标准见下表： 的范围 健康类型 瘦弱（不健康） 偏瘦 正常 偏胖 肥胖（不健康） 某学校为了解中学生的健康情况，随机抽取了部分学生体检结果的身高数据，对身高情况分成4组（每组只包含下边界），绘制了如下两幅的统计图． （1）请补全条形统计图，并填空：_______，样本容量是_______； （2）样本中数据的中位数所在的范围是_______； （3）若取每个组的组中值代表每组中每个学生的身高，那么此次抽取的样本学生的平均身高是多少? （4）小张身高值为29，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉_______．（结果精确到） 【答案】（1）如图： ；40 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，求圆心角，一元一次不等式的应用，根据统计图表获取信息是解题的关键． （1）先求出调查的总人数，得出样本容量，用调查的总人数减去除身高为的人数即可求出身高为的人数，用身高为占总人数的比例乘以，即可求出m的值； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）根据平均数计算公式求出结果即可； （4）设小张体重需要减掉，根据计算公式，列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：样本容量为：， 的人数为：（人）， ； 【小问2详解】 解：根据数据从小到大排列，排在第19和第20 的数值都在， 中位数所在的范围是； 【小问3详解】 解：此次抽取的样本学生的平均身高是： ； 【小问4详解】 解：设小张体重需要减掉， 依题意，， 解得：， 答：他的体重至少需要减掉， 故答案为：15.3． 19. 如图，一个长方形由5个边长为1的正方形组成，请把它分割后拼成一个大正方形，简要说一说分割方法，画出拼成的正方形. 【答案】将原图①分割成五块：四个直角边分别为1、2的直角三角形，一个边长为1的正方形；再如图②所示，拼成边长为的正方形即可．下面是分割方式和拼接的示意图． 分割图①： 拼接图②： 【解析】 【分析】将原图分割成五块：分别是4个直角边分别为1、2的直角三角形，1个边长为1的正方形，再用直角三角形的斜边作为大正方形的边，中间放入小正方形，即可拼成边长为的正方形． 【详解】略． 20. 如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：是的中点， ， 又， ． ，， ∴， ∵为的中点， ， ， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定： （1）证明得到，，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据三线合一定理当可得，则可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：添加，可得平行四边形是矩形，理由如下： ， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 21. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． （1）求小球到达斜面底端时的速度； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． （3）由（2）的结果和图②可以看出，小球有两次的速度达到，直接写出这两次间隔的时间． 【答案】（1）小球到达斜面底端时的速度为 （2）3s （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意确定小球滚到底端时的速度所对应的点，通过待定系数法求出直线解析式，将点横坐标代入，即可求出点纵坐标，从而求出小球到达斜面底端时的速度． （2）通过待定系数法求出直线解析式，从而求出点坐标，利用和点横坐标即可求出小球从斜面底端至停止所用的时长． （3）分别将速度代入两个解析式和，求出两个时间，将其相减即可． 【小问1详解】 解：观察图2可知，点是小球由静止向下滚动到底端时的速度， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， ， 点的横坐标是2， ． 小球到达斜面底端时的速度为． 【小问2详解】 解：观察图2 可知，设直线的解析式为， 和点在直线上， ，解得， ， 令，则． ， 该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为. 【小问3详解】 解：小球由两次速度达到， 在直线解析式上时，，则， 在直线解析式上时，，则， 两次间隔的时间为． 22. 某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． （1）分别写出，关于的函数解析式； （2）若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】（1）（x为正整数），（x为正整数） （2）每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【解析】 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出，关于的函数解析式； （2）分别列出、、三种关系式求解即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； 【小问2详解】 略 23. 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点． （1）观察发现：请直接写出和数量关系__________． （2）探究证明：如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”其余条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明这一结论，若不成立，请你说明理由． （3）综合运用：在（2）条件下，若正方形的边长为4，连接，的面积，请求出线段的长． 【答案】（1）相等 （2）成立，证明如下： 证明：在上取一点，使，连接， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由（1）知，， ， 、， ， 在和中， ， ， ； （3）1 【解析】 【分析】（1）在上截取，使得，证明即可． （2）在上取一点，使，连接，证明即可． （3）连接，利用三角形的面积，勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在截取，使得， ∵正方形中， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 由（2）知，， ， ． 在中，由勾股定理得： ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $