精品解析：山东省临沂市费县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

八年级数学期末试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2.答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答． 【详解】解：A、， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 2. 如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，由勾股定理分别计算，，，的长度，即可获得答案． 【详解】解：由勾股定理可得，，，，． 故选：D． 3. 某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数，根据众数和中位数的定义即可得出答案，熟练掌握众数和中位数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是小时，故众数是9， 处在第、位的是，故中位数是， 故选：A． 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算以及二次根式的性质化简，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是正确的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B 5. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，菱形的中点四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中点四边形，菱形的性质，矩形的判定，平行线的性质，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和矩形的判定方法． 连接、，根据中位线性质得出，，证明四边形为平行四边形，根据平行线的性质，证明，得出四边形为矩形． 【详解】解：如图，E，F，G，H是菱形四条边的中点，连接、，如图所示： ∵四边形 为菱形，、、G、H分别为、、、的中点， ∴，， 同理得：，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形 为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 故选：C． 6. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键； 根据一次函数中可知，随的增大而减小，据此求解． 【详解】直线过点和点， ， 随的增大而减小， ， ， 故选：B． 7. 如图，在菱形 中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点， ；②作直线 ，与交于点，连接，若，直线 恰好经过点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理．由作图可知，直线 为线段的垂直平分线，则，，结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：四边形 为菱形， ，． 由作图可知，直线 为线段的垂直平分线， ，， 在中，由勾股定理得，， ∵， ， ． 在中，由勾股定理得，． 故选：D． 8. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一次函数的图象经过点， ∴，则， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负． 9. 甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：①；②；③甲的速度为8米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象． 根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度和乙的速度可以计算出的值，即可判断①，②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④． 【详解】解：由函数图象可得，甲的速度为(米/秒)，故③错误； 乙的速度为(米/秒)， ∴，故①错误，②正确； 设当甲、乙相距米时，甲出发了秒， 当两人相遇前相距米时，得， 解得， 两人相遇后相距米时，得， 解得， ∴当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒，故④错误； 则正确的有1个， 故选：A． 10. 如图，在中，，，，点为上任意一点（不与点重合），以，为邻边作，连接，则最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 根据平行四边形的性质分析出当最短时也最短，过作的垂线，即的最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：设与的交点为O， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作 的垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为3． 故选：A 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式再解答即可． 【详解】解：∵ ∴6-3x≥0，即． 故填． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式成为解答本题的关键． 12. 为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择___________． 【答案】丁 【解析】 【分析】结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取， 由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是， 从甲，丙，丁中选取， 甲的方差是，丙的方差是，丁的方差是， 发挥最稳定的运动员是丁， 从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁． 故答案为：丁． 【点睛】本题重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13. 在直角坐标系中，点到原点的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，根据两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是， 故答案为：． 14. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴纵坐标为， ∴两直线交点坐标， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 15. 若是整数，那么自然数所有可能值的和是_________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出m的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即，， ②，即， ③，即， ④，即， ⑤，即， 综上所述，自然数n的值可以是，2，9，14，17，18， ． 故答案为；60． 16. 如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，……，按此作法进行下去，则点的横坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵，点在直线上， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线， ∴， 解得：， ∴，即点的横坐标为， 同理： 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， ∴点的横坐标为， 令， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式； （2）根据二次根式的除法法则计算即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 19. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目．为了解学生的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息： 的成绩为：71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79． 创意设计比赛 科技竞赛 甲的成绩 95 90 乙的成绩 92 95 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是______分； （3）请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩按的比例确定这次活动每个人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下，通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 【答案】（1） 补全图形如下： （2）78 （3）600人 （4）乙 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体，加权平均数，掌握基础的统计知识是解本题的感觉． （1）先求解总人数，再求解的人数，再补全图形即可； （2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； （3）由总人数乘以80分（含80以上）的人数百分比即可得到答案； （4）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可． 【小问1详解】 解：∵，而有20人， ∴有（人）， 【小问2详解】 解：∵， 而的成绩为： 71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79． ∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：78，78； 中位数为（人）， 故答案为：78； 【小问3详解】 解：估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80（分）的人数为： （人）， 答：估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80（分）的人数为600人； 【小问4详解】 解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， ∴乙的综合成绩更高 20. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线的表达式和a的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时， x的取值范围为； 【小问2详解】 将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． 【小问3详解】 设， 把代入得，， ∴， ∴， ， 解得或． ∴或 21. 如图，在四边形 中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形 是平行四边形，再由可得平行四边形 是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 22. 在中国园艺学会樱桃分会主办的2025中国优质樱桃擂台大赛中，我县果农选送的“鲁樱金牛4-8”大樱桃样品被评定为“特级樱桃产品”，荣获“特等奖”．某商贸公司经销甲、乙两个品种的樱桃，甲种樱桃进价为16元/斤；乙品种樱桃的进货总金额y（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种樱桃的售价分别为20元/斤和25元/斤．某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的樱桃共1000斤，其中乙品种的收购量不低于300斤，且不高于600斤． （1）已知，，求关于的函数表达式． （2）若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的樱桃能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的樱桃所获总利润为w元（利润=销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），最大利润元，进货方案：甲400斤，乙600斤 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，分段函数． （1）由图可知，关于的函数表达式为分段函数，分别当，时，设出函数关系式求解即可； （2）由题意可知甲品种樱桃的进货量斤，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：由图可知，关于的函数表达式为分段函数， 当时，设关于的函数表达式为， 将代入得， 解得：，即关于的函数表达式为； 当时，设关于的函数表达式为， 将，分别代入得， 解得：，即关于的函数表达式为； 综上所述，关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵乙品种的收购量不低于300斤，且不高于600斤 ∴取函数关系式，且， ∵收购了甲、乙两个品种的樱桃共1000斤，乙品种樱桃的进货量x斤， ∴甲品种樱桃的进货量斤， ∵甲品种樱桃进价为16元/斤，甲品种樱桃的售价为20元/斤， ∴甲品种樱桃利润为4/斤， ∵乙品种樱桃的售价为25/斤，从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元， ∴， ∴w随x增大而增大， 即当时，w取得最大值，此时甲400斤，乙600斤． 23. 在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动．如图1，对矩形纸片 进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片 ，使与重合，得到折痕 ，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在 上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． （1）连接，则的形状是_______三角形． （2）将矩形纸片换成正方形纸片 ，先进行操作一，然后在上任选一点M（点M不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接N，，并延长交于点Q，连接． ①如图2，若点N恰好在 上，请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由． ②如图3，若点N落在 下方，正方形纸片 的边长为8，当时，求的长． 【答案】（1）等边 （2）①，，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质. （1）由折叠的性质可得得，再次折叠得，等量代换问题可求解； （2）①根据折叠性质可证即可求解； ②设，分别表示出，，，由勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：对折矩形纸片 ，使与重合，得到折痕 ， ，， 再一次折叠纸片，使点A落在 上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段， ， ， ， ， ∴， ∴是等边三角形； 故答案为：等边； 【小问2详解】 解：①如图2，，，理由如下： 四边形 是正方形， ，， 由翻折可知，， ， ， ， ， 由翻折可知：，， ； ②如图3， ，， ，， ， 由①知， 设，，， ， ， 解得：， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2.答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A. B. C. D. 3. 某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，菱形的中点四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 6. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：①；②；③甲的速度为8米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，，，，点为上任意一点（不与点重合），以，为邻边作，连接，则最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择___________． 13. 在直角坐标系中，点到原点的距离是______． 14. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 15. 若是整数，那么自然数所有可能值的和是_________． 16. 如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，……，按此作法进行下去，则点的横坐标为_________． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 19. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目．为了解学生的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息： 的成绩为：71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79． 创意设计比赛 科技竞赛 甲的成绩 95 90 乙的成绩 92 95 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是______分； （3）请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩按的比例确定这次活动每个人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下，通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 20. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线的表达式和a的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 22. 在中国园艺学会樱桃分会主办的2025中国优质樱桃擂台大赛中，我县果农选送的“鲁樱金牛4-8”大樱桃样品被评定为“特级樱桃产品”，荣获“特等奖”．某商贸公司经销甲、乙两个品种的樱桃，甲种樱桃进价为16元/斤；乙品种樱桃的进货总金额y（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种樱桃的售价分别为20元/斤和25元/斤．某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的樱桃共1000斤，其中乙品种的收购量不低于300斤，且不高于600斤． （1）已知，，求关于的函数表达式． （2）若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的樱桃能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的樱桃所获总利润为w元（利润=销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案，最大利润是多少？ 23. 在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动．如图1，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． （1）连接，则的形状是_______三角形． （2）将矩形纸片换成正方形纸片，先进行操作一，然后在上任选一点M（点M不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接N，，并延长交于点Q，连接． ①如图2，若点N恰好在上，请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由． ②如图3，若点N落在下方，正方形纸片的边长为8，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $