精品解析：2022年浙江省宁波市镇海区蛟川书院 中考数学二模试卷

浙江省宁波市镇海区蛟川书院2022年中考数学二模试卷 一、选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知整数满足，则整数可能是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，将式子同时平方即可解题． 【详解】解：， ， 故选：D 2. 下列等式变形：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，那么，其中正确的有（　　） A. （1）（4） B. （1）（2）（4） C. （1）（3） D. （2）（4） 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的性质和绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：（1）当时，x和y的值可以不相等，故（1）错误； （2），即，等号两边平方，即得出，故（2）正确； （3）当a，b互为相反数时满足，但不满足，故（3）错误； （4），等号两边同时除以28，即得出，故（4）正确； 综上可知正确的有（2）（4），故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等式的性质和绝对值的意义．熟练掌握等式的性质，“等式两边同时乘以或除以一个不为0的数或式子，等式仍成立”是解题的关键． 3. 已知，则的值为（ ） A. 12 B. 4 C. ﹣4 D. 12或﹣4 【答案】A 【解析】 【分析】由原方程可得：，可得，据此即可解答． 【详解】解：由原方程可得：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解方程，求代数式的值，利用因式分解法解方程是解决本题的关键． 4. 若关于x的不等式组的解只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，根据题意得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， ∵解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 又∵关于x的不等式组的解只有4个整数解，即为20，19，18，17， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 5. 若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程组的解是，可得，求解即可． 【详解】解：方程组可变为， ∵方程组的解是， ∴根据题意，可得， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，找出两组方程组的关系是解题的关键． 6. 设二次函数（为实数）的图象过点，，，，设，，（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】用k表示a、b，再根据条件求k的范围即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数y=x2-kx+2k（k为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）， ∴代入变形可得：y1=k+1，y2=4，y3=9-k，y4=16-2k， ∵y1-y2=a，y3-y4=b， ∴a=k-3，b=k-7， A、若ab＜0，且a+b＜0，则（k-3）（k-7）＜0①，且（k-3）+（k-7）＜0②， 由①得3＜k＜7，由②得k＜5， ∴3＜k＜5， 故A不符合题意； B、若ab＜0，且a+b＞0，则（k-3）（k-7）＜0③，且（k-3）+（k-7）＞0④， 由③得3＜k＜7，由④得k＞5， ∴5＜k＜7， 故B不符合题意； C、若ab＞0，且a+b＜0，则（k-3）（k-7）＞0⑤，且（k-3）+（k-7）＜0⑥， 由⑤得k＜3或k＞7，由⑥得k＜5， ∴k＜3， 故C不符合题意； D、若ab＞0，且a+b＞0，则（k-3）（k-7）＞0⑦，且（k-3）+（k-7）＞0⑧， 由⑦得k＜3或k＞7，由⑧得k＞5， ∴k＞7， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点坐标，解题的关键是用k的代数式表示a、b． 7. 如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，连接、、、．延长、相交于点，连接、、．若四边形的面积为，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、、，由，，可得，，则有，再由是的中点，得到，，则，由是的中点，得到，，则，所以． 【详解】解：连接、、、，如图： 、分别是、的中点， ，， 、分别是、的中点， ，， ，， ，， ， 是的中点， ，， ， 是的中点， ，， ， ， ， ． 8. 如图所示，在中，，，，将绕点C顺时针旋转至的位置，且点在上，交于点D，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的正切值结合勾股定理可得出和的长；过点作于点F，过点C作于点E，过点D作于点G，根据正切值可得出的值，根据等面积可求出，根据勾股定理可得出的长，进而得出的值，据此计算即可得出的面积． 【详解】解：在中，，，， 设，， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． ∴，． 由旋转的性质可知， ，，，． ∴． 过点作于点F，过点C作于点E，过点D作于点G， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 对于，， ∴， 解得， 由勾股定理可知，． ∴， ∴， 设， ∴，， ∴，解得． ∴的面积． 二、填空题（本题有10小题，每小题5分，共50分） 9. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】将原式变形为两个整式的平方差，运用平方差公式分解因式后，再合并同类项化简即可． 【详解】解： ． 10. 如果，那么____________________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则将原式变形，进而计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 11. 如果一组数据，，，，的方差是，则另一组数据，，，，的方差是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变． 【详解】解：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了，所以波动不会变，方差不变． 数据，，，，的方差是， 数据，，，，的方差不变，还是． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由“关于x的一元二次方程有实数根”可得且，解不等式组即可求出k的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 13. 甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需______元． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据方程组特点整体求出的和．设甲的单价为x元，乙的单价为y元，丙的单价为z元，根据题意列出关于x、y、z的方程组，求出的值即可． 【详解】解：设甲的单价为x元，乙的单价为y元，丙的单价为z元， 由题意得：， 得：， ∴， 故答案为：． 14. 设P是等边内任意一点，从点P作三边的垂线段，点D、E、F是垂足，则____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据P是等边内任意一点，从点P作三边的垂线段，可得，所以，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵P是等边内任意一点，从点P作三边的垂线段， ∴， 设等边边上的高为， 则， ， ∴， ∴， 则． 15. 如图，防洪大堤（横断面为梯形）长150米，高7米，背水坡的坡角为．现准备加固大堤，沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡比为，则完成这项工程需要_______立方米土石．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用特殊角的三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 过点作于点，过点作于点，利用锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则米，米． 在中， ， 为等腰直角三角形， 米． 在中，，解得， 米， 梯形的面积为（平方米）， 完成这项工程需要立方米土石． 16. 如图，在平行四边形中，在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，与y轴交于点E．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，则，解得，设，，则，，，则，即，由可得的值，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴，解得， 设，，则，，， ∴，则，即， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17. 如图，在中，，点在上，点为上的动点，将沿翻折得到，与相交于点，若，，，，则的值为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，作于点，交于点，作于点，得到，证明四边形是正方形，是等腰三角形，根据，得出，设，，进而得到，，根据平分，可得，，在中，根据勾股定理得，即，求出即可． 【详解】解：如图，作于点，作于点，交于点，作于点， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形， ，， ，， ， 设，， ，， 由折叠得：， ∵， ， ∵ ∴ ∴， ， ， ， ， ， 在中，， ， ，（舍去）， ∴． 18. 如图，为的直径，C为半圆上一点（不与点、重合），延长至点E，使，延长至点D，使，延长与交于点F，若，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可求，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，的长，通过证明，可求长，即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点H，与交于点N，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（第19题5分，第20题7分，第21题10分，第22、23题各12分，第24题14分，共60分） 19. 先约分，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把原分式的分子与分母因式分解，再约分，得到进最简结果后把a，b的值代入计算即可． 【详解】解： ＝， ＝， ＝， 当时， 原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解答本题的关键是正确将分式的分子与分母因式分解． 20. 如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B、转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相乘，如果乘积是奇数，那么甲获胜，否则为乙获胜．你认为这样的游戏规则是否公平？请用树状图或列表法说明理由． 【答案】此游戏规则不公平，理由为： 列表如下： 3 4 5 6 1 3 4 5 6 2 6 8 10 12 3 9 12 15 18 ∵所有等可能的情况数有12种，其中乘积为奇数的情况有4种，乘积为偶数的情况数有8种， ∴P（甲获胜）＝，P（乙获胜）＝， ∵， ∴此游戏规则不公平． 【解析】 【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出乘积为奇数和偶数的情况数，进而求出甲乙两人获胜的概率，比较即可． 【详解】略 21. 某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变） 销售数量（辆） 销售额（万元） A款 一月份 30 二月份 10 B款 10 30 350 330 （1）求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？ （2）若A款汽车每辆进价为万元，B款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于129万元且不少于123万元的资金购进这两款汽车共20辆，有哪几种进货方案？ （3）为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，请确定a的取值，并说明理由． 【答案】（1）每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元 （2）方案1：购进7辆款汽车，13辆款汽车；方案2：购进8辆款汽车，12辆款汽车；方案3：购进9辆款汽车，11辆款汽车 （3）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，利用销售金额销售单价销售数量，结合一、二月份的销售数量及销售金额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不多于129万元且不少于123万元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各进货方案； （3）根据各种方案利润相同，列出关于a的方程，然后解方程，得出a的值，再进行验证即可． 【小问1详解】 解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元， 依题意得：， 解得：， 答：每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元． 【小问2详解】 解：设购进辆款汽车，则购进辆款汽车， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为7，8，9， 该公司共有3种进货方案， 方案1：购进7辆款汽车，13辆款汽车； 方案2：购进8辆款汽车，12辆款汽车； 方案3：购进9辆款汽车，11辆款汽车． 【小问3详解】 解：；理由如下： 根据题意得：， 解得：， ∵当时，每辆B款汽车获利为：（万元）， 又∵每辆A款汽车获利为：（万元）， ∴当时，两款汽车每辆获利相同， ∴每种方案获利多少与汽车总辆数有关，而与两种汽车各自的辆数无关， ∴三种方案获利相同． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 【问题情境】 （1）如图1，在正方形中，分别是上的点，于点Q．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，正方形网格中，点为格点，交于点O．求的值． 【拓展提升】 （3）如图3，点P是线段上的动点，分别以为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交、、于点、、，求的值． 【答案】（1）证明：作交于点，交于点，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作交于点，交于点，证明四边形是平行四边形，得出，再由证得，即可得出结论； （2）将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接，由勾股定理和勾股定理的逆定理证，再由，即可得出结果； （3）作交于点G，连接，先证明，得，进而得，再证明是等腰直角三角形，得，最后证明，由相似三角形的性质得出，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得，计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接，如图2所示， ∴， 设正方形网格的边长为单位1，则 由勾股定理可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作交于点G，连接，如图3所示， 则， ∵正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ， 在正方形与正方形中，， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点P的相关函数．的图象的对称轴与x轴交点坐标为． （1）若函数，求t的值（用含m的代数式表示） （2）如图1，若函数经过、两点，点A在直线上，D是函数的图象上的一点，设D点的横坐标为，连接并延长，交函数图象于点E，交直线l于点M，若，求n的值； （3）如图2，若函数，若，当时，函数的最小值为，函数的最大值为，若，请直接写出k的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）求出函数的顶点旋转后的对应点，即可求解； （2）求出二次函数和直线l的解析式，再求出直线的解析式，从而求出点M的横坐标，过点E作轴交于点G，过点M作轴交于点H，利用平行线的性质将所求问题转化为，即可求n的值； （3）求出旋转后的函数解析式，再根据所给的范围，分类讨论分别求出相应的，再求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的顶点为， ∵函数的图象绕点旋转， ∴抛物线的顶点为， ∴； 【小问2详解】 将点、代入， ∴， 解得， ∴， ∵点A在直线上， ∴，解得， ∴ ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， 由，可得， ∴M点横坐标为， 过点E作轴交轴于点G，过点M作轴交轴于点H， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴函数， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴抛物线的顶点为，且二次项系数为， ∴函数， 当时，， 当，即时，， 当，即时，， 当时，， 当，即时，， 当，即时，， ∵， 当时，， 解得（舍）或（舍） 当时，， 解得（舍） 当时，， 解得（舍）或； 当时，， 解得（舍） 当时，， 解得或（舍） 综上所述：或． 24. 如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点D，过点C作垂直交于点E，交于点F，交于点C，连结，若． （1）求证：． （2）如图1，若，求的面积． （3）如图2，若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得，再根据等腰三角形的性质得，再根据，，可得，再根据圆周角定理得，从而得到． （2）设，可依次表示出、、及，进而在中，根据勾股定理列出方程求得x的值，进一步求得结果； （3）连接，设，根据可表示出，进而表示出，根据列出方程，从而求得a的值，进一步求得结果． 【小问1详解】 证明：如图1， 作于M，作于N， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵ ，∴． ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（负值舍去），， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：如图2， 连接，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，， ∴舍去， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是设合适的未知数，列出方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波市镇海区蛟川书院2022年中考数学二模试卷 一、选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知整数满足，则整数可能是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 下列等式变形：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，那么，其中正确的有（　　） A. （1）（4） B. （1）（2）（4） C. （1）（3） D. （2）（4） 3. 已知，则的值为（ ） A. 12 B. 4 C. ﹣4 D. 12或﹣4 4. 若关于x的不等式组的解只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A. B. C. D. 6. 设二次函数（为实数）的图象过点，，，，设，，（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 7. 如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，连接、、、．延长、相交于点，连接、、．若四边形的面积为，则的值为( ) A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，，，，将绕点C顺时针旋转至的位置，且点在上，交于点D，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（本题有10小题，每小题5分，共50分） 9. 分解因式：_____． 10. 如果，那么____________________． 11. 如果一组数据，，，，的方差是，则另一组数据，，，，的方差是____________________． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______． 13. 甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需______元． 14. 设P是等边内任意一点，从点P作三边的垂线段，点D、E、F是垂足，则____________________． 15. 如图，防洪大堤（横断面为梯形）长150米，高7米，背水坡的坡角为．现准备加固大堤，沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡比为，则完成这项工程需要_______立方米土石．（结果保留根号） 16. 如图，在平行四边形中，在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，与y轴交于点E．若，，则________． 17. 如图，在中，，点在上，点为上的动点，将沿翻折得到，与相交于点，若，，，，则的值为 __________________． 18. 如图，为的直径，C为半圆上一点（不与点、重合），延长至点E，使，延长至点D，使，延长与交于点F，若，则____________________． 三、解答题（第19题5分，第20题7分，第21题10分，第22、23题各12分，第24题14分，共60分） 19. 先约分，再求值：，其中． 20. 如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B、转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相乘，如果乘积是奇数，那么甲获胜，否则为乙获胜．你认为这样的游戏规则是否公平？请用树状图或列表法说明理由． 21. 某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变） 销售数量（辆） 销售额（万元） A款 一月份 30 二月份 10 B款 10 30 350 330 （1）求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？ （2）若A款汽车每辆进价为万元，B款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于129万元且不少于123万元的资金购进这两款汽车共20辆，有哪几种进货方案？ （3）为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，请确定a的取值，并说明理由． 22. 【问题情境】 （1）如图1，在正方形中，分别是上的点，于点Q．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，正方形网格中，点为格点，交于点O．求的值． 【拓展提升】 （3）如图3，点P是线段上的动点，分别以为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交、、于点、、，求的值． 23. 把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点P的相关函数．的图象的对称轴与x轴交点坐标为． （1）若函数，求t的值（用含m的代数式表示） （2）如图1，若函数经过、两点，点A在直线上，D是函数的图象上的一点，设D点的横坐标为，连接并延长，交函数图象于点E，交直线l于点M，若，求n的值； （3）如图2，若函数，若，当时，函数的最小值为，函数的最大值为，若，请直接写出k的值． 24. 如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点D，过点C作垂直交于点E，交于点F，交于点C，连结，若． （1）求证：． （2）如图1，若，求的面积． （3）如图2，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $