2.1 图形的相似（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件围绕“图形的相似”核心，通过《海岛算经》测量问题导入，结合知识回顾中全等三角形和比例线段的复习作为学习支架，引导学生从形状相同大小不同的实例中认识相似形，建立与全等形的联系。 其亮点在于以数学眼光观察生活实例培养几何直观，通过图形放大缩小探究对应关系发展推理意识，用符号表示相似多边形强化符号意识。融入数学史增强文化底蕴，帮助学生构建知识体系提升探究能力，也为教师提供丰富教学资源提高教学效率。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 2.1 图形的相似 学 习 目 标 1 2 3 通过实例认识图形的相似;知道全等形与相似形的联系和区别，了解相似多边形和相似比。 能识别两个相似多边形的对应顶点、对应角和对应边，会求相似多边形的相似比。 会用符号表示相似多边形及它们的对应元素，写出对应边之间的比例式，发展学生的符号意识。 《海岛算经》是我国魏晋时期数学家刘徽编撰的数学著作，书中记载了古代测量的实例和计算方法。下面是书中的一个测量问题： 今有望海岛，立两表，齐高三丈， 前后相去千步，令后表与前表参相直。 从前表却行一百二十三步，人目著地， 取望岛峰，与表末参合。从后表却行 一百二十七步，人目著地，取望岛峰， 亦与表末参合。问岛高及去表各几何。 章引言 求解上面的问题需要用到相似三角 形的知识。“相似”是两个图形间的一种特殊关系。本章我们将类比全等三角形的研究过程，探究相似三角形的判定方法，进而研究相似三角形的性质。学习完本章内容，我们就能体会古人测量海岛高度的智慧，并能运用相似三角形的相关知识解决生活中的一些问题。 章引言 知识回顾 三角形全等 定义： 能够完全重合的两个平面图形叫作全等形。 判定方法 定义法：形状相同、大小相等； 基本事实 “边角边”或 “SAS” 判定定理 “角角边”或 “AAS” “角边角”或 “ASA” “边边边”或“SSS” “直斜边”或 “HL” 基本性质 对应边相等 对应角相等 在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为 a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 还记的什么叫作成比例线段吗？ 比例的基本性质： 知识回顾 如果， 那么ad=bc。 形状相同、大小相等的平面图形是全等形。生活中,还有很多形状相同, 但大小不等的平面图形。它们是什么关系呢？ “相似” 本节课就来认识什么是相似形，研究相似形的判定方法， 相似形的基本性质性质 导入新课 上面中的三组图片每组图片： 仔细观察下面的三组图片，每组图片有什么相同点和不同点？ 不同点是大小不同。 相同点是形状相同。 形状相同,但大小不等的平面图形之间有怎样的关系？ 这些形状相同,但大小不等的平面图形,较大的图形可以看成是由较小的图形 “放大”得到的,较小的图形则可以看成是由较大的图形 “缩小”得到。 具有这种关系的两个图形就是相似形。 形状相同的平面图形叫作相似图形，简称相似形 相似形的定义： 归一归 相似图形与全等图形有什么关联? 全等图形 相似图形 形状相同，大小相等 形状相同， 大小可以不等. 全等图形是特殊的（一定是）相似图形.但相似性不一定是全等形 将四边形ABCD(图①)放大1.2倍得到四边形A1B1C1D1(图②), 将四边形ABCD 缩小 得到四边形A2B2C2D2(图③)。将图形放大或缩小后改变图形的形状吗？它们是相似形吗？ 四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1, 四边形ABCD 与四边形A2B2C2D2 都是相似图形。 一个图形经过放大或缩小得到图形与原图形相似。 将一个图形放大或缩小后不改变图形的形状。 (1)如图中,四边形A1B1C1D1 和四边形ABCD的角和边 之间有什么数量关系? 放大1.2倍 放大1.2倍 ∠A1 =∠A,∠B1 =∠B,∠C1 =∠C, ∠D1=∠D; ====1.2。 两个相似四边形的 对应角相等,对应边成比例。 相似 (2)如图，四边形A2B2C2D2和四边形ABCD 的角和边之间 有什么数量关系? 缩小倍 ∠A2 =∠A,∠B2 =∠B,∠C3 =∠C, ∠D4=∠D; ====。 两个相似四边形的 对应角 相等,对应边成比例。 相似 (3)通过上面的问题你能得到什么结论？ 议一议 将四边形ABCD 放大或缩小后,所得到的四边形与原来的四边形相似,它们的对应角相等,对应边成比例。 这个结论的逆命题成立吗？ 如果一个四边形与四边形ABCD的各角对应相等,并且各边对应成比例,那么这个四边形与四边形ABCD形状相同。也就是说,这个四边形与四边形ABCD相似。 这个结论的逆命题成立。 把这个结论中的四边形换成 任意多边形还成立吗？ 相似多边形的概念： 两个边数相同的多边形,如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等,各边对应成比例,那么这两个多边形叫作相似多边形。 相似多边形对应边的比叫作相似比。 相似比常用字母k表示 相似多边形的表示方法： 四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1 相似, 记作：“四边形 ABCD∽四边形A1B1C1D1”, 符号 “∽”读作 “相似于”。 在记两个多边形相似时,要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 相似多边形的性质： 若两个多边形相似，那么它们的对应角相等,对应边成比例。 （1）如图中,将四边形ABCD放大1.2倍得到四边形A1B1C1D1。 四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比是多少？ 四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比是多少？ =1.2，∴四边形A1B1C1D1与 四边形ABCD的相似比k1=1.2。 = ，∴四边形A1B1C1D1与 四边形ABCD的相似比k2=。 相似比的值与相似图形的前后叙述顺序有关。 （2）如图中,若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1全等， 四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比是多少？ 四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比是多少？ ∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1全等， ∴AB=A1B1 ∴四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比是1。 四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比是1. 全等多边形的相似比是1。形似比等于1的两个多边形全等。 例1、由两个多边形的各个角分别相等，能断定它们相似吗?由两个多边形的对应成比例，能断定它们相似吗?如果不能，请分别举出反例;如果能，说你的理由。 解:由两个多边形的各个角分别相等，不能断定它们相似。 反例:如图所示的两个矩形 由两个多边形的边对应成比例，不能断定它们相似。 反例:如图所示的正方形与菱形 典例讲解 1.如图,平行四边形ABCD 的四个顶点都在方格纸的格点上,延长AB到点E,延长AD到点F,使AE=2AB,AF=2AD。以AE,AF 为邻边作平行四边形AEGF,四边形AEGF 与四边形ABCD 相似吗? 为什么? 解析：要判断口AEGF与口ABCD是否为相似图形，需根据相似多边形的定义: 对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形。 跟踪练习 解:四边形AEGF与四边形ABCD是相似图形. 理由如下:由题意可知. 四边形AEGF与ABCD均为平行四边形， ∴∠A=∠C=∠G, ∠E=∠F= ∠ABC=∠ADC 又 = = = = 。 ∴口AEGF与口ABCD相似. 跟踪练习 例2、如图,四边形ABCD∽四边形HGFE。 (1)写出它们对应相等的角及对应边的比例式; (2)若AD=EF=3,CD=4.5,求HE 的长。 解:(1)∵四边形ABCD∽四边形HGFE, ∴∠A=∠H,∠B=∠G, ∠C=∠F,∠D=∠E, = = = 本题考察：相似图形的性质 对应角相等，对应边成比例。 典例讲解 ∴ =, = ∴HE=2。 解:(2)∵四边形ABCD∽四边形HGFE, ∵ AD=EF=3,CD=4.5, 所以HE的长是2. 利用相似图形的性质： 对应边成比例求线段的长。 典例讲解 2.如图,△ABC∽△DBA,请写出它们的对应相等的角和对应边的比例式。 已知BD=2,CD=3求AB的长。 如何在复杂的图形中找到对应边？ ①先找到对应角，对应角所对的边是对应边； ②最长边对最长边，最短边对最短边。 跟踪练习 解:∵△ABC∽△DBA, ∴∠BAC=∠ADB,∠B=∠B, ∠ACB=∠BAD. = = ∵BD=2,CD=3 ∴BC=BD+CD=5 ∴ = ∴AB= 公共边在比例式中变成了比例中项，已知两边可以求第三边 ∴AB=的长是 跟踪练习 例3、如图,四边形ABCD是一幅矩形国画作品,AB=a,BC=b。 能否为其设计一个等宽的木质边框,使矩形EFGH∽矩形ABCD? 解析：本题考查相似多边形的性质。重难点在于理解相似多边形的对应边成比例，并能根据这一性质建立方程求解。解题的关键是设出边框的宽度，用含宽度的代数式表示出外部矩形的长和宽，然后利用相似比列出等式，判断是否存在满足条件的宽度。 探究与挑战 解:设木质边框的宽度为x。 则外部矩形EFGH的边长分别为 EF=a+2x,FG=b+2x。 若矩形EFGH∽矩形ABCD， 整理得:2(b-a)x=0 因为x>0，所以b-a=0，即a=b。 答:当a=b时，能设计出满足条件的等宽木质边框; ∴ = 即: = 当a≠b时，不能设计出满足条件的等宽木质边框。 探究与挑战 1.下列四组图形中，一定相似的是( ) A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 D 任意两个边数相等的正多边形相似. 当堂检测 2.如图，DE//BC,(1)求 的值； （2）求证ΔADE和ΔABC相似. 2 2.5 4 5 3 9 解：(1)由图可知：AB=AD+DB=6；AC=AE+EC=7.5， （2）证明：∵DE//BC, ∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB. 所以ΔADE和ΔABC相似. 你能总结证明两个三角形形式的方法吗？还有其他方法吗？ 当堂检测 漫谈相似形 人类对相似形的研究和应用有着悠久的历史。 古希腊数学家泰勒斯(ThalesofMiletus,约前624—约前547)是几何学的 先驱。两千五百年前,他就对全等三角形和相似三角形进行了研究,并根据 相似三角形的原理,利用金字塔的塔高与垂直于地面的木杆的杆高之比等于 它们的影长之比这一公式,测量出了埃及金字塔的高度。 古希腊数学家欧几里得在 《原本》中,建立了与全等形有关的知识体 系,并专门在两卷(第Ⅴ卷和第Ⅵ卷)中研究了比例论和相似图形。 德国数学家莱布尼茨在研究图形的相似问题时,把拉丁字母S 横过来, 写成 “∽”,作为相似符号。符号 “∽”是将 “similar”(相似)第一个字母逆 时针旋转90°而来的。莱布尼茨还用符号 “≌”表示全等,两个三角形全等 记为△ABC≌△CDA。 还有人说相似符号是荷兰数学家斯蒂文(SimonStevin,1548—1620)在 1586年首先使用的。不过,支持这一说法的材料较少,人们通常还是把相似 符号 “∽”的发明权归于莱布尼茨。 到了1717年,德国数学家沃尔夫(Christian,baronvon Wolff,1679— 1754)用 “=and∽”表示全等,把它们合在一起,写成 “≌”。 在 “≌”符号中,上面的 “∽”表示两个图形形状相同,下面的 “=” 表示两个图形的大小相等,这充分反映了两个全等形形状相同、大小相等的 性质。因此,全等形是相似形的特殊情况,两个全等多边形是相似比为1的 相似多边形。 因为相似符号 “∽”和全等符号 “≌”具有直观、简便等优点,所以这 两个符号一直沿用至今。 图形的相似 概念 形状相同的平面图形叫作相似图形，简称相似形。 相似多边形的定义 两个边数相同的多边形,如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等,各边对应成比例,那么这两个多边形叫作相似多边形。 性质 两个相似多边形的 角对应相等,边对应成比例。 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $