27.3实际问题与反比例函数（第1课时）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数在实际问题中的应用，通过回顾反比例函数的一般形式、图象及性质搭建学习支架，引导学生从工程装卸、杠杆原理等实际情境中抽象函数关系，衔接新旧知识脉络。 其亮点是以工程（起重机装卸货物）和力学（杠杆平衡）实例为载体，通过“审建定解验答”五步建模步骤，培养学生抽象能力、模型意识和推理能力。学生能经历完整建模过程提升解决实际问题能力，教师可借助结构化案例与巩固训练优化教学效率。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 第1课时 简单实际问题 学 习 目 标 1 2 3 能从实际问题中抽象出反比例函数关系，建立反比例函数模型； 会运用反比例函数的性质解决简单的实际问题，能根据实际意义确定自变量的取值范围； 经历分析实际问题 — 建立数学模型 — 求解函数问题 — 检验实际意义的全过程，培养数学建模能力和逻辑推理能力. 新课引入 回顾 1.反比例函数的一般形式是什么？ 2. 当时，图象在二、四象限，在每个象限内随的增大而增大 一般形式 ,为常数， 图象形状 双曲线 性质 当时，图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小； 今天我们就一起运用反比例函数的知识，解决生活中常见的实际问题。 新知探究 探究1 工程中的反比例函数 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了． （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？ 想一想 你还记得工程问题的基本公式吗？ 货物总量 = 装载速度 × 装载时间 = (t) 固定的量 故 即 基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 新知探究 （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 把 代入 得 法二：结合函数性质分析 答：若货物不超过 6 小时卸载完，则平均每小时至少要卸载 货物。 不超过 6 h 卸载完毕 对应的是 想一想 你还有其他方法能解决此问题吗？ 对于函数 ，当时，越小，越大。 因此当卸载时间最长为 时，对应的卸载速度就是最小值。 新知巩固 工程中的反比例函数 仓库有一批货物，用传送带卸货，每小时可卸120吨，8小时可以全部卸完。 （1）求卸货速度（单位：吨/小时）与卸货时间（单位：小时）的函数解析式； （2）如果要在5小时内卸完所有货物，平均每小时至少要卸货多少吨？ 【分析】先计算货物总重量，根据“速度×时间 = 总重量”建立反比例函数；结合时间上限，利用反比例函数增减性求出速度的最小值。 解： （1）货物总重量为：（吨） 由，得函数解析式： 6 新知巩固 工程中的反比例函数 （2）如果要在5小时内卸完所有货物，平均每小时至少要卸货多少吨？ （2）由题意得，对于函数 时随的增大而减小 因此当取最大值5时，取得最小值 将代入，得： 答：平均每小时至少要卸货192吨。 新知探究 探究2 力学中的反比例函数 生活中我们常说“杠杆省力”，用撬棍撬石头时，动力臂越长越省力，这就是杠杆平衡原理：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂 (). 根据杠杆原理得： 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m。 （1）动力 （单位：N）与动力臂 （单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 整理得 ()。 当 m 时， (N)。 当动力为 400 N 时，杠杆恰好平衡；要撬动石头，动力至少需要 400 N。 新知探究 （2）若想使动力不超过（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ （1）中用力的一半为，“不超过 ”即。 对于函数，当时，随的增大而减小。 因此要求，只需求出时对应的动力臂长度。 将代入，得，解得 动力臂需要加长： 。 结论：动力臂至少要加长 1.5 m。 知识小结 思考 你能总结反比例函数在实际问题中的解题步骤吗？ 解题一般步骤： 1.审：审清题意，识别常量与变量，提取等量关系； 2.建：根据 “乘积为定值” 的等量关系，建立反比例函数解析式； 3.定：结合实际意义，确定自变量的取值范围； 4.解：代入求值或结合增减性，求解变量的值或范围； 5.验答：检验结果是否符合实际，规范作答。 注：涉及 至少最多类问题时，必须结合反比例函数的增减性判断变量的最值对应关系，避免范围写反。 新知巩固 力学中的反比例函数 用撬棍撬动一块重 900N 的石块，已知阻力臂长度为 0.4m。 （1）求动力 （单位：N）与动力臂 （单位：m）的函数解析式，并写出自变量 的取值范围； （2）当动力臂为 1.2m 时，撬动石块至少需要多大的动力？ 【分析】根据杠杆平衡原理算出阻力与阻力臂的定值乘积，建立反比例函数模型；代入动力臂长度求对应动力. 解：（1）根据杠杆原理： 动力 动力臂 = 阻力 阻力臂 代入已知条件，得 整理得函数解析式： 自变量取值范围：（动力臂长度为正数） 11 新知巩固 力学中的反比例函数 （2）将 代入 ，得： 答：当动力臂为 1.2m 时，至少需要 300N 的动力。 巩固训练1 力学杠杆类 工人用扁担搬运货物，肩膀位置为支点。扁担前端放置的货物重 120N，货物到肩膀的距离为 1m。 （1）求后端货物重力 （单位：N）与后端货物到肩膀的距离 （单位：m）的函数解析式； 【分析】扁担平衡符合杠杆原理，前端力与力臂的乘积为定值，据此建立重力与力臂的反比例函数；代入后端重力求解对应力臂长度。 代入已知条件，得 整理得函数解析式： 解： （1）根据杠杆平衡原理： 前端力 × 前端力臂 = 后端力 × 后端力臂 巩固训练1 力学杠杆类 （2）若后端放置重 150N 的货物，为保持扁担水平平衡，后端货物到肩膀的距离应为多少米？ 解：将 代入 ，得： 解得 答：后端货物到肩膀的距离应为 0.8m。 巩固训练1 力学杠杆类 变式题 木工用羊角锤拔铁钉，已知铁钉的阻力为 500N，阻力臂长度为 1.2cm。 （1）求动力 （单位：N）与动力臂 （单位：cm）的函数解析式； （2）若手握位置到支点的动力臂长为 20cm，拔起铁钉至少需要多大的动力？ 解：（1）根据杠杆平衡原理： 阻力 阻力臂 代入已知条件，得 整理得函数解析式： （2）将 代入 ，得： 答：拔起铁钉至少需要 30N 的动力。 巩固训练2 工程工作类 录入一份文档，每分钟打 80 个字，30 分钟可以录完。 （1）求打字速度 （单位：字 / 分钟）与所需时间 （单位：分钟）的函数关系； （2）若要提前 6 分钟录完，平均每分钟至少要多打多少个字？ 【分析】先求出文档总字数，建立速度与时间的反比例函数；先计算提前后的时间，代入函数求出对应速度，再与原速度作差得到增加的字数。 解：（1）文档总字数为： （字） 由 ，得函数解析式： () 巩固训练2 工程工作类 （2）提前 6 分钟后，所需时间为 （分钟） 将 代入 ，得： （字 / 分钟） 每分钟需多打：（字） 答：平均每分钟至少要多打 20 个字。 巩固训练2 工程工作类 变式题 修路队修建一段乡村公路，原计划每天修 120 米，25 天可以完工。 （1）求每天修路长度 （单位：米 / 天）与完工所需天数 （单位：天）的函数解析式； （2）为了赶工期，需要提前 5 天完工，每天至少需要多修多少米？ 由 ，得函数解析式： （2）提前 5 天后，完工天数为 将 代入 ，得： 每天需多修：（米） 答：每天至少需要多修 30 米。 解： （1）公路总长度为： （米） 课堂总结 本节课你学到了什么？ 19 感谢聆听! 20 $