1.2二次函数的图象 提高练习 2026-2027学年 浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习针对二次函数图象，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层递进设计，实现从单一概念到综合问题的知识巩固，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|顶点坐标、平移规律、对称轴等核心概念|选择题1-5、填空题9-11，直接应用定义，强化几何直观| |能力提升|二次函数与几何图形结合、图象综合判断|选择题6-8、填空题12，需逻辑推理与符号运算，发展推理能力| |综合应用|解析式求解、平移变换、面积计算综合问题|综合题15-16，构建函数模型解决实际问题，体现应用意识|

1.2二次函数的图象 提高练习 一、选择题 1．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线 向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知直线经过第一、三、四象限，则抛物线可能是下列中的（　　） A． B． C． D． 5．若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线C1：y=﹣x2+2mx+1（m为常数，且m≠0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B．若点P是抛物线C1上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m为（　　） A． B． C． D． 7．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx-2（k≠0）的图象大致如图（　　） A． B． C． D． 8．二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，则有下列结论：① ；② ；③ ；④对于任意实数 ， ；其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．二次函数的顶点坐标为　 　 10．已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为　 　. 11．将抛物线先向下平移1个单位长度后，再向左平移5个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是　 　. 12．如图，一段抛物线： ，记为 ，它与x轴交于两点O， ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ，过抛物线 ， 顶点的直线与 、 、 围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为　 　. 三、解答题 13．已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的表达式． （2）求这个二次函数图象的顶点坐标． 14． 如图，抛物线与轴交于点、，是抛物线的顶点，▱的顶点在轴上． （1）求的值； （2）若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式． 四、综合题 15．已知抛物线经过点，. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式. 16．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请回答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4？若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明不存在的理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解： 的顶点坐标为（1，2） 故答案为：B. 【分析】顶点式的顶点坐标为（h，k）. 2．【答案】D 【解析】【解答】将抛物线y=-x2向上平移2个单位得到的抛物线是y=-x2+2． 故D符合题意. 故答案为：D． 【分析】根据二次函数的图象平移的规律来求解.抛物线的图象平移的规律：左加右减，上加右减. 3．【答案】B 【解析】【解答】∵二次函数的图象开口向下， ∴a<0， ∵二次函数的对称轴在y轴的右侧， ∴b>0， ∴点在第二象限， 故答案为：B. 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a<0，b>0，再利用点坐标与象限的关系分析求解即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：直线经过第一、三、四象限， 抛物线 开口向上，对称轴在y轴的右侧，且经过原点， 结合选项中的图像可知B符合题意. 故答案为：B. 【分析】先根据直线的图像所经过的象限确定a、b的符号，再结合a、b的符号判断抛物线的开口、对称轴，以及必经过的点即可判断. 5．【答案】B 【解析】【解答】∵二次函数的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线x=5， ∴点（5，0）可以在二次函数的对称轴上， 故答案为：B. 【分析】先利用二次函数的顶点式求出二次函数的对称轴，再分析求解即可. 6．【答案】A 【解析】【解答】易知：C（0，1），A（m，m2+1）；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则CP∥AB①，CP=AP②； 由①得：点P与点C纵坐标相同，将y=1代入C1，得：x=0或x=2m，即P（2m，1）； 由②得：（2m）2=m2+（m2+1﹣1）2，即m2=3，解得m=± ； 故答案为：A． 【分析】易知：C（0，1），A（m，m2+1）， 抛物线C1、C2关于y轴对称，那么它们的顶点A、B也关于y轴对称，所以AB∥x轴；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，那么CP也必须与x轴平行，即点C、P的纵坐标相同，代入抛物线C1的解析式中，就能确定点P的坐标，此时能发现AB=CP，即四边形APCB中，AB、CP平行且相等，即该四边形APCB是平行四边形，只要再满足AP=CP（即一组邻边相等），就能判定该四边形是菱形，因此先用m表达出AP、CP的长，再列等式求出m的值即可。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得： 当k>0时，函数y＝kx2的图象开口朝上，函数y＝kx-2的图象经过一，三，四象限，排除C，D选项 当k<0时，函数y＝kx2的图象开口朝下，函数y＝kx-2的图象经过二，三，四象限，排除A选项 故答案为：B 【分析】根据二次函数与一次函数的项的系数与图象的关系即可求出答案. 8．【答案】D 【解析】【解答】解： 图象开口向下， ＜ ＞ ＞ 函数图象与 轴交于正半轴， ＞ ＜ 故①符合题意； 抛物线的对称轴为： 抛物线的图象过点 ， ＜ ＞ ＜ 故②符合题意； 由 故③符合题意； 当 时，函数有最大值 当 ， ， ，故④符合题意. 故答案为： 【分析】由函数图象与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线的对称性方程可得 由抛物线的图象过点 ，可得 从而可得 结合 ＜ 可判断②，由 可得 可判断③，由函数的最大值可判断④，从而可得答案. 9．【答案】 【解析】【解答】 解： ∴顶点坐标为（-1，3）。 故答案为：（-1，3） 【分析】先把解析式化为顶点式，再根据顶点式得出顶点坐标。注意坐标的符号。 10．【答案】或 【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴可设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数图象的形状与抛物线相同， ∴， ∴， ∴这个二次函数的解析式为或. 故答案为：或. 【分析】根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3，由二次函数图象的形状与抛物线y=2x2相同可得a=±2，据此可得对应的解析式. 11．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意 抛物线先向下平移1个单位长度 再向左平移5个单位长度 故答案为： 【分析】根据一元二次函数解析式与图象平移的关系，根据“左+右-上+下-”的规律得到平移后的解析式。 12．【答案】108 【解析】【解答】解： 因为函数 所以，对称轴： ，则当 时， ，即 ，由题意知 ， 所以， 由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离= = =108 故答案为：108. 【分析】由函数 ，求出 ，再得出 ， ，利用由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离，求解即可. 13．【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为 ∴该二次函数的表达式为 （2）解： ∴顶点坐标为 【解析】【分析】（1）设该二次函数的表达式为 ，利用待定系数法求得a、b、c的值，从而求解； （2）将二次函数一般式化为顶点式，根据二次函数的性质即可求解. 14．【答案】（1）解：抛物线， 顶点的坐标为 四边形是平行四边形， ，， 设，的横坐标分别为，，则， 解得， （2）解：， ， 设平移后抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 平移后抛物线的解析式为， 即． 【解析】【分析】（1）先求出抛物线的顶点C坐标为（4，8），再利用平行四边形的性质可得，再设，的横坐标分别为，，则， 最后求出a的值即可； （2）设平移后抛物线的解析式为，再将点（0，8）代入求出k的值即可. 15．【答案】（1）解：把，代入抛物线解析式得：， 解得：， 则抛物线解析式为 （2）解：抛物线解析式为， 将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为. 【解析】【分析】（1）将点（1，0）与（0，）代入 可得关于字母b、c的方程组，求解可得抛物线的解析式； （2）将（1）所得抛物线的解析式配成顶点式，可得其顶点坐标，观察顶点坐标与原点坐标即可得出平移的方向和距离. 16．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0）， ∴ ， 解得，a=﹣1，c=3， 即抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3； （2）解：∵物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E， y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，B（﹣1，0）， ∴点D的坐标是（1，4），点E的坐标是（1，0）， ∴DE=4，BE=2， ∴ ， 即BD的长是 ； （3）解：在抛物线的对称轴上存在点M，使得△MBC的面积是4． 设点M的坐标为（1，m）， 由﹣x2+2x+3=0得x=﹣1或x=3， 即点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（3，0）， ∴BC=3﹣（﹣1）=4， ∵△MBC的面积是4， ∴ ， 解得，m=±2， 即点M的坐标为（1，2）或（1，﹣2）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把抛物线的解析式化成顶点式，求出点D和点E的坐标，从而求出DE和BE的长，然后根据勾股定理求BD长即可； （3） 设点M的坐标为（1，m）， 令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标，从而求出BC长，根据 △MBC的面积是4， 建立关于m的方程求解，即可求出点M的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $