1.3 二次函数的性质（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，覆盖二次函数性质从单一判断到实际应用的完整路径，适配新授课分层教学需求，培养运算能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|函数值比较、坐标轴交点|选择填空为主，直接应用开口方向、对称轴等性质，如判断函数值大小| |综合应用|参数求解、最值分析|结合分类讨论，如已知最值求参数、补全函数图像并分析性质| |拓展提升|实际应用与探究|联系生活情境，如跳台滑雪轨迹、隧道设计，需建立函数模型解决问题|

1.3 二次函数的性质 题型一：根据二次函数的性质判断函数值的大小 1．（2026·江苏苏州·三模）已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴 的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：． ∵， ∴． 2．（2026·吉林长春·模拟预测），、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线，点离对称轴越远对应函数值越小，通过计算三点到对称轴的距离即可比较函数值大小. 【详解】解：抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下时，点离对称轴越远，对应函数值越小，且， ∴. 3．（2026·河南周口·二模）已知二次函数 点 在函数图象上，则大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二次函数顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上的二次函数性质，得点到对称轴的距离越大，函数值越大，通过比较各点到对称轴的距离即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为：直线， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵抛物线开口向上时，点到对称轴的距离相等则函数值相等，距离越大，函数值越大 ， ∴． 4．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】将两点横坐标分别代入抛物线解析式，得到和的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点和点都在抛物线上， ∴将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 即． 故选：C． 6．（2026·山西临汾·三模）若点在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出抛物线对称轴，根据判断开口方向，开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较的大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 计算各点横坐标到对称轴的距离： 点的距离； 点的距离； 点的距离； ∵抛物线开口向下， ∴点到对称轴的距离越大，函数值越小， 又∵，即， ∴． 题型二：二次函数的性质综合 1．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 2．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 3．（25-26九年级下·黑龙江·期中）对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵二次函数，， ∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】的基本特征：对称轴为直线，顶点坐标为；当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，且在对称轴右侧()，随的增大而减小．解题思路是根据这些性质逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：已知抛物线的解析式为， 对于选项A：根据顶点式性质，抛物线的对称轴为直线，该说法正确； 对于选项B：顶点式对应的顶点坐标为，该说法正确； 对于选项C：， 抛物线开口向下，在时取得最大值．该说法错误； 对于选项D：抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，该说法正确． 综上，说法错误的是选项C． 题型三：二次函数的性质中作图题 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知二次函数的图象经过点、 (1)求、的值； (2)画出该函数的图象； (3)若时，随的增大而增大，则的最小值为______； (4)该函数图象向上平移______个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 【答案】(1) (2)图见详解 (3) (4)1 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据列表，描点，连线画函数图象即可； （3）根据（2）中函数图象及二次函数的性质可进行求解； （4）根据（2）中函数图象及二次函数图象的平移可进行求解． 【详解】（1）解：由二次函数的图象经过点、，可得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知：二次函数的解析式为，列表如下： x ….. 0 ….. y ….. 3 0 0 3 ….. 该二次函数图象如下所示： （3）解：由图象可知：当时，随的增大而增大， ∴的最小值为； （4）解：由图象可知：该函数图象向上平移1个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 2．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）已知二次函数． (1)该函数与x轴的交点坐标 ； (2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … … (3)根据图象写出该二次函数的两条性质． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） 【分析】（1）令，进行求解即可； （2）求出对应函数值，列表，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象写出函数的两条性质即可． 【详解】（1）解：令， 解得或， ∴该函数与x轴的交点坐标为，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 作图如下： （3）解：由图可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大．（答案不唯一） 3．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知抛物线与轴交于点，(在左侧)，与轴交于点． (1)求此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像； (3)求的面积 (4)当时，的取值范围为_____； (5)若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，则的取值范围为_____． 【答案】(1)抛物线的对称轴为：，顶点为： (2)见解析 (3) (4) (5)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数图象 （1）先将二次函数写成顶点式即可． （2）先画对称轴及函数图象与轴的交点． （3）根据的坐标以及三角形的面积公式，即可求解； （4）利用函数图象求解． （5）根据二次函数的对称性，结合函数图象，数形结合求解． 【详解】（1）解：∵二次函数． ∴抛物线的对称轴为：，顶点为：． （2）解：当时， 当时，， 解得： ∴，， 如图： （3）解：连接， ∵，， ∴ （4）当时， 由图知，当时，． 故答案为：． （5）解：点和都在此函数的图像上，且， 结合函数图像可得，则的取值范围为或， 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·山西晋中·期末）已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象 x … 0 1 2 3 … y … 0 … (2)根据图象回答下列问题： ①当时，y的取值范围是______； ②当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)见解析； (2)①；②． 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的图象与性质． （1）代入函数解析式，即可求解函数值，即可填表，再描点连线即可； （2）根据函数图象即可写出部分对应y的取值范围：部分对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 所以补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 描点、连线： （2）解：①观察图象可知：当时，． ②当时，． 5．（25-26九年级上·海南·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，二次函数与不等式的关系等知识点． （1）先配方成顶点式，即可写出顶点坐标； （2）根据列表、描点、连线的步骤即可作图； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：， ∴顶点为； （2）解：列表为， 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点、连线如图： （3）解：由（2）函数图象可得，当时，的取值范围是． 题型四：待定系数法求二次函数解析式 1．（25-26九年级下·天津·开学考试）已知二次函数的图象经过两点，且对称轴为直线，则该二次函数的表达式为___________． 【答案】 【分析】设二次函数的一般式，利用二次函数对称轴公式得到，结合已知两点的坐标列方程组，求解方程组得到各项系数，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：设该二次函数的表达式为， 由二次函数对称轴公式，得对称轴， 整理得， 将代入解析式，得， 整理得， 将代入解析式，得， 整理得， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 2．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，已知二次函数的图象经过两点，则该函数的解析式为____． 【答案】 【分析】利用待定系数法解答即可． 本题考查了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解： ∵二次函数的图象经过两点， ∴ 解得 ∴二次函数的解析式为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的图象经过点和，其表达式为___________． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，将点 A 和点 B 的坐标代入二次函数解析式，建立关于 a 和 b 的方程组，通过求解方程组得到参数值 【详解】∵ 二次函数 的图象经过点 和， ∴ 将点 代入得 ，即 ， 将点 代入得 ，即 ， 化简方程 ① 得 ③， 化简方程 ② 得 ④， 用方程④减去方程③得 ，即 ，解得 ， 将 代入方程③得 ，即 ，解得 ， ∴ 二次函数表达式为 ． 故答案为 ． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知二次函数的图象经过点和，则该函数的解析式为____． 【答案】 【分析】本题考查运用待定系数法求二次函数解析式，由二次函数图象经过点 和 ，可知这两点为二次函数的零点，因此可设交点式解析式，再代入点求解即可． 【详解】解：由二次函数的图象经过点，则可设二次函数的解析式为， 代入点 得：， 解得， 所以二次函数解析式为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·重庆开州·期末）抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，把的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可．由于抛物线与x轴交于和两点，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得，即，整理得①， 将代入，得，即，整理得②， 由，得，解得， 将代入①，得，即，解得， 故抛物线的解析式为， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）若抛物线经过点、、， 则______________ 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，把点、、代入抛物线的解析式，解出，，即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、、， 故代入得， 解得 故答案为：1． 题型五：已知x的取值范围求y的取值范围 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 2．（2026·辽宁·一模）已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【答案】6 【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给定范围内，代入端点计算后比较得到最大值． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 已知的取值范围为， 分别代入端点计算函数值：当时，， 当时，， 比较得， 因此的最大值为． 3．（2026·江苏盐城·二模）已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先判断二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向上时，越靠近对称轴函数值越小，离对称轴越远函数值越大，结合的取值范围，即可求解． 【详解】解：二次函数， ，抛物线开口向上，对称轴为， 在范围内， 计算各端点到对称轴的距离：，，， 可得， 当时，取得最小值， 代入得， 不能取，且时， ， 当时，的取值范围为． 4．（2026·辽宁大连·二模）当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定区间内， 当时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，； 比较得，二次函数的最大值， 因此． 5．（2026·河北廊坊·一模）已知抛物线，则当时，函数的最大值与最小值的差为______． 【答案】4 【分析】把解析式化为顶点式得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则可确定当时，函数有最大值，求出最大值，再根据顶点坐标得到最小值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴在满足的条件下，当时，函数有最大值，最大值为， ∵， ∴函数的最小值为， ∴当时，函数的最大值与最小值的差为． 题型六：已知二次函数最值求参数 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数，图象向右平移个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据二次函数平移规律和平移后过原点得到与的关系，再求出抛物线对称轴，最后分和两种情况，结合在中取得的最大值为计算的值． 【详解】解：将二次函数向右平移3个单位长度，得平移后解析式为， ∵平移后图象经过原点， ∴， ， 解得， ∴抛物线对称轴为直线， ① 当时，抛物线开口向上，在中的最大值出现在离对称轴更远的端点， ∵，，， ∴时取得最大值， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得； ② 当时，抛物线开口向下，顶点在内，最大值在顶点处，即时取得最大值， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得； 综上，的值为或． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点是抛物线的顶点，则b的值可能为（   ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】先对抛物线解析式配方，得到顶点纵坐标关于的表达式，再根据求出的取值范围，最后结合选项判断即可． 【详解】解： ， ∴顶点纵坐标， 当时，；当时，， ∵是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴， 结合选项，只有符合范围． 3．（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】D 【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，随的增大而增大，且，说明对称轴左侧随增大而增大， ∴抛物线开口向下，即． 当时，代入得， 关于对称轴的对称点为， 即时． ∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且时，函数最大值为，最小值为， ∴， 观察选项，只有在范围内． 4．（2026·河北唐山·二模）已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 【答案】C 【分析】先对二次函数配方，得到开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的x范围判断对称轴位置，然后根据二次函数的性质求最值即可求得a． 【详解】解：∵ ， ∴ 二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∵ 自变量x满足 ∴恒成立，即对称轴一定在给定区间内， ∴ 二次函数在处取得最小值，最小值恒为，符合题意 ∴为任意实数． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数，当时，，则n的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据二次函数性质判断给定区间内最小值和最大值的位置，利用最小值为2求出参数，再计算最大值即可 【详解】解：二次函数配方得：， ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴在区间内，开口向下的抛物线，离对称轴越远函数值越小，，， ∴处函数取得最小值， ∵ 时， ∴时，代入得 ，解得 ， ∵开口向下的抛物线，顶点处取得最大值，即为顶点的函数值， ∴顶点横坐标为，代入得： 6．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．0或1 B．0或 C．1或 D．0或2 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向，求出时对应的x值，根据开口向下抛物线的性质，在上的最小值在端点处取得，分情况计算并验证得到m的值． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，得，解得， ∵开口向下的抛物线在上的最小值一定在端点处取得，且函数y有最小值0，所以分两种情况讨论： ①最小值在左端点处取得： ∴若，解得，此时，符合要求； 若，解得，此时，当时，，最小值小于0，不符合，舍去； ②最小值在右端点处取得： 若，解得，此时，符合要求； 若，解得，此时，处，最小值小于0，不符合，舍去； 综上，m的值为0或1． 题型七：二次函数与x轴的交点坐标 1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的个数（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用判别式进行解答； 通过判断抛物线对应的一元二次方程根的情况，确定与轴交点的个数． 【详解】解：∵求抛物线与轴的交点，令， ∴得到方程，即， ∵，，， ∴， ∴该一元二次方程无实数根， ∴抛物线与轴交点的个数是0， 故选：D． 2．（25-26九年级上·广西百色·期中）已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，先求出抛物线的对称轴，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，进而求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数与轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴方程，即的解是，； 故选A． 3．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据二次函数与x轴交点是对应方程的解，即解方程，通过因式分解求解即可得到答案. 【详解】解：∵与x轴交点即， ∴ 解方程， 因式分解得：， ∴或， ∴或， ∴ 交点的横坐标为，. 故选：B. 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 5．（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 6．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）若关于的方程的解为，，则抛物线与轴的交点的横坐标为（   ） A．0和2 B．0和4 C． 和2 D．0和 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点坐标、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先得出抛物线与轴的交点的横坐标为和，再根据二次函数图象的平移规律解答即可得． 【详解】解：∵关于的方程的解为，， ∴抛物线与轴的交点的横坐标为和， ∵将抛物线向右平移1个单位长度所得到的抛物线解析式为， ∴抛物线与轴的交点的横坐标为和， 故选：B． 题型八：二次函数与y轴的交点坐标 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为0，将代入抛物线解析式求出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标为0， ∴将代入，计算得 ， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，由解析式直接判断开口方向，对称轴，顶点坐标，再求出与y轴交点坐标，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数 ∴抛物线开口向上，A错误； 令，得，因此抛物线与y轴交于点，B错误； 对于形如的二次函数，对称轴为直线，因此C正确； 的顶点坐标为，因此D错误. 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知二次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象与y轴交点坐标是 B．当时，随的增大而减小 C．图象与x轴交于点， D．顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（与坐标轴交点、单调性、顶点坐标），解题关键是通过配方或公式分析二次函数的开口方向、对称轴等核心特征． 通过计算二次函数的性质，包括与坐标轴的交点、增减性和顶点坐标，判断各选项的正误． 【详解】∵ 二次函数 ， 对于A：当 时，，∴ 图象与轴交点为 ，正确； 对于B：对称轴 ，∵ ，∴ 当 时，随增大而减小，时，y随x的增大而减小，正确； 对于C：解方程 ，得 或 ，∴ 图象与轴交点为 和 ，正确； 对于D：顶点横坐标 ，，∴ 顶点坐标为 ，不是 ，错误． 故选D． 5．（25-26九年级上·山东济南·期中）关于的二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像的开口向上 B．图像与y轴的交点坐标为 C．图像的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了的图像和性质，求抛物线与y轴的交点坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二次函数的二次项系数的符号可判断开口方向，根据求出图像与y轴的交点坐标，根据顶点式直接写出图像的顶点坐标，根据对称轴与开口方向可确定二次函数的增减性． 【详解】解：∵二次函数为， ∴，开口向下，对称轴为，顶点坐标为． ∵， ∴开口向下，故A错误． 当时，， ∴与y轴交点为， 故B错误． 二次函数为的顶点坐标为，不是， 故C错误． ∵开口向下，对称轴， ∴当时，随增大而减小， 故D正确． 故选：D． 题型九：二次函数与坐标轴的交点求参数 1．（2026·吉林长春·模拟预测）二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】A，B两点纵坐标均为0，说明，是方程的两个根，解方程得到两个根后，即可计算的值． 【详解】解：∵点和在二次函数的图像上， ∴，是方程的两个根， 对方程变形得， 解得，， ∴． 2．（2026·广东清远·二模）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 3．（2026年湖南省初中学业水平考试模拟测试（ORS联考））二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 4．（25-26九年级上·云南保山·期末）m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的根，把抛物线与x轴交点的横坐标，转化为方程的根是解题的关键．m是抛物线与x轴交点的横坐标，即m是方程的根，由方程可直接得出的值． 【详解】解：∵m是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴m是方程的根，即， ∴． 故答案为：2． 5．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于______． 【答案】4 【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标，的图象与性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出抛物线的对称轴，再利用增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴， ∵时，， ∴当时，， 又当时，， ∴当时，， 即， 解得：， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）抛物线与x轴的交点为和，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，令求出x的值即可求解． 【详解】解：当时， ， 解得， ∴抛物线与x轴的交点为和， ∴． 故答案为：5． 7．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点A，顶点B在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求出A、B的坐标，从而求出，根据是等腰直角三角形即可求出a． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，则中的， 令，则， ∴，， 令，则， ∴，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：1． 题型十：二次函数的性质实际应用 1．（2026·广东东莞·三模）如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【答案】主跨的高度约为． 【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 【答案】(1)，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为 (2)运动员着陆时他能越过点 【分析】（1）由题意可得，，将其代入抛物线解析式即可得到的值，进而求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式，利用函数的性质即可求解； （2）在函数解析式中令，求出的值，再与比较，即可判断． 【详解】（1）解：由题意可得，， 将代入，得， 解得， ， 化为顶点式为， ， 当时，有最大值，最大值为， ，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为； （2）由（1）可得，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线， 令，则， 解得，， ，且， ，舍去， ， ， ， ， 即运动员着陆时他能越过点． 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为，宽为，隧道的最高点P距地面． (1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式． (2)一辆货车高为，宽，能否从该隧道通过？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能通过，理由如下： 解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； (3)能通过，理由如下： 由（2）可知 ， ∴货车可以通过． 【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， ∵点在抛物线上， ∴． ∴． ∴． （2）略 （3）略 4．（2026·辽宁辽阳·一模）2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为； (2)当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 把，；，代入得， ， 解得． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当时，W最大，W最大（元）． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛物线．如图，小宇站在点O处，弹力球从点A处弹出，且点A距地面的竖直高度，当弹力球运动到距点A的水平距离为的位置时达到最高点，此时距地面的竖直高度为．以点O为原点，地面所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程） (1)求弹力球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点O正上方的点M处弹出，m，落地点为N，求弹射点M与落地点N的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到顶点坐标，设抛物线顶点式，根据待定系数法求解，进而根据“本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程”得到的取值范围即可； （2）由题意得到平移后的表达式，令，解一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，该抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时， 解得（舍去）， ∴， ∴； （2）解：由题意得抛物线向上平移个单位长度， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴弹射点与落地点的水平距离的长为． 题型一：二次函数的性质最值问题 1．（2026·安徽阜阳·三模）已知抛物线，（a，b，c是实数，）． （1）若两个抛物线有交点，则该点的横坐标为______； （2）设函数的最大值为m，函数的最小值为n，若a与c互为相反数，则的值为______． 【答案】 0 【分析】（1）由两个抛物线有交点，得到，整理得，结合，得到； （2）根据最值得到，，即可得到，再由 a与c互为相反数，得到，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵两个抛物线有交点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）∵函数的最大值为m， ∴，， ∵函数的最小值为n， ∴，， ∴． ∵a与c互为相反数， ∴， ∴． 2．（2026·安徽合肥·三模）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图像开口向上，当时，的最大值是，则的值为________； （2）若对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，则的取值范围是________． 【答案】 3 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴，根据开口向上，确定给定区间内最大值的位置，代入列方程求解的值； （2）根据条件判断抛物线开口向下，找到关于对称轴的对称点，结合二次函数的性质列出不等式，求解的取值范围． 【详解】解：（1）对于二次函数，其图像的对称轴为直线， ∵图像开口向上， ∴， 又∵在中，距离对称轴更远， ∴函数在处取得最大值，将代入函数得， 由题意，解得； （2）∵二次函数的对称轴为直线， 又∵当，时，均满足， ∴抛物线开口向下，且与关于直线对称， 要满足条件，则有， 即，解得． 3．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线，点在抛物线上，其中，． （1）若的最小值是－2，则的最大值是______； （2）若对于，，都有，则t的取值范围是______． 【答案】 2 或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案； （2）先由得出，最后分两种情况，利用，，即可求出答案． 【详解】解：（1）， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， 当时，的最小值为， 的最小值是， ， ，， 当时，， 即的最大值为2； （2）点在抛物线上， ，， 对于，，都有， ， 或， Ⅰ、当时， 由①知，， ，， ， ， 由②知，， ，， ， ， ， 即； Ⅱ、当时， 由得：， ，， ， ， 由知，， ，， ， ， ， 即； 即满足条件的的取值范围为或． 4．（2026·安徽蚌埠·一模）已知抛物线上两点 （1）若，则___________（填“”或“”） （2）若对于任意都有，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可； （2）根据题意可得抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．要使恒成立，则的上界须小于等于的最小值，根据，可得的最小值是，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）在抛物线中，，， ∴对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线上两点，且， ∴； （2）由（1）得：对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 要使恒成立，则的最大值须小于等于的最小值， ∵， ∴的最小值是， 因此，对于任意都必须满足，即， ∴且， 解得且． 同时，要使，成立， 解得，． 综上，t的取值范围是． 5．（25-26九年级下·安徽池州·阶段检测）已知二次函数，将点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上． （1）___________； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则的取值范围是___________． 【答案】 4 【分析】（1）先求出平移后点的坐标，代入求解即可； （2）根据二次函数解析式得出图象开口向上，顶点坐标为，当时，，再根增减性对进行分类讨论，列式计算即可； 【详解】（1）点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， 平移后的点为， 点在的图象上， ， 或（舍去）． ． （2）由题意，得， 图象开口向上，顶点坐标为， 当时，， ①当时，最大值与最小值的差为， ，不符合题意，舍去． ②当时，最大值与最小值的差为，符合题意． ③当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意． 综上，的取值范围为． 题型二：二次函数的性质解答题综合 1．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标． (2)若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求m的值． 【答案】(1) 二次函数表达式为，顶点坐标为 (2) 平移1个单位或3个单位 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，求出时的函数值，得到顶点坐标即可； （2）求出二次函数与x轴的交点坐标，根据平移后，新的抛物线过原点，分2种情况进行求解即可； （3）根据二次函数的增减性进行求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，解得， ∴抛物线与 x轴的交点坐标为和， ∵将该二次函数的图象沿x轴平移，平移后的图象经过原点， 当经过平移与原点重合时，图象向右平移了1个单位，当经过平移与原点重合时，图象向左平移了3个单位； 故该二次函数的图象沿x轴平移1个单位或3个单位能使图象经过原点； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，最大； 当时，最小； ∴， 整理，得， \解得或， ∵， ∴. 2．（浙江省部分校2026年初中学业水平考试数学）已知二次函数（a为常数且） (1)求该二次函数图像的对称轴；若该函数图像经过点，求a的值； (2)若，当时，该函数的最大值为8，求a的值； (3)在（2）的条件下，设点和点都在该二次函数的图像上，且在（其中）的范围内，求的最大值． 【答案】(1) 对称轴为直线， (2) (3) 的最大值为 【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，待定系数法求出的值即可； （2）根据二次函数的增减性，根据最大值，列出方程进行求解即可； （3）根据增减性，将转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， 当该函数图像经过点时，则，解得； （2）解：由（1）知抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为， 解得； （3）解：由（2）可知，，对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴在对称轴的右侧， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值最大为， ∴的最大值， 设， 则该函数开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为， 故的最大值为. 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 【答案】(1)函数表达式为，“友好点”坐标为 (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式，然后根据“友好点”的定义求解即可； （2）由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于，分别求解即可． （3）由题意得，“友好点”所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 根据“友好点”的定义可设， 把代入，得， 整理得：， 解得， ∴“友好点”坐标为； （2）解：由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 综上，的值为或． （3）解：由题意得，“友好点”所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则， 解得； 由方程可变形为，则问题等价于二次函数与直线在范围内至少有一个交点， ∴由可知：开口向上，对称轴为直线， ∴当时，则有，当时，则有， 即在上，的取值范围为，即， 综上所述：的取值范围为：． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）若对于实数，，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”． (1)若二次函数存在“保值区间”，且当时的一个“保值区间”为，求的值； (2)已知为二次函数的“保值区间”，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由当时的一个保值区间为，可得当时，，据此求解即可； （2）由为二次函数的“保值区间”，可得，，所以，为关于的一元二次方程的根，求出，，，然后用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵的二次项系数1大于0，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时的一个“保值区间”为，且， 当时，， ，． 又 ∴； （2）解：的二次项系数1大于0，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 为二次函数的“保值区间”， 当时，， 当时，， 整理得，， ，为关于的一元二次方程的根， ，，， ∴原式． 5．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数（b，c均为常数）． (1)若函数图象经过点，且对称轴是直线，求二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，点A向右平移个单位，再向上或下平移1个单位后，恰好落在抛物线上，求m的值； (3)若函数图象上有两点，，且，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】（1）把点A代入，得出，再根据对称轴是直线得出b，进而可得出二次函数的表达式． （2）根据点坐标的平移规律得出平移后的坐标，再代入二次函数解析式，解一元二次方程即可得出m的值． （3）根据抛物线解析式得出抛物线开口向下，对称轴直线为，根据已知条件得出点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 又， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：点A向右平移个单位，再向上或下平移1个单位后， 则点A的坐标变成或， 当，把代入得： ， 解得， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， 综上：的值为或． （3）解：在二次函数中，， ∴抛物线开口向下，对称轴直线为， ∵函数图象上有两点，，且， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 1．（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数的部分对应值如表：下列说法错误的是（    ） x 0 1 y 5 1 A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x增大而增大 D．最小值为 【答案】D 【分析】先代入表格中的已知点求出函数解析式，再结合二次函数的性质判断各选项即可． 【详解】解：将，，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为． ∵， ∴抛物线开口向上，A正确； 抛物线对称轴为直线，故B正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，C正确； 抛物线顶点坐标为，函数的最小值为，不是，D错误． 2．（25-26九年级上·广东韶关·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 3．（2026·广东广州·二模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 3 5 y 0 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随的值x增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，先利用表中对应值求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由表格可知，二次函数过点，，， ∵当时，， ∴，将，代入解析式得方程组： ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，选项A错误； 由解析式可知图象的对称轴为直线，选项D正确； ∵开口向下， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项B错误； ∵顶点坐标为，抛物线与轴交于和，开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，选项C错误； 4．（2026·安徽蚌埠·三模）已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数对称轴的公式可得，由可得，根据不等式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·陕西渭南·二模）二次函数（b为常数）的图象经过点，且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（     ） A．4 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】先将已知点代入函数解析式求出b的可能值，再根据对称轴位置筛选出符合条件的b，求出函数解析式，即可求解最值． 【详解】解：因为二次函数的图象经过点 所以 解得或 因为对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴公式为，本题中 所以 所以舍去，得 所以解析式为 配方得 因为 所以该二次函数的最小值为4． 6．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②过原点，则这个二次函数解析式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的图象与性质，只需二次函数满足二次项系数小于0，常数项为0即可符合要求． 【详解】解：设二次函数的解析式为，其中， 二次函数图象开口向下， ， 二次函数图象过原点， ， 取，时，二次函数的解析式为． 7．（2024·山东淄博·三模）若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________． 【答案】 【分析】根据定弦抛物线的定义和对称轴求出原抛物线的解析式，得到原抛物线顶点坐标，再根据二次函数图象平移规律计算平移后抛物线的顶点坐标. 【详解】解：定弦抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴两个交点间的距离为， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， 将抛物线向左平移个单位，横坐标减，再向下平移个单位，纵坐标减， 可得平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 平移后抛物线顶点坐标为. 8．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 9．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 【答案】 【分析】设二次函数对应一元二次方程的两根为，由抛物线与轴两交点距离为可得，利用恒等式结合韦达定理推导出，再代入顶点纵坐标公式，整体代换求值得到顶点纵坐标． 【详解】解：令，得， 设方程的两个根为， 由根与系数的关系可得 ，， 由题意得二次函数图象与轴两个交点的距离为， 因此， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， 代入得， 整理得，即， 二次函数顶点纵坐标公式为， 将代入得， 将代入得． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 【答案】 【分析】先确定顶点坐标为，可得最小值为，当时，函数取得最大值，为，即可列方程求解． 【详解】解：， 顶点坐标为， ，即抛物线开口向上，，最小值为， 当时，该函数的最小值为， ， 当时，函数取得最大值，为， 由题意可得， 解得． 11．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 12．（2026·辽宁本溪·二模）【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【概念理解】 求函数的“最优虹桥值”； 解：设函数的“虹桥值”为， ， 随的增大而增大 时， 当，最大 函数的“最优虹桥值”为． 【拓展应用】 (1)求函数的“最优虹桥值”； (2)若二次函数的“最优虹桥值”为，求的值． 【答案】(1)函数（）的“最优虹桥值”为 (2) 【分析】（1）设函数的“虹桥值”为，求出，再结合反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）设二次函数的“虹桥值”为，求出，再结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设函数的“虹桥值”为， ∴． ， ∴当时，随的增大而减小． ， 当，最大， 函数的“最优虹桥值”为． （2）解：设二次函数的“虹桥值”为， ∴ ， ， 开口向下， 当时，随的增大而减小， ， 当时，最大， ． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.3二次函数的性质 根据二次函数的性质判断函数值的大小 二次函数的性质综合 二次函数的性质中作图题 待定系数法求二次函数解析式 已知x的取值范围求y的取值范围】 ①基础达标题 已知二次函数最值求参数 二次函数与x轴的交点坐标 二次函数与y轴的交点坐标 二次函数与坐标轴的交点求参数 。二次函数的性质 二次函数的性质实际应用 二次函数的性质最值问题 ②能力提升题 二次函数的性质解答题综合 ③拓展培优题 高分冲刺题型 基础达标题 题型一：根据二次函数的性质判断函数值的大小 1. （2026-江苏苏州三模)已知-1，y,2,y,4,y,是抛物线y=-X+4x+m上的点.则y,yy, 的大小关系为() A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1 c.y1<y3<y2 D.y3<y1<y2 2.(2026:吉林长春模拟预测)A-2,y口？B1,y口八C2,y口是抛物线y=-(x+1P+m上的 三点，则y口'y知'y口的大小关系为() Ayyy口 B.y>y>y口 1/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.y?y?y口 D.yyy 3.(2026河南周口.二模)已知二次函数y=x-1?+k,点P0,y,Q2,y,M3,y,在函数 图象上，则大小关系为() A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y1=y2<y3 D.y3<y2<y1 4.（25-26九年级下吉林长春阶段检测)若点A-1,y,和点B到2，y,都在抛物线y=-X+c上，则y,与 y,的大小关系是() A.y1<y2 B.y1=y2 C.y1>y2 D.无法确定 5.(25-26九年级上天津东丽：期未)已知点-4，y-2,y利-1，y都在二次函数 y=alx+2Pla<0的图象上.则y,'y,'y,的大小关系为（） A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y1<y3<y2 D.y3<y1<y2 6(26面临珍-按)若六A-3,y,B-克，c径y在-衣两y-ax-4x+ca=0的 图象上，则y'y,'y,的大小关系是（） A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 题型二：二次函数的性质综合 1.(2026西藏拉萨.模拟预测)对于抛物 y=2x-1?+3·下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为1,3 C.抛物线的对称轴为直线X=-1 D.当x>1时，y随x的增大而减小 2.（2026广东广州二模)对于抛物 y=7x-22-1'下列说法正确的是(). A.图象与y轴无交点 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.当x>O时，y随x的增大而增大 C.当x=2时，y有最小值-1 D.图象的顶点坐标为-2，-1 3。（25-26九年级下·黑龙江期中)对于二次函数y=-3X-1?+7下列结论正确的是（） A.当x=-1时，y有最大值为7 B.图象的对称轴是直线X=1 C.图象的对称轴是直线X=-1 D.当x>1时，y随x的增大而增大 4.(2526九年级上福建福州期中巾)对于抛物线y=x-3+2,下列说法结误的是() A.对称轴是直线X=3 B.顶点坐标是3,2 C.当x=-3时，y的最大值为2 D.当x>3时，y随x的增大而减小 题型三：二次函数的性质中作图题 1.(2026山东聊城模拟预测)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点-4,3、-3,0 5 3 1 -4-3-2-10 345衣 (1)求b、c的值： (2)画出该函数的图象： (3)若x>m时，y随x的增大而增大，则m的最小值为_： (4)该函数图象向上平移 个单位长度后，所得函数的图象与x轴只有一个公共点 -4 -3 -2 -1 0 … 3 0 -1 0 3 2. (25-26九年级上·浙江台州阶段检测)已知二次函数y=x-4x+3. 3/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 3 2 1 -5-4-3-2-1012345x 3 (1)该函数与x轴的交点坐标_： (2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； 0 2 3 4 2 (3)根据图象写出该二次函数的两条性质. 0 1 2 3 -1 0 3. (25-26九年级上河南南阳期末)已知抛物线y=x-2x-3与x轴交于点A,B(A在B左侧)，与y轴交 于点C 3 2 -5-4-3-2-10 12345 3 (1)求此抛物线的对称轴和顶点坐标： (2)画出此函数的图像： (3)求△ABC的面积 4/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)当0<x≤4时，y的取值范围为： (5)若点M0,y,和Nm,y,都在此函数的图像上，且y,<y,结合函数图像，则nm的取值范围为一 4.(25-26九年级上山西晋中.期末)已知二次函数 y=x-12-4 (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象 -1 0 3 0 -4 -3 3 2 -5-4-3-2-1012345x 5 (2)根据图象回答下列问题： ①当0<x≤3时，y的取值范围是 ②当y<0时，x的取值范围是 -1 0 1 3 2 -3 -4 -3 0 5. (25-26九年级上·海南·期中)已知二次函数y=x-4x+3. 6 5 4 - 3 6-5-4-3-2191.2.3.456x 5/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求二次函数图象的顶点坐标： (2)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出当y<0时，x的取值范围。 0 1 4 y 0 1 0 题型四：待定系数法求二次函数解析式 1.(25-26九年级下.天津.开学考试)已知二次函数的图象经过A-1,0、B(1,2两点，且对称轴为直线 X=2,则该二次函数的表达式为 2.(25-26九年级上广西崇左·期末)如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过 A(1,0),B(0,3)两点，则该函数的解析式为 3.(25-26九年级上江苏徐州期末)二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,6)和B(4,4),其表达 式为 4.(25-26九年级上陕西咸阳期末)已知二次函数的图象经过点0,0、2,0和1，-1，则该函数的解析 式为一 5.(25-26九年级上，重庆开州期末)抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于A-2,0,B3,0两点，抛物线的 解析式为 6.(25-26九年级上.上海浦东新期末)若抛物线y=ax2+bx+c经过点0,3、1,0、3,0，则a= 题型五：已知x的取值范围求y的取值范围 1.(25-26八年级下.浙江宁波期末)已知二次函数y=x2+4x+5,当-3≤x≤0时，y的取值范围为 6/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026辽宁，一模)已知抛物线y=x2-4x+1,当-1≤x≤4时，函数y的最大值是 3.(2026江苏盐城二模)已知关于x的二次函数y=2x2-4x+5,当-2<x<2时，函数y的取值范围为 4. (2026辽宁大连.二模)当0≤x≤3时，二次函数y=x-4x+3的最大值为m,最小值为n,则m-n= 5. (2026河北廊坊.一模)已知抛物线y=x-4x-1,则当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为 题型六：已知二次函数最值求参数 1.（2026陕西西安·模拟预测)已知二次函数y=ax+bx-3a,图象向右平移3个单位长度后经过原点， 且当-5≤x≤0时，y的最大值为2，则a的值为() 2 3 B.3 C. 1 D.-26 2.(2026-陕西成阳-模拟预测)已知点a,b是抛物 y=mX-2mx+m2+2m+10<m<1的顶点，则b 的值可能为() A.2 B.1 C.3 4 D.3 3.(2026福建漳州模拟预测)已知二次函 y=aX2-6ax+9a+5a≠0，当x≤2时，y随x的增大而 增大.当0≤x<k时，函数的最大值是5，最小值是9a+5,则k的值可能是() A.10 B.9 C.7 D.5 4.(2026河北唐山二模)已知二次函数y=x-2aX+a+2,当自变量x满足a-1≤x≤a+2时，函数y 的最小值为2，则a的值为() A.0或2 B.1或3 C.任意实数 D.2或4 5.(2026陕西西安模拟预测)己知二次函 y=mX2-4mx+3m<0当-1≤x≤3时，2≤y≤n则 n的值为() 7/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B.3 。9 6.(2026陕西咸阳.二模)已知抛物线y=-x+2x+3,当m-1≤x≤m+2时，函数y有最小值0，则m 的值为() A.0或1 B.0或-1 C.1或-1 D.0或2 题型七：二次函数与x轴的交点坐标 1.(25-26九年级上山东淄博期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-1与x轴交点的个数() A.3 B.2 C.1 D.0 2.(25-26九年级上广西百色期中)已知二次函数y=-x2+4x+c与x轴的一个交点为5,0，则方程 x2-4X-c=0的解是() A.X1=-1,X2=5 B.X1=0,X2=5 C.X1=1,X2=-5 D.X1=-5,X2=5 3.(25-26九年级上·甘肃定西期末)二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标是() A.X1=1,X2=3 B.X1=-1,X2=3 C.X1=-1,x2=-3 D.X1=1,X2=-3 4.（25-26九年级上.全国.单元测试)若关于x的二次函数y=-x+mx+n的图象与x轴的交点坐标是 （-1,0)和(3,0)，则关于x的一元二次方程-x+mx+n=0的解为() A.X1=X2=0B.X1=1,X2=-3C.X1=1,X2=0 D.X1=-1,X2=3 5.(25-26九年级上广东广州期中)二次函数y=x2+2x-m的图象与x轴的一个交点的横坐标为-2，则 与x轴的另一个交点的横坐标是() A.-1 B.1 C.2 D.0 6.（25-26九年级上.安徽六安阶段检测)若关于x的方程x+bx+c=0的解为X1=-1,x2=3,则抛物线 y=x-12+bx-1+c与x轴的交点的横坐标为() A.0和2 B.0和4 C.-2和2 D.0和-2 题型八：二次函数与y轴的交点坐标 8/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.（2026黑龙江哈尔滨.模拟预测)抛物 y=-3x-1P+2与y轴的交点为) A.0,1 B.1,0 c.-1,0 D.0,-1 2.(2026·黑龙江哈尔滨.一模)抛物 y=-2x-12-3与y轴的交点坐标为() A.0,-3 B.-3,0 c.-5,0 D.0,-5 3.（25-26九年级上.安徽安庆期末)对于二次函数y=5x2-2的图象，下列说法正确的是() A.开口向下 B.与y轴交于点0,2 C.对称轴是直线x=0 D.顶点坐标为5，-2 4.(25-26九年级上.黑龙江佳木斯阶段检测)已知二次函数y=x2-2X-3,下列说法错误的是() A.图象与y轴交点坐标是0，-3 B.当x<0时，y随x的增大而减小 C.图象与x轴交于点3,0，-1,0 D.顶点坐标为1，-3 5.(25-26九年级上山东济南：期中)关于x的二次函数y=-2x-3}+4下列说法正确的是（） A.图像的开口向上 B.图像与y轴的交点坐标为0,4 C.图像的顶点坐标是-3,4 D.当X>3时，y随x的增大而减小 题型九：二次函数与坐标轴的交点求参数 1.(2026吉林长春模拟预测)二次函数y=x-2x的图像上有两点Aa,0和Bb,0,则a+b的值等于 () A.-2 B.1 C.2 D.4 2.(2026广东清远·二模)若二次函 y=aX2-4x+21a≠0的图象与x轴没有交点，则。的取值范围为 () A.a>2 B.a<2 c.a>-2 D.a<-2 3.(2026年湖南省初中学业水平考试模拟测试(OS联考))二次函数y=x2+2x+1与x轴交于-a,0, 则a的值为 4.(25-26九年级上，云南保山期末)m是抛物线y=x-x-2与x轴交点的横坐标，代数式m-m的值为 5.(25-26九年级上.福建莆田阶段检测)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=mx-2mx+m-1与y 9/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴正半轴有交点，当0<x<亏时，y>0;当1<x<号时，y<0,则m的值等 6.(25-26九年级上山西忻州阶段检测)抛物线y=x2-6x+5与x轴的交点为1,0和a,0,则a= 7.（25-26九年级上-山西朔州阶段检测)如图，抛物线y=X-1与y轴交于点A,顶点B在x轴的正半 轴上，连接AB,若△AOB是等腰直角三角形，则a的值为 题型十：二次函数的性质实际应用 1.（2026广东东莞三模)如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊， 享有“中华第一牌坊”的美誉.已知中间主跨地面宽度AB为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图 形：上部为抛物线形，下部为矩形ABCD.某测量小组测得AD为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧 走2米到达点E,测得E点处对应的高度EF(即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离)为6.3米，请你结合 数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）·（精确到0.1m) D AE B 图1 图2 2.(2026辽宁铁岭模拟预测)如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着 陆.己知起跳点E与着陆坡上的计分参照点K的竖直距离为45m,水平距离为83m.按如图所示的平面直 角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线y=一 + +c. 10/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y/m 50 E 40 30 20 10 0 K -10 102030405060708098_im 停止区 (1)求C的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过K点吗？ 3.(25-26九年级上山东烟台阶段检测)如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成， 矩形的长为8m,宽为2m,隧道的最高点P距地面6m P B (1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式. (2)一辆货车高为4m,宽2m,能否从该隧道通过？请说明理由. (3)在(2)的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由. 4.（2026辽宁辽阳一模)2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相一一骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹 都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历 史美感，又充满时代气象.某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该 系列吉祥物玩具的销售量y(件)与销售单价（元)满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每 天可售出40件：当销售单价为40元时，平均每天可售出50件 骐骐 骥 驰驰 骋骋 (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式： (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润 为多少元？ 11/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2026陕西宝鸡模拟预测)在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成 抛物线.如图，小宇站在点O处，弹力球从点A处弹出，且点A距地面的竖直高度AO=1.2m,当弹力球 运动到距点A的水平距离为2m的位置时达到最高点，此时距地面的竖直高度为2.4m.以点O为原点，地 面所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.（本次实验只研究弹力球在第一次落地前 的运动过程) M A (1)求弹力球运动轨迹所在抛物线的函数表达式： (2)保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点O正上方的点M处弹出，OM=1.8m,落地点为N,求 弹射点M与落地点N的水平距离ON, B 能力提升题 。题型一：二次函数的性质最值问题 1. (2026安徽阜阳·三模)已知抛物 y1=ax2+bx+c'y2=cx2+bx+a(ab,c是实数， ac<0）. (1)若两个抛物线有交点，则该点的横坐标为： (2)设函数y1的最大值为m,函数y2的最小值为，若a与c互为相反数，则m+n的值为 2.(2026安徽合肥.三模)已知二次函数：y=ax-4aX+3a. (1)若该二次函数的图像开口向上，当1≤x≤4时，y的最大值是9，则a的值为； (2)若对于该抛物线上的两点Mx1,y,小Nx,y,当t-3≤X≤tX≥4时，均满足y≥，'则：的取 值范围是 3.(2026安徽阜阳·二模)己知抛物线 y=X2-2x+2-t点Px,y,Qx,y在抛物线上，其中 t-1≤x1≤t+2,x2=1-t (1)若y1的最小值是一2，则y1的最大值是 (2)若对于X1,X2,都有y1<y2,则t的取值范围是 12/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.（2026安徽蚌埠.一模)已知抛物线 y=X-2x+c上两点AX1,y,BX2,y, 1)若x,-t小>x-t则y 一y,(填“”或“”) (2)老对干任我1-t<X+1,t+1<X<10-都有y耻的取信范围是 5.（25-26九年级下.安徽池州阶段检测)已知二次函数y=x2+x+3,将点B1,7向上平移2个单位长度， 向左平移mm>0个单位长度后，恰好落在y=x2+x+3的图象上. (1)m= (2)当-2≤x≤n时，二次函数y=x2+x+3的最大值与最小值的差为 4 ,则n的取值范围是 题型二：二次函数的性质解答题综合 1.(2026浙江温州三模)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点2,3，对称轴为直线X=1. (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标 (2)若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点. (3)当m+2≤x≤2m+1时，二次函数y=-x+bx+c的最大值与最小值的差为1，求m的值. 2.(浙江省部分校2026年初中学业水平考试数学)已知二次函数y=ax+4ax+3a(a为常数且a≠0) (1)求该二次函数图像的对称轴；若该函数图像经过点1，-2，求α的值： (2)若a>0,当-3≤x≤1时，该函数的最大值为8，求α的值： (3)在(2）的条件下，设点MX1y,和点NX,y,嘟在该二次函数的图像上，且x1,x,在-1≤X≤3-2t （其中0≤1<学的范围内，求y-y的最大值。 3.(25-26八年级下浙江宁波期末)定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个 点为“友好点”，如：A1,3,B-2,-6,C0,0等都是“友好点”.已知二次函数y=-x2-x+c(c 为常数)· (1)若该函数经过点1，-6，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标： (2)在(1)的条件下，当t≤x≤t+2时，函数的最小值为-6，求t的值： 3)在-3<x<1的范围内，若二次函数y=-x2-x+c的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出 c的取值范围. 13/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026福建泉州模拟预测)若对于实数r,S,满足r<S,且当r≤x≤s时，对应的函数值y的取值范围 也为”≤y≤s,则称区间r,s为该函数的一个“保值区间”. (1)若二次函数y=x存在“保值区间”，且当x≥0时的一个“保值区间”为0，t,求t的值： (2)已知a,b为二次函数y=x2-4x+5的“保值区间”，且a<b,求aa-b+5b+1的值 5.(2026浙江温州三模)已知二次函数y=-x2+bx+c(b,c均为常数). (1)若函数图象经过点A0,3引，且对称轴是直线x=1,求二次函数表达式： (2)在(1)的条件下，点A向右平移mm>0个单位，再向上或下平移1个单位后，恰好落在抛物线上， 求的值； (3)若函数图象上有两点b-2,y,b,y,且y,>y,'求b的取值范围。 拓展培优题 1.(25-26九年级下.河南周口期中)二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表：下列说法错误的是 ( A.抛物线开口向上 B.对称轴为直线x=门 C,当x之号时，y随x增大而增大 D.最小值为-1 2.(25-26九年级上广东韶关期末)抛物线y=x2+4x-3的对称轴是直线() A.X=-4 B.X=-2 C.x=4 D.X=2 3.(2026广东广州.二模)已知一个二次函数y=ax+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： -2 -1 0 3 5 y -8 -3 0 -3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是() A.图象的开口向上 B.当X>O时，y的值随的值x增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 14/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.（2026安徽蚌埠.三模)已知二次函数 y=aX2+bx+cla>0的图象与x轴交于A-1,0'B1m,0两点. 若2<m<3,则() A.-3a<b<-2aB.-2a<b<-a c-a<bs-00-0<b<0 2 5.(2026陕西渭南·二模)二次函数y=x+bx+b2-2b(b为常数)的图象经过点(0,8)，且对称轴在y 轴左侧，则该二次函数的最小值为() A.4 B.-4 C.7 D.-7 6.(25-26九年级上辽宁盘锦·期中)写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②过原点0,0，则 这个二次函数解析式可以是 7.(2024山东淄博.三模)若抛物线y=x+ax+b与X轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物 线，己知某定弦抛物线的对称轴为直线X=1,将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的 抛物线顶点坐标 8。(2026辽宁抚顺模拟预测)已知抛物线y=X2-2x+2-t点px1,y, 在抛物线上，其中 t-1≤x1≤t+2.若y1的最小值是-2，则y1的最大值是 9.(2026江苏南京·二模)已知二次函数y=-2x+bx+c的图象与x轴的两个交点的距离为6，则该函数 图象的顶点的纵坐标为· 10.(25-26八年级下·全国·课后作业)已知二次函数y=x2-2bx+c(b,c为常数)，当b-1≤x≤b+2 时，该函数的最大值与最小值的差是-2k,求k的值。 11.(2026甘肃兰州模拟预测)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+bx+2的图象过点 A2,k,B-1,k. 1求的值： 0 512 2已知二次函数y=aX2+bx+2的最大值为249 a,求该二次函数的表达式， 12.（2026辽宁本溪.二模)【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点Ax,y是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标X的差“y-X”称为点A的 “虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”， 【概念理解】 求函数y=2x+12≤x≤4的“最优虹桥值”； 15/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：设函数y=2x+1的“虹桥值”为w, .∴.w=y-x=2x+1-x=x+1, .k=1>0 .w随X的增大而增大 .2≤x≤4时， .当x=4,w最大=5 ∴.函数y=2x+12≤x≤4的“最优虹桥值”为5. 【拓展应用】 a求函数y=5+x1≤X≤5的“最优虹桥值”： 2若二次函数y=-X2+5x+C3≤Xs61的“最优虹桥值”为6：求。的值. 16/16