3.3.2抛物线中的切线问题 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

聚焦抛物线切线问题，核心内容包括切线方程、切点弦方程求法及焦点弦切线性质。通过复习焦点弦坐标关系、弦长公式等旧知，搭建从焦点弦性质到切线问题的学习支架，引导学生递进探究。 其亮点是以问题链驱动探究，从单切线到双切线问题设计，结合高考真题例题，培养数学思维和运算能力。通过结论总结与性质证明，发展抽象能力与几何直观，助力学生理解数形结合思想，教师可直接用于课堂教学与高考复习。

抛物线的切线问题 【学习目标】 1.掌握抛物线切线方程及切点弦方程的求法； 2.掌握过焦点弦两个端点切线的相关性质； 3.培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步理解数形结合、化归与转化的数学思想。 【学习重难点】 重点：1.求抛物线的切线；2.抛物线切线的相关性质。 难点：1.求抛物线的切线；2.抛物线切线的相关性质理解与证明。 【学习过程】 一、复习导入——焦点弦相关结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝____，y1·y2＝_____； (2)＋＝____ (F是抛物线的焦点)； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝_________ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； (4)垂直关系:、、. ( 图 1 )二、新课探究 【单切线问题】 问题1：过抛物线y2＝2px(p>0)上一点的切线方程怎么求？ 结论1:在抛物线上任意一点的切线方程为：; 在抛物线上任意一点的切线方程为：. 【例1】点M是抛物线上点，则以点M为切点的抛物线的切线方程为____________． 【双切线问题】 问题2：设抛物线为y2＝2px(p>0)，焦点为F，过点F的直线与抛物线 相交于A、B两点，过A、B的切线相交于点M，求点M的轨迹. ( 图 2 )追问1：设点，直线AB的方程是什么？有什么规律？ 追问2：反之，过准线上一点M向抛物线做切线于A、B两点，直线AB过定点吗？ 追问3：MA、MB的位置关系是什么？图2 和图1,中的M点是同一个吗？ 追问4：取A、B的中点为N，直线MN有什么特殊位置？ 结论2:在抛物线外任意一点的切点弦方程为：; 在抛物线外任意一点的切点弦方程为：. 结论3:若为准线上任意一点，则切点弦过抛物线的焦点.反之，过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线，此时有、、平行于抛物线的对称轴(为切点弦的中点) 【例2】（2018·全国）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则_________. 练1（2013·全国·）已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（　　） A． B． C． D． 【例3】抛物线的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线 上的任意一点，令，当取得最大值时，直线的斜率是( ) A． B． C． D． 【例4】过点M 作直线交抛物线于点A、B，且M为A、B中点，过A、B分别作抛物线的切线，两切线交于点N，若点N在直线y=—2p上，则p=________. 三、课堂小结 四、课后练习 1.（2014·辽宁·）已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________ 2.（2019•新课标Ⅲ）已知曲线,为直线上的动点,过作的两条切线,切点分别为,． （1）证明：直线过定点； （2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积． 3. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为_______________ 学科网（北京）股份有限公司 $