2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第三章 3.3 3.3.2　抛物线的简单几何性质

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，涵盖方程与性质归纳、直线与抛物线位置关系及焦点弦问题，通过目标导航明确课标要求，新知梳理用表格对比不同类型抛物线的方程和性质，搭建学习支架衔接前后知识。 其亮点在于采用“课堂探究+即时训练+方法总结”闭环设计，结合数学抽象（性质归纳）、逻辑推理（焦点弦证明）、数学运算（弦长计算），如例3证明焦点弦性质及变式训练，帮助学生深化理解。对学生提升解题能力，对教师提供系统教学资源，提高教学效率。

3.3.2　抛物线的简单几何性质 [目标导航] 课标要求 1.掌握抛物线的几何性质 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 抛物线的简单几何性质 类型 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 性质 范围 对称轴 顶点 离心率 开口方向 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 x轴 y轴 O(0,0) e=1 向右 向左 向上 向下 (1)抛物线只有一条对称轴,一个顶点,一个焦点,一条准线.无对称中心,无渐近线.标准方程只有一个参数,不同于椭圆、双曲线. (2)p的几何意义:焦点到准线的距离.它的大小,影响抛物线开口大小. 小试身手 1.抛物线y2=4x上一点P到该抛物线的焦点距离是10,则P点的横坐标为　　. 9 2.已知直线l:2x-y-1=0与抛物线x2=-4y 交于A,B两点,则|AB|=　　　　.  20 16 4.已知抛物线y2=2px的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点, 且满足|MN|=2|NF|,则∠NMF=　　　　.  课堂探究·素养培育 抛物线方程及其几何性质 [例1] 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB的方程. 即时训练1-1:已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程. 根据抛物线的几何性质求抛物线的方程,一般利用待定系数法,先“定形”, 再“定量”.但要注意充分运用抛物线定义,并结合图形,必要时还要进行分类 讨论. 直线与抛物线的位置关系 [例2] 直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点. 当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程: Δ=(2k-4)2-4k2×1=16-16k, ①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时l与C相交; ②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切; ③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离. 综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点. (2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点. (3)当k>1时,直线l与C没有公共点. 即时训练2-1:已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C与y=2x的一个交点是M(m,2). (1)求抛物线C的方程; (2)若直线l:y=x+n(n≠0)与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求n. 直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. ①若k≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有交点. ②若k=0, 直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 考查角度一　焦点弦问题 [例3] 已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点.求证: 直线与抛物线的相交弦问题 (2)|AB|=x1+x2+p. 变式训练3-3:在本例条件下,若M是AB的中点,过点A,B,M向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,B1,M1.试证: (1)以AB为直径的圆与准线l相切. (2)∠AM1B=90°. 证明:(2)由(1)知,以AB为直径的圆与准线l相切于点M1,则∠AM1B=90°. (3)∠A1FB1=90°. 证明: (3)如图. 因为|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|, 所以∠AA1F=∠AFA1,∠BB1F=∠BFB1. 又AA1∥x轴,BB1∥x轴, 所以∠AA1F=∠A1FO,∠BB1F=∠B1FO. 所以∠AFA1=∠A1FO,∠BFB1=∠B1FO. 所以∠A1FO+∠B1FO=90°, 即∠A1FB1=90°. 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时,一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组,再结合根与系数的关系解题;二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用,简化运算. 考查角度二　相交弦问题 [例4] 已知F为抛物线C:y2=2px的焦点,点A(2,m)在抛物线C上,且|AF|=4. (1)求抛物线C的方程. (2)过点F作斜率为2的直线交抛物线C于P,Q两点,求△APQ的面积. 即时训练4-1:如图,已知抛物线C:y2=4x,A(1,2),B(m,0),其中m>0,过B的直线l交抛物线C于M,N. (1)当m=5,且直线l垂直于x轴时,求证:△AMN为直角三角形; (1)求抛物线弦长问题的方法 ①一般弦长公式 ②焦点弦长 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|= |AF|+|BF|=x1+x2+p.即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 当堂即练·素养达成 1.直线y=2与抛物线y2=8x的公共点的个数为(　 　) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 当堂即练 B 解析:直线y=2与抛物线y2=8x的对称轴平行,故直线与抛物线只有一个公共点.故选B. 2.已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点的最短弦长为4,则该抛物线的焦点坐标为 (　 　) A.(1,0) B.(2,0) C.(0,1) D.(0,2) 解析:因为过抛物线焦点的最短弦长即为抛物线的通径,所以2p=4,p=2,抛物线方程为y2=4x,所以抛物线的焦点坐标为(1,0).故选A. A 3.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　 　) A.(6,+∞) B.[6,+∞) C.(3,+∞) D.[3,+∞) D 4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),过点A作准线l的垂线,垂足为M,则△AFM的面积为　　　　.  5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,且|FA|=4,则 |AB|=　　　　.  1.由抛物线性质求抛物线方程时,一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线动点的规律,一般用定义法.通过对抛物线性质的学习,达成了培养数学抽象、直观想象核心素养的目的. 2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免求交点坐标的复杂运算.通过对直线与抛物线位置关系的学习,达成了培养数学运算、逻辑推理等核心素养的目的. 3.解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质等. 课堂小结 感谢观看 解析:设P(x,y), 因为P到该抛物线焦点的距离为10, 所以10=+x, 即10=1+x, 解得x=9. 解析:直线l:2x-y-1=0与抛物线x2=-4y联立,可得x2+8x-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 可得x1+x2=-8,x1x2=-4, 则|AB|=· =×=20. 3.过抛物线C:y2=4x的焦点作一条倾斜角为的直线l,直线l与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=　　　　.  解析:由题意抛物线的准线方程为x=-1, 焦点坐标为(1,0), 设直线l的方程为y=(x-1),设交点A(x,y),B(x′,y′), 联立直线与抛物线的方程整理得:x2-14x+1=0,所以x+x′=14, 所以弦长|AB|=x+x′+p=14+2=16. 解析:过点N作NP⊥准线,交准线于P(图略), 由抛物线定义知|NP|=|NF|, 所以在Rt△MPN中,∠MPN=90°,|MN|=2|PN|, 所以∠PMN=30°, 所以∠NMF=. 解:如图所示,设A(x0,y0),由题意可知B(x0,-y0), 又F(,0)是△AOB的垂心,则AF⊥OB,所以kAF·kOB=-1,即·(-)=-1, 所以=x0(x0-),又=2px0,即x0(x0-)=2px0,所以x0=. 因此直线AB的方程为x=. 解:由题意,可设抛物线方程为y2=2px(p≠0),则焦点F(,0),直线l:x=, 所以A,B两点坐标分别为(,p),(,-p),所以|AB|=2|p|. 因为△OAB的面积为4, 所以S△OAB=··2|p|=4,所以p=±2. 所以抛物线方程为y2=±4x. 解:由得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*) 当k=0时,方程变为-4x+1=0,x=, 此时y=1.所以直线l与C只有一个公共点(,1), 此时直线l平行于x轴. 解:(1)由题意可得 解得m=1,p=2. 故抛物线C的方程是y2=4x. 解:(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 整理得y2-4y+4n=0,则y1+y2=4,y1y2=4n, 从而x1x2==n2. 因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=n2+4n=0, 又n≠0,所以n=-4. (1)y1y2=-p2,x1x2=; 证明:(1)过焦点F(,0)的直线AB的方程为y=k(x-)或x=. 当直线AB的方程为y=k(x-)时,由消去x,得ky2-2py-kp2=0. 因为AB与抛物线有两个交点,所以k≠0.由根与系数的关系得y1y2=-p2. 又=2px1,=2px2,所以x1x2=·==. 当直线AB的方程为x=时,x1x2=,y1=p,y2=-p,所以y1y2=-p2. 证明: (2)由抛物线的焦半径可知, |AF|=x1+,|BF|=x2+, 所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p. 解:直线l的方程可写为y=x-. 因|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=6,所以x1+x2=6-p.① 由消去y,得(x-)2=2px,即x2-3px+=0. 所以x1+x2=3p,代入①式, 得3p=6-p,所以p=.所以抛物线的标准方程是y2=3x. 变式训练3-1:若本例中,AB是经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦,其弦长为6,求抛物线的标准方程. 变式训练3-2:在本例条件下,试求+的值. 解:设直线AB:y=k(x-)或x=. 当直线AB的方程为y=k(x-)时, 由消去y,得k2x2-p(k2+2)x+=0. 因为AB与抛物线有两个交点,所以k≠0. 所以x1+x2=,x1x2=. 又|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AF|+|BF|=x1+x2+p. |AF|·|BF|=(x1+)(x2+)=x1x2+(x1+x2)+=(x1+x2)+=(x1+x2+p)=(|AF|+|BF|), 即|AF|+|BF|=·|AF|·|BF|,所以+==. 当直线AB的方程为x=时,x1=x2=,y1=p,y2=-p. 所以|AF|=|BF|=p. 所以+=. 证明:如图. (1)因为|MM1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|. 所以以AB为直径的圆与准线l相切. 解:(1)因为|AF|=2+=4, 所以p=4,即C的方程为y2=8x. 解:(2)将点A代入方程m2=16,即m=±4,所以A(2,±4). 又直线PQ的方程为y=2(x-2),联立方程消y得x2-6x+4=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=4, 所以|PQ|=|x1-x2|=×=10. 又点A到直线PQ的距离d==,所以S△APQ=|PQ|·d=4. (1)证明:由题意l:x=5,代入y2=4x中,解得y=±2, 不妨取M(5,2),N(5,-2),则=(4,2-2),=(4,-2-2), 所以·=(4,2-2)·(4,-2-2)=16-(20-4)=0, 所以AM⊥AN, 即△AMN为直角三角形. (2)解:由题意,四边形OAPB为平行四边形,则kBP=kOA=2, 设直线l:y=2(x-m),M(,y1),N(,y2), 联立 得y2-2y-4m=0, 由题意,判别式Δ=4+16m>0,y1+y2=2,y1y2=-4m, (2)若=+,当点P在直线l上时,求实数m,使得AM⊥AN. 因为AM⊥AN,则·=0, 又=(-1,y1-2),=(-1,y2-2), 所以(-1) (-1)+(y1-2)(y2-2)=0,化简得(y1+2)(y2+2)+16=0, 即y1y2+2(y1+y2)+20=0, 所以24-4m=0, 解得m=6, 故m=6时,有AM⊥AN. |AB|=|x1-x2|=|y1-y2|. (2)与抛物线上的点有关的最值问题,应注意抛物线上点的坐标的范围以及抛物线上点的坐标的设法,如 y2=2px(p>0)中 x≥0,y∈R,而抛物线上的点可设为(2pt2,2pt)或(,y0). 解析:因为抛物线的焦点到顶点的距离为3,所以=3,即p=6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为, 所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为 [3,+∞).故选D. 4 解析:由题意知,焦点F(1,0),直线AB的方程为y=(x-1), 代入抛物线中得3x2-10x+3=0,解得x=3,或x=,而点A在第一象限, 所以xA=3,代入抛物线得yA=2, 所以S△AFM=|AM|·yA=×[3-(-1)]×2=4. 解析:设过F(1,0)的直线方程为x=my+1, A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与抛物线方程 可得y2-4my-4=0,由韦达定理,可得y1y2=-4,则x1x2=·=1, 由抛物线的焦半径,可得|FA|=x1+1=4,所以x1=3,x2=, 所以|FB|=x2+1=,|AB|=4+=. $