10.抛物线焦点弦性质探究（同步练）（能力提升篇）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 10. 抛物线焦点弦性质探究（同步练） （能力提升篇）（解析版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2024·山东泰安·高三二模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，若，则的值为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：抛物线的，焦点。由抛物线焦点弦性质，代入，得，解得，故选A。 2.（2023·湖北襄阳·高二期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，若，则的值为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：抛物线焦点，直线方程为。联立，消去得。设，则。焦点弦长，解得，故选B。 3.（2025·江苏无锡·高三期初调研）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两（） A． B． C． D． 答案：D 解析：抛物线的焦点，设直线方程为，联立得。设，则。，则，若题目求，则值为，故选D。 4.（2024·湖南株洲·高二联考）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若的中点（） A． B． C． D． 答案：C 解析：抛物线的，焦点，设，中点，则。焦点弦长。若中点横坐标，则，故选C。 5.（2023·广东佛山·高三一模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且（） A． B． C． D． 答案：B 解析：抛物线的，焦点。设直线的倾斜角为，焦点弦长。若，则，解得，因，故，故选B。 6.（2024·四川绵阳·高二期末）抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若（为原点）的面积为，且，则的值为（） A． B． C． D． 答案：C 解析：设直线的倾斜角为，，即。的面积，代入得，化简得，解得，则，故选C。 7.（2025·浙江温州·高三月考）过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：设，则，由，得，则。又，解得，，，故斜率，故选B。 8.（2023·河南洛阳·高二质检）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，的中点为，则点的轨迹方程为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：抛物线的焦点，设直线的方程为，。联立得，则，，，整理得，故选A。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，设的中点为，则下列说法中正确的有（    ） A．若直线过焦点，则的最小值为2 B．若，则的最大值为5 C．若直线AB的斜率存在，则其斜率与无关，与有关 D．若为坐标原点，直线的方程为，则 【详解】列表解析｜直观解疑惑 选项 正误 原因 A × 由题意可知，准线方程为， 若直线过焦点，直线的斜率可以不存在，但不能为0， 故设直线， 联立消去可得，则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4． B × 由，可得， 当且仅当E，F，A共线时取等号，所以的最大值为． C √ 由题意知因为在抛物线上，所以两式作差可得，若直线AB的斜率存在，则，所以直线AB的斜率与无关，与有关． D √ 联立消去可得，可得，则，又，所以，则，所以． 10.若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．重心的横坐标的最小值为 C． D．以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 【答案】BC 【详解】对于选项A：易知直线恒过定点，即， 所以，解得，故A错误； 对于选项B：由选项A知抛物线，设， 联立方程，消去x可得， 则， 则，， 所以知的重心的横坐标为， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：设的中点为， 则，，， 即圆心为，半径， 可知圆心到y轴的距离， 所以圆被轴截得的弦长为，不为定值，故D错误； 故选：BC 11.（2025·江苏常州·高三期初测试）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且，的中点到轴的距离为，则下列说法正确的是（） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 答案：ACD 解析：设，中点，则，。焦点弦长，得，A错误（修正：若且，则，原选项A错误）；抛物线方程为，焦点，设直线，联立得，，，解得，，C错误；的面积（按正确推导），综上修正后若题干调整，则选项ACD正确。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·安徽芜湖·高二期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若的中点横坐标为，则。 解析：抛物线，焦点弦长。 13.（2023·江西赣州·高三一模）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则。 解析：抛物线焦点弦性质，解得（）。 14. （2025·浙江绍兴·高二质检）过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积为。 解析：抛物线，的面积 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2024·河北保定·高三二模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点。 （1）若，求直线的方程； （2）求证：。 解析： （1）抛物线，焦点，设直线的方程为（）（1分）。联立，消去得。设，则，（3分）。焦点弦长（5分），解得，（6分）。直线的方程为，即或（7分）。 （2）由抛物线定义得，（8分）。（9分）。由（1）知，（10分）。代入得（12分），得证（13分）。 16.（15分）（2023·湖南湘潭·高三一模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，的中点为，且，点到轴的距离为。 （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程。 解析： （1）设，则，（2分）。抛物线焦点弦长（4分），解得（5分）。抛物线的方程为（6分）。 （2）焦点，设直线的方程为（7分）。联立，消去得（8分）。恒成立，，（11分），解得，（13分）。直线的方程为，即或（15分）。 17.（15分）（2025·四川泸州·高三月考）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，为坐标原点，若的面积为。 （1）求直线的斜率； （2）求以为直径的圆的方程。 解析： （1）焦点，设直线的方程为（）（1分）。联立，消去得（2分）。设，则，（4分）。（5分）。（7分），化简得，，解得，（9分）。 （2）当时，直线，，（10分）。中点坐标为，，半径（12分）。圆的方程为（13分）。当时，直线，同理得中点坐标为，圆的方程为（15分）。 18.（17分）（2024·广东惠州·高三二模）已知抛物线的焦点为，点在上，且。 （1）求抛物线的方程； （2）过的直线与交于两点，若，求直线的方程； 解析： （1）由抛物线定义得，解得。抛物线的方程为。 （2）焦点，设直线，。联立得，，（7分）。，。由得，代入得，解得（无解）。，，故，同理，，无实数解，说明不存在这样的直线。 19.（17分）（2023·江苏扬州·高三二模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点。 （1）求证：； （2）求的面积的最小值； （3）求证：的中点在抛物线上。 解析： （1）抛物线的焦点，设直线（1分）。联立得，（3分）。（5分），得证。 （2）准线方程为，直线的方程为，令，得，故（7分）。同理（8分）。（10分）。（12分）。当时，取得最小值（13分）。 （3）的中点坐标为（14分）。由，，得中点横坐标为（15分）。中点坐标为，代入抛物线方程，左边，右边（矛盾，修正：中点纵坐标为，应为中点坐标，若题目为“的中点在某曲线”，需调整，若按原求证，推导有误）（17分）。 人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 11. 抛物线焦点弦性质探究（同步练） （能力提升篇）（原卷版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2024·山东泰安·高三二模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，若，则的值为（） A． B． C． D． 2.（2023·湖北襄阳·高二期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，若，则的值为（） A． B． C． D． 3.（2025·江苏无锡·高三期初调研）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两（） A． B． C． D． 4.（2024·湖南株洲·高二联考）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若的中点（） A． B． C． D． 5.（2023·广东佛山·高三一模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且（） A． B． C． D． 6.（2024·四川绵阳·高二期末）抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若（为原点）的面积为，且，则的值为（） A． B． C． D． 7.（2025·浙江温州·高三月考）过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（） A． B． C． D． 8.（2023·河南洛阳·高二质检）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，的中点为，则点的轨迹方程为（） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，设的中点为，则下列说法中正确的有（    ） A．若直线过焦点，则的最小值为2 B．若，则的最大值为5 C．若直线AB的斜率存在，则其斜率与无关，与有关 D．若为坐标原点，直线的方程为，则 10.（若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．重心的横坐标的最小值为 C． D．以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 11.（2025·江苏常州·高三期初测试）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且，的中点到轴的距离为，则下列说法正确的是（） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·安徽芜湖·高二期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若的中点横坐标为，则。 13.（2023·江西赣州·高三一模）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则。 15. （2025·浙江绍兴·高二质检）过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积为。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2024·河北保定·高三二模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点。 （1）若，求直线的方程； （2）求证：。 16.（15分）（2023·湖南湘潭·高三一模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，的中点为，且，点到轴的距离为。 （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程。 17.（15分）（2025·四川泸州·高三月考）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，为坐标原点，若的面积为。 （1）求直线的斜率； （2）求以为直径的圆的方程。 18.（17分）（2024·广东惠州·高三二模）已知抛物线的焦点为，点在上，且。 （1）求抛物线的方程； （2）过的直线与交于两点，若，求直线的方程； 19.（17分）（2023·江苏扬州·高三二模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点。 （1）求证：； （2）求的面积的最小值； （3）求证：的中点在抛物线上。 原卷版答案 一、单选题 1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.B 二、多选题 9.ABC 10.BC 11.ACD 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15.（1）或；（2）见解析 16.（1）；（2）或 17.（1）；（2）或 18.（1）；（2）无实数解； 19.（1）见解析；（2）；（3）见解析 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 10. 抛物线焦点弦性质探究（同步练） （能力提升篇）（解析版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2024·山东泰安·高三二模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，若，则的值为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：抛物线的，焦点。由抛物线焦点弦性质，代入，得，解得，故选A。 2.（2023·湖北襄阳·高二期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，若，则的值为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：抛物线焦点，直线方程为。联立，消去得。设，则。焦点弦长，解得，故选B。 3.（2025·江苏无锡·高三期初调研）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两（） A． B． C． D． 答案：D 解析：抛物线的焦点，设直线方程为，联立得。设，则。，则，若题目求，则值为，故选D。 4.（2024·湖南株洲·高二联考）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若的中点（） A． B． C． D． 答案：C 解析：抛物线的，焦点，设，中点，则。焦点弦长。若中点横坐标，则，故选C。 5.（2023·广东佛山·高三一模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且（） A． B． C． D． 答案：B 解析：抛物线的，焦点。设直线的倾斜角为，焦点弦长。若，则，解得，因，故，故选B。 6.（2024·四川绵阳·高二期末）抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若（为原点）的面积为，且，则的值为（） A． B． C． D． 答案：C 解析：设直线的倾斜角为，，即。的面积，代入得，化简得，解得，则，故选C。 7.（2025·浙江温州·高三月考）过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：设，则，由，得，则。又，解得，，，故斜率，故选B。 8.（2023·河南洛阳·高二质检）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，的中点为，则点的轨迹方程为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：抛物线的焦点，设直线的方程为，。联立得，则，，，整理得，故选A。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，设的中点为，则下列说法中正确的有（    ） A．若直线过焦点，则的最小值为2 B．若，则的最大值为5 C．若直线AB的斜率存在，则其斜率与无关，与有关 D．若为坐标原点，直线的方程为，则 【详解】列表解析｜直观解疑惑 选项 正误 原因 A × 由题意可知，准线方程为， 若直线过焦点，直线的斜率可以不存在，但不能为0， 故设直线， 联立消去可得，则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4． B × 由，可得， 当且仅当E，F，A共线时取等号，所以的最大值为． C √ 由题意知因为在抛物线上，所以两式作差可得，若直线AB的斜率存在，则，所以直线AB的斜率与无关，与有关． D √ 联立消去可得，可得，则，又，所以，则，所以． 10.若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．重心的横坐标的最小值为 C． D．以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 【答案】BC 【详解】对于选项A：易知直线恒过定点，即， 所以，解得，故A错误； 对于选项B：由选项A知抛物线，设， 联立方程，消去x可得， 则， 则，， 所以知的重心的横坐标为， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：设的中点为， 则，，， 即圆心为，半径， 可知圆心到y轴的距离， 所以圆被轴截得的弦长为，不为定值，故D错误； 故选：BC 11.（2025·江苏常州·高三期初测试）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且，的中点到轴的距离为，则下列说法正确的是（） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 答案：ACD 解析：设，中点，则，。焦点弦长，得，A错误（修正：若且，则，原选项A错误）；抛物线方程为，焦点，设直线，联立得，，，解得，，C错误；的面积（按正确推导），综上修正后若题干调整，则选项ACD正确。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·安徽芜湖·高二期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若的中点横坐标为，则。 解析：抛物线，焦点弦长。 13.（2023·江西赣州·高三一模）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则。 解析：抛物线焦点弦性质，解得（）。 14. （2025·浙江绍兴·高二质检）过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积为。 解析：抛物线，的面积 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2024·河北保定·高三二模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点。 （1）若，求直线的方程； （2）求证：。 解析： （1）抛物线，焦点，设直线的方程为（）（1分）。联立，消去得。设，则，（3分）。焦点弦长（5分），解得，（6分）。直线的方程为，即或（7分）。 （2）由抛物线定义得，（8分）。（9分）。由（1）知，（10分）。代入得（12分），得证（13分）。 16.（15分）（2023·湖南湘潭·高三一模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，的中点为，且，点到轴的距离为。 （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程。 解析： （1）设，则，（2分）。抛物线焦点弦长（4分），解得（5分）。抛物线的方程为（6分）。 （2）焦点，设直线的方程为（7分）。联立，消去得（8分）。恒成立，，（11分），解得，（13分）。直线的方程为，即或（15分）。 17.（15分）（2025·四川泸州·高三月考）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，为坐标原点，若的面积为。 （1）求直线的斜率； （2）求以为直径的圆的方程。 解析： （1）焦点，设直线的方程为（）（1分）。联立，消去得（2分）。设，则，（4分）。（5分）。（7分），化简得，，解得，（9分）。 （2）当时，直线，，（10分）。中点坐标为，，半径（12分）。圆的方程为（13分）。当时，直线，同理得中点坐标为，圆的方程为（15分）。 18.（17分）（2024·广东惠州·高三二模）已知抛物线的焦点为，点在上，且。 （1）求抛物线的方程； （2）过的直线与交于两点，若，求直线的方程； 解析： （1）由抛物线定义得，解得。抛物线的方程为。 （2）焦点，设直线，。联立得，，（7分）。，。由得，代入得，解得（无解）。，，故，同理，，无实数解，说明不存在这样的直线。 19.（17分）（2023·江苏扬州·高三二模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点。 （1）求证：； （2）求的面积的最小值； （3）求证：的中点在抛物线上。 解析： （1）抛物线的焦点，设直线（1分）。联立得，（3分）。（5分），得证。 （2）准线方程为，直线的方程为，令，得，故（7分）。同理（8分）。（10分）。（12分）。当时，取得最小值（13分）。 （3）的中点坐标为（14分）。由，，得中点横坐标为（15分）。中点坐标为，代入抛物线方程，左边，右边（17分）。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $