课时分层检测(27) 抛物线的简单几何性质-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 课时分层检测（二十七） …0 基础达标练。… 1.(多选)抛物线y2=8x的焦点为F,点P在 抛物线上，若PF=5,则点P的坐标可 以为 ( A.(3,2√6) B.(3,-2√6) C.(-3,2√6) D.(-3,-2√6) 2.(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径（过 焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线 的顶点在坐标原点，则其方程可以为( A.y2=8.x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=4y 3.抛物线y2=4x与直线2x十y一4=0交于 A,B两点，F是抛物线的焦点，则|FA|十 |FB等于 A.2 B.3 C.5 D.7 4.已知点（x,y)在抛物线y2=4x上，则之= 2+2y2+3的最小值是 ( A.2 B.3 C.4 D.0 5.已知斜率为k的直线1与抛物线C:y2=4x 交于A,B两点，线段AB的中点为M(2,1), 则直线1的方程为 ( A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0 C.x-2y=0 D.x-y-1=0 6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F, 抛物线上一点M(2,m)满足|MF=6,则抛 物线C的方程为 7.若点M(1,1)是抛物线y2=4x的弦AB的 中点，则弦AB的长为 8抛物线的顶点和椭圆号+号-1的中心重 合，抛物我的焦点和椭圆会+号-1的右焦 点重合，则抛物线的方程为 1 得分 抛物线的简单几何性质 9.已知抛物线C:y2=2px(p>0),其焦点F到 其准线的距离为2，过焦点F且倾斜角为45 的直线l交抛物线C于A,B两点， (1)求抛物线C的方程及其焦点坐标； (2)求|AB. 10.在平面直角坐标系Oxy中，平面上的动点 P到点F(1,0)的距离与它到直线x=-1 的距离相等， (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F(1,0)的直线I与点P的轨迹C 交于两个不同点A,B.若点E(0,1),且EA LEB,求直线l的方程。 63 班级 姓名 …0f 能力提升练 0… 1.(多选)抛物线有如下光学性质：由焦点射出 的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对 称轴的方向射出.已知抛物线y2=4x的焦 点为F,一束平行于x轴的光线I1从点 M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1,y1) 反射后，再经抛物线上另一点Q(x2,y2)反 射后，沿直线12射出，则下列结论中正确 的是 A.x1x2=1 B.kpo=-4 3 C.|PQ1=25 D.11与12之间的距离为4 2.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组 成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门： 的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形， 如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连 桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各 有一窗户，两窗户的水平距离为30m,如图： 2,则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为 D 30m 150m A 60m 图1 图2 A.180m B.200mC.220m D.240m 3.如图，圆锥底面半径为√2 体积为2,2，AB,CD是 3 底面圆O的两条互相垂直 的直径，E是母线PB的中点.已知过CD与 E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点 的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其 准线的距离等于 4.在①|PF|=x0+1,②yo=2x=2,③PF⊥ x轴时，PF|=2这三个条件中任选一个， 16 得分 补充在下面的问题中，并回答 问题：已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点 为F,点P(xo,yo)在抛物线C上，且 (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l:x一y-2=0与抛物线C交于 A,B两点，求△ABF的面积 5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,1). (1)求抛物线C的方程； (2)O为坐标原点，A,B为抛物线C上异于 原点O的不同两点，直线OA,OB的斜率分 别为k1,k2,若k1k2=一2，求证：直线AB过 定点.面积与S1面积的“经验值”之差的绝对值：则x1十x?=6, 以E为坐标原点， 为丹-号引=立<日，所以五边形西 所以|AB=1十十p=8. OE为x轴，与CD 10.解(1)依据题意动点P到F(1,0)的距： 平行的直线为y轴 积更接近于S面积的“经验值” 离等于P到直线x=一1的距离， 建立如图所示的平 课时分层检测（二十七）》 由抛物线定义知，点P的轨迹是以F(1,! 面直角坐标系，则A 基础达标练 0)为焦点，直线x=一1为准线的抛 C(-1,√2)， 1.AB[设点P的坐标为(x,y), 物线， 设抛物线的方程为y2=一2p.x(p>0), PF=5,.x-(-2)=5,.x=3. 所以点P的轨迹C的方程为y2=4x. ∴.(W2)2=-2p×(-1),解得p=1, 把x=3代入方程y2=8x,得y=24, (2)由于过，点F(1,0)的直线1与，点P的1 故焦，点到其准线的距离等于1，] ∴y=±2V6. 轨迹C交于两个不同点A,B, :4.解(1)若选①：由抛物线的性质，得PF 则直线1不与x轴重合，设直线1的方程 ∴.点P的坐标为(3，士2√6).] 为x=ny十1，A(x1,y1),B(x2,2), =x十 2.AB[设抛物线方程为y2=2px或y2= 一2px(p0), 联立y十1，整理，得y一4my-4 {y2=4z, 因为PF到=十1，所以十号=十1， 依题意将x=号代入=2pr或y= =0, 解得p=2. 一2px,得y=p, 剥△-16n2+16>0. 故抛物线C的标准方程为y2=4x, ∴2y=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2 由根与系数的关系，得y1十y2=4n,y2 若选②：因为=2.x0=2,所以y。=2,x =1, =8x或y2=-8x.] 3.D[设A(x1y1),Bx,), 因为EA⊥EB,则EA·E第=无1x十（y 因为点P(x0,w)在抛物线C上，所以6 =2p.xo,即2p=4,解得p=2, 则FA+FB=x1十x十2. -1)(-1D=+My-(y+) 故抛物线C的标准方程为y=4x 由w=4x, 2x+y4=0,得x-5x+4=0, 16 +1=1-4-4n十1=0，解得m= 2 若选③：因为PFLx轴，所以PF=号 .x1十x2=5,1十x2十2=7.故远D.] 4.B[点(x,y)在抛物线y2=4x上，.x 所以直线1的方程为x= 2y+1, +号=p,因为PF到=2，所以b=2. ≥0， 即2x+y-2=0. 故抛物线C的标准方程为y=4x “=+合+3=+2x+3=(x+能力提升练 (2)设A(,y),B(x,y)由(1)可 :1.ABC[如图所示，易 知，F(1,0). 1)2+2, .当x=0时，之最小，最小值为3.故 知y1=1,.12=4x M(3,1) 联立一2=0·整理，得一4y一8 {y2=4x, 选B.] >x14 5.A[设A(x1,y1),B(x2,), 0 =0, 则y1+=4,y12=-8, 则{=4'>(-)(y+)=4(x1 Q y1-为|=√(y+y2)2-4yy= yi=4x2 √16+32=45， xg）. (1,0),从而kPF= 1-0=-4 1一1 又AB的中点为M(2,1),∴y十为=2， 4 故AB-√+Fy-4=2X45 所以直线1的斜牵-二兰=2， x1一x2 直线PF的方程为y=一3(x-1) =4√6， 因此直线1的方程为y一1=2(x一2)， y2=4.x, 因为点F到直线1的距离d=1一2 1+1 整理，得2x-y-3=0.故选A] 由 4(x-1), 得y2+3y-4=0, 6.y=16.x[由抛物线的定义，知MF|= y=- 2 xM十号=6，又xw=2,即号=4，所以2p 解得y=1或y=一4. 1 =16,据此可知抛物线的方程为y: 当y-1时，=有当y=一4时，江=4 所以△ABF的面积为号AB·d=号X -16x.] 因此，Q(4,一4)，.x12= 1×4=1,故 46x号-2限 7.√5[设A(x1,y1),B(x2,边)，代入抛 物线y=4x,得y听=4x1,yi=4x2, A正确： !5.解(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)过 4 两式相减，得k=一业=4 =2 kpo=kPE= ,故B正确： 点(1,1)，所以1=2p,解得p=2, x1一x2y1十2 所以抛物线C的方程为y2=x. 所以直线AB的方程为y一1=2(x一1)，： PQ 1 4 +(-4-1)2= 25 (2)证明：设点A,B的坐标分别为(， 即y=2x-1, 4 y1),(y5,y2), 代入抛物线的方程，得4.x2一8.x+1=0, 故C正确： L1的方程为y=1,l2的方程为y=一4， 所以k1=兰= 则十=2，=有，则AB引= y吃y2 ∴.l1与l2之间的距离为5，故D错误.故 √/1+k2· √（十x2)-4x1x2 远A、B、C.] 所以k1k2一 1=一2，即y1y=一2· y12 ·2.B[建立平面直角坐标系 当直线AB的斜率不存在时，y1=一y2,直 5×(2-4x） =√5，即弦AB的 如图所示，设抛物线的解析 式为x2=-2py(p>0 线AB的方程为x=之； 长为/15.] D(15,t)(0),则，点B(30, 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的 8.y=16x[依题意知，椭圆的右焦点1 一150十t),由B,D在抛物 方程为y=kx十n(k≠0，m≠0)， F(4,0),设抛物线的方程为y一2p.x(p 线上，得 >0),则号=4，∴p=8,抛物线的方程 (152=-2pt, 联立y=x, {y=kx十m, 消去x整理，得y一y 30=-2p(t-150), 十=0, 为y2=16x.] 9 9.解(1)由抛物线C:y=2px(p>0)的焦 解得p=·所以抛物线顶端O到连桥 故=公=一，得k=一2， 1 点F到其准线的距离为2，得p=2, t=-50, 则直线AB的方程为y=一2m.x十n, 所以抛物线C的方程为y=4x,焦点坐标： AB的距离为150+50=200m.故选B.] 可化为y= 为(1.0). 31[连接PO,由V=3rh=3π× 2m(x一)所以直线过点 (2)过焦，点F且倾斜角为45°的直线1的方 程为y=x-1,设A(x1,M),B(x), (2)XP0=2E ，得P0=E,则PB= (o 联立消去得-6+1-0， 2,OE=1,OC=OD=√2， 综上，直线AB过定点（分0 240